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    探討高中數(shù)學(xué)中的立體幾何解題技巧

    2017-03-23 05:48:06左芳萌
    新課程·中學(xué) 2017年1期
    關(guān)鍵詞:探究分析立體幾何解題技巧

    左芳萌

    摘 要:立體幾何是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容,也是學(xué)習(xí)的難點(diǎn),而且在高考中立體幾何屬于必考點(diǎn),通常在一個(gè)題目中會(huì)包含多個(gè)立體幾何的考查點(diǎn),掌握立體幾何解題技巧對(duì)于提高解題效率及保證解題的正確性具有重要意義。通過探討高中數(shù)學(xué)中立體幾何的解題技巧,主要從高中數(shù)學(xué)立體幾何難點(diǎn)、高中數(shù)學(xué)中立體幾何解題技巧等角度進(jìn)行分析。

    關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué);立體幾何;解題技巧;探究分析

    平面幾何是立體幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),而在高中立體幾何的學(xué)習(xí)中,通常會(huì)涉及空間多個(gè)直線之間的關(guān)系、空間夾角的計(jì)算以及空間距離計(jì)算等。在解題過程中,由于學(xué)生缺乏空間立體意識(shí)及基本的解題技巧,因而大部分學(xué)生普遍感覺空間立體幾何學(xué)習(xí)的難度較大。筆者結(jié)合個(gè)人學(xué)習(xí)感受,就高中數(shù)學(xué)中的立體幾何解題技巧分析如下。

    在高中數(shù)學(xué)立體幾何解題過程中,輔助線是一項(xiàng)必須掌握的基本技能。通過輔助線能將原有的立體圖形進(jìn)行特殊化處理,從而順利完成立體幾何數(shù)學(xué)問題的講解。

    比如:在一二面角α-l-β中(圖1),A、B∈α,C、D∈l,四邊形ABCD是矩形,P∈β,PA⊥α,PA=AD,M是AB的中點(diǎn),N是PC的中點(diǎn)。證明:MN是異面直線AB和PC的公垂線。

    通過分析,想要直接證明MN是異面直線AB、PC的公垂線,有一定的難度。在題目中,告知我們N是PC的中點(diǎn),根據(jù)這一條件,我們可以聯(lián)想到在幾何解題中有中點(diǎn)可以配中點(diǎn),這樣可以形成中位線。根據(jù)這一思路可通過作PD的中點(diǎn)進(jìn)行證明,具體的證明過程如下:

    證明:在PD上作一點(diǎn)Q,令PQ=DQ,連接QN、QA,

    ∵Q為PD中點(diǎn),N為PC中點(diǎn),

    ∴QN是△PDC的中位線,即QN=DC。

    又∵四邊形ABCD是矩形,且M是AB中點(diǎn),

    ∴AM∥DC,且AM=DC。

    此時(shí)可知QN∥AM,且QN=AM,

    即四邊形AMNQ是平行四邊形,

    ∴AQ∥MN。

    根據(jù)題目中的PA⊥α,AB⊥AD,PA、PD?奐面PAD,可知AB⊥

    面PAD,對(duì)應(yīng)的有CD⊥面PCD。此時(shí)可知AQ⊥面β,根據(jù)線面垂直定理,則有AQ⊥PC,∴MN⊥PC。

    ∴MN是異面直線AB和PC的公垂線。

    綜合以上,可知輔助線是高中數(shù)學(xué)立體幾何解題中需要予以重視的。當(dāng)然,作輔助線也不是隨意的,必須要對(duì)教材中的基本公理、性質(zhì)等熟練掌握,對(duì)證明題目中的求證問題需要快速地回憶學(xué)過的判定定理,結(jié)合證明題最后的證明結(jié)論,及時(shí)聯(lián)想這一結(jié)論成立對(duì)應(yīng)的性質(zhì)。此外,結(jié)合題目中給出的已知條件,需要有一個(gè)證明方向,這樣才能從不同的角度完成高中幾何解題。比如,異面直線的垂直通常需要通過面面垂直的證明進(jìn)一步達(dá)到證明線面垂直、線線垂直的目的。同樣,在求解二面角的過程中,對(duì)于立體幾何圖形中沒有二面角的情況,則需要學(xué)生積極地通過輔助線找到垂線,進(jìn)而得到所需要的二面角。因而,輔助線在高中幾何解題中發(fā)揮著重要的作用。

    高中數(shù)學(xué)中立體幾何屬于學(xué)生學(xué)習(xí)中的重、難點(diǎn),同時(shí)也是高考的難點(diǎn)。在具體解題過程中,學(xué)生需要掌握最基本的公理、性質(zhì),同時(shí)結(jié)合題目已知條件及結(jié)論綜合分析后,再通過適當(dāng)?shù)妮o助線簡化問題,從而求解。

    參考文獻(xiàn):

    [1]江士彥.芻議高中數(shù)學(xué)中的立體幾何解題技巧[J].讀與寫(教育教學(xué)刊),2015(11).

    [2]張美玲.高中數(shù)學(xué)解題方法及技巧探究[J].學(xué)周刊,2017(2).

    編輯 白文娟

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