探討高中數(shù)學(xué)中的立體幾何解題技巧

左芳萌

摘 要：立體幾何是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，而且在高考中立體幾何屬于必考點(diǎn)，通常在一個(gè)題目中會(huì)包含多個(gè)立體幾何的考查點(diǎn)，掌握立體幾何解題技巧對(duì)于提高解題效率及保證解題的正確性具有重要意義。通過探討高中數(shù)學(xué)中立體幾何的解題技巧，主要從高中數(shù)學(xué)立體幾何難點(diǎn)、高中數(shù)學(xué)中立體幾何解題技巧等角度進(jìn)行分析。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；立體幾何；解題技巧；探究分析

平面幾何是立體幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，而在高中立體幾何的學(xué)習(xí)中，通常會(huì)涉及空間多個(gè)直線之間的關(guān)系、空間夾角的計(jì)算以及空間距離計(jì)算等。在解題過程中，由于學(xué)生缺乏空間立體意識(shí)及基本的解題技巧，因而大部分學(xué)生普遍感覺空間立體幾何學(xué)習(xí)的難度較大。筆者結(jié)合個(gè)人學(xué)習(xí)感受，就高中數(shù)學(xué)中的立體幾何解題技巧分析如下。

在高中數(shù)學(xué)立體幾何解題過程中，輔助線是一項(xiàng)必須掌握的基本技能。通過輔助線能將原有的立體圖形進(jìn)行特殊化處理，從而順利完成立體幾何數(shù)學(xué)問題的講解。

比如：在一二面角α-l-β中（圖1），A、B∈α，C、D∈l，四邊形ABCD是矩形，P∈β，PA⊥α，PA=AD，M是AB的中點(diǎn)，N是PC的中點(diǎn)。證明：MN是異面直線AB和PC的公垂線。

通過分析，想要直接證明MN是異面直線AB、PC的公垂線，有一定的難度。在題目中，告知我們N是PC的中點(diǎn)，根據(jù)這一條件，我們可以聯(lián)想到在幾何解題中有中點(diǎn)可以配中點(diǎn)，這樣可以形成中位線。根據(jù)這一思路可通過作PD的中點(diǎn)進(jìn)行證明，具體的證明過程如下：

證明：在PD上作一點(diǎn)Q，令PQ=DQ，連接QN、QA，

∵Q為PD中點(diǎn)，N為PC中點(diǎn)，

∴QN是△PDC的中位線，即QN=DC。

又∵四邊形ABCD是矩形，且M是AB中點(diǎn)，

∴AM∥DC，且AM=DC。

此時(shí)可知QN∥AM，且QN=AM，

即四邊形AMNQ是平行四邊形，

∴AQ∥MN。

根據(jù)題目中的PA⊥α，AB⊥AD，PA、PD？奐面PAD，可知AB⊥

面PAD，對(duì)應(yīng)的有CD⊥面PCD。此時(shí)可知AQ⊥面β，根據(jù)線面垂直定理，則有AQ⊥PC，∴MN⊥PC。

∴MN是異面直線AB和PC的公垂線。

綜合以上，可知輔助線是高中數(shù)學(xué)立體幾何解題中需要予以重視的。當(dāng)然，作輔助線也不是隨意的，必須要對(duì)教材中的基本公理、性質(zhì)等熟練掌握，對(duì)證明題目中的求證問題需要快速地回憶學(xué)過的判定定理，結(jié)合證明題最后的證明結(jié)論，及時(shí)聯(lián)想這一結(jié)論成立對(duì)應(yīng)的性質(zhì)。此外，結(jié)合題目中給出的已知條件，需要有一個(gè)證明方向，這樣才能從不同的角度完成高中幾何解題。比如，異面直線的垂直通常需要通過面面垂直的證明進(jìn)一步達(dá)到證明線面垂直、線線垂直的目的。同樣，在求解二面角的過程中，對(duì)于立體幾何圖形中沒有二面角的情況，則需要學(xué)生積極地通過輔助線找到垂線，進(jìn)而得到所需要的二面角。因而，輔助線在高中幾何解題中發(fā)揮著重要的作用。

高中數(shù)學(xué)中立體幾何屬于學(xué)生學(xué)習(xí)中的重、難點(diǎn)，同時(shí)也是高考的難點(diǎn)。在具體解題過程中，學(xué)生需要掌握最基本的公理、性質(zhì)，同時(shí)結(jié)合題目已知條件及結(jié)論綜合分析后，再通過適當(dāng)?shù)妮o助線簡化問題，從而求解。

參考文獻(xiàn)：

[1]江士彥.芻議高中數(shù)學(xué)中的立體幾何解題技巧[J].讀與寫（教育教學(xué)刊），2015（11）.

[2]張美玲.高中數(shù)學(xué)解題方法及技巧探究[J].學(xué)周刊，2017（2）.

編輯 白文娟