反思，點亮學生“悟”的心燈

曾子斌

摘 要：解題后要反思，命題者的意圖是什么？考查的知識點、方法和能力是什么？驗證答案是否正確，題中的條件的應用是否完備？求解或證明過程是否判斷有據(jù)，嚴密完整？一題多解？一題多變？一題多問？一題多用？多題一解？不斷地對問題進行觀察探究、歸納類比、抽象概括，對所蘊含的數(shù)學思想、數(shù)學方法進行甄別，體會解題帶來的快樂，享受反思帶來的成功感。養(yǎng)成獨立思考、主動探究的習慣，并懂得如何學好數(shù)學。

關鍵詞：反思 探究 歸納 概括 提高能力

孔子云：學而不思則罔?！柏琛奔疵曰蠖鴽]有所得，把其意思引申一下，我們也就不難理解為什么要進行解題后反思了。事實上，一道題經(jīng)過一番艱辛，苦思冥想解出答案后，須進行如此反思：第一步，“學懂了沒有？”——主要解決“是什么”的問題，即命題者的意圖是什么？考查的知識點、方法和能力是什么？第二步，“領悟了沒有？”——主要解決“為什么”的問題，即驗證答案是否正確，題中的條件的應用是否完備？求解或證明過程是否判斷有據(jù)，嚴密完整？第三步，“會用了沒有？”——主要解決“做什么”的問題，即本題有無其他解法——一題多解？或一題多變？ 一題多問？一題多用？多題一解？由于學生認知結構水平的限制，表現(xiàn)出對知識不求甚解，熱衷于做大量題，不善于在解題后對題目進行反思，普遍欠缺一個提高解題能力的重要環(huán)節(jié)；而通過解題后反思解題過程、探討知識點聯(lián)系、知識交匯、探究規(guī)律等一系列思維活動，能點亮學生“悟”的心燈。

本文擬從以下方面作些探究，與同行商榷。

一、及時反思所犯錯誤，確保解題的合理性和正確性

現(xiàn)代認知心理學家認為，學生的學習是以現(xiàn)有的認知發(fā)展觀水平為出發(fā)點，以“最近發(fā)展區(qū)”為定向，在不斷產(chǎn)生錯誤和糾正錯誤的過程中進行的。解題教學若能從此切入，進行解后反思，則往往能找到“病根”，從而對癥下藥，常能收到事半功倍的效果！

如題1：在△ABC中，AB→=（1，1），AC→=（2，k），若△ABC為直角三角形，求實數(shù)k的值.解：∵△ABC為直角三角形，∴A=90°，∴AB→·AC→=0，又∵AB→=（1，1），AC→=（2，k），∴1×2+1×k=0，即k=-2，∴k=-2時，△ABC為直角三角形。解后引導學生進行反思：解決這類問題的通法是什么？解決這一類問題常犯錯誤或要注意的是什么？是否可轉(zhuǎn)換角度進行思考及不同知識點的相互聯(lián)系？問題能否進行變式或推廣？學生們各抒己見，針對各種“病因”開出了有效的“方子”。實踐證明，這樣的教學是成功的，學生在計算的準確率和速度兩個方面都有極大的提高。答案的確錯了，怎么錯的？為什么會有這樣的想法？又怎樣糾正呢？如果我們的解題教學能抓住這一契機，并就此展開討論、反思，無疑比講十道、百道甚至更多的例題來鞏固則要好得多，而這點恰恰容易被我們所忽視。本題在解答過程中，應考慮△ABC三個內(nèi)角都可能為直角的情況，故進行分類討論是解決本題的關鍵。

二、及時反思解題方法，探求一題多解和一題多變，培養(yǎng)解題的變通性和靈活性

“題目千萬道，解后拋九霄”難以達到提高解題能力、發(fā)展思維的目的。善于作解后反思，探求一題多解和一題多變，挖掘例題的深度和廣度，擴大例題的輻射面，無疑對能力的提高和思維的發(fā)展是大有裨益的。

如題 2：已知 且 ，求 的最小值。法1：均值不等式法

此題答案有誤。因為⑴，⑵ 式的等號不能同時成立，所以⑶式等號 不能取。此法作為例子強調(diào)使用重要不等式時等號成立條件的必不可少和一致性， 這有利于培養(yǎng)學生思維嚴密性。

法2，1的妙用

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法3，構造不等式法

[來源：Z

變式3：已知 （ ）求 的取值范圍。

法4，換元后構造均值不等 式法

法5，用判別式法

變式4：已知 求 的范圍。

法6，三角代換法

變式5：已知00，b>0，則 的最小值。

三、及時反思解答過程， 探究通性通法，提高綜合解題能力

所謂通性通法，是指具有某些規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式和常用的數(shù)學思想方法。這種通性通法在高中數(shù)學中是很多的，如二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值的一般方法：配方、作圖、截段等。如將直線方程代入圓錐曲線方程，整理成一元二次方程，再利用根的判別式、求根公式、根與系數(shù)的關系、兩點之間的距離公式等可以編制出很多精彩的試題。這些問題考查了解析幾何的基本思想方法，學生在學習的過程中要對這些普遍性的東西不斷地進行概括總結，梳理出一般方法和思路，掌握規(guī)律，探求共性，再由共性指導去解決碰到的這類問題，便會迎刃而解，這對提高解題能力尤其重要。

荷蘭著名數(shù)學家弗萊登塔爾曾指出，“反思是重要的數(shù)學活動，它是數(shù)學活動的核心和動力”。總之，解題后引導學生對問題進行觀察探究、歸納類比、抽象概括，對問題中所蘊含的數(shù)學思想、數(shù)學方法進行甄別，會使學生撥開“迷霧”，看清“廬山真面目”而逐漸成熟起來；在反思中學會傾聽、學會交流、學會合作、學會分享，養(yǎng)成獨立思考、主動探究的習慣，體會解題帶來的快樂，享受探究帶來的成功感。常此以往，對于培養(yǎng)學會學習是非常重要的，并懂得如何把題解好解對，這會幫助學生學好數(shù)學。

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