利用小波包分析古建筑結(jié)構(gòu)損傷研究

秦堃

摘要： 對(duì)古建筑結(jié)構(gòu)的損傷進(jìn)行有限元分析，提出隨機(jī)激勵(lì)作用下古建筑結(jié)構(gòu)的小波包能量變化率指標(biāo)。把古建筑結(jié)構(gòu)梁上各節(jié)點(diǎn)的加速度響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行小波包變換來進(jìn)行損傷定位，該指標(biāo)對(duì)于古建筑結(jié)構(gòu)的損傷比較敏感，能準(zhǔn)確判定古建筑結(jié)構(gòu)的損傷位置，損傷程度越大，此指標(biāo)越大。隨后又提出損傷程度的判別方法并驗(yàn)算了其有效性，為研究環(huán)境激勵(lì)下古建筑的損傷預(yù)警提供了理論依據(jù)。

Abstract： Based on the finite element analysis of the damage of ancient building structures， this paper puts forward the wavelet packet energy change rate index of the ancient buildings under random excitation. The wavelet packet transform is taken for the each node's acceleration response signal of the ancient building structure beam to make a damage localization， whose index is sensitive for the ancient structural damage， can accurately determine the ancient building structure location， showing that the greater the extent of damage is， the greater the index is. Then， the method of judging the degree of damage is put forward and the validity of the method is checked， which provides a theoretical basis for the research on the early warning of the damage of the ancient buildings under the environment excitation.

關(guān)鍵詞： 古建筑結(jié)構(gòu)；有限元；小波包；損傷研究

Key words： ancient building structure；finite element；wavelet packet；damage detection

中圖分類號(hào)：TU312 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-4311（2017）07-0109-04

0 引言

損傷識(shí)別分為局部損傷和整體損傷兩大類。局部損傷和整體損傷兩者診斷方法存在較大差異，只有將兩者結(jié)合起來，才能準(zhǔn)確評(píng)價(jià)復(fù)雜結(jié)構(gòu)的健康狀況。小波分析被認(rèn)為是傅里葉分析方法的突破性進(jìn)展，具有放大、縮小和平移等功能，通過檢查不同放大倍數(shù)下的變化研究信號(hào)的變化特征，有優(yōu)良的時(shí)-頻域特性，缺點(diǎn)是高頻段分辨率差。小波包變換是小波變換的擴(kuò)充，能為信號(hào)提供一種更加精細(xì)的分析方法，將小波分析沒有細(xì)分的高頻部分進(jìn)一步分解，具有任意的時(shí)-頻分辨率，因此小波包變換在土木工程結(jié)構(gòu)的健康監(jiān)測(cè)與損傷診斷中具有非常廣闊的應(yīng)用前景。丁幼亮等進(jìn)行了基于小波包能量譜的結(jié)構(gòu)損傷預(yù)警方法研究[1]，徐龍河等[2]提出了一種基于結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的損傷指標(biāo)定位方法，對(duì)空間鋼框架支撐結(jié)構(gòu)損傷進(jìn)行定位分析，于哲峰等[3]進(jìn)行了基于互相關(guān)函數(shù)幅值向量的結(jié)構(gòu)損傷定位方法研究。

本文提出小波包能量變化率指標(biāo)對(duì)古建筑結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別，把有限元分析得到的梁上各節(jié)點(diǎn)的加速度響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行小波包變換，計(jì)算該指標(biāo)進(jìn)行損傷識(shí)別[4]。

1 小波包變換

2 古木結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別

2.1 合理的選擇小波函數(shù)

從消失矩和支撐長(zhǎng)度考慮，選擇Daubechies小波函數(shù)，簡(jiǎn)記dbN（N為階次）。時(shí)域的分辨和局域性都跟N有直接關(guān)系，因此應(yīng)合理確定Daubechies小波階次N。

對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行第i層小波包分解，fij表示第i層分解節(jié)點(diǎn)（i，j）上結(jié)構(gòu)響應(yīng)，每個(gè)頻帶內(nèi)結(jié)構(gòu)響應(yīng)fij能量[5]：

Eij=∑fij2（j=0，1，2，…，2i）（8）

則結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)f（N，k）第i分解層的小波包能量譜向量Ei：

Ei={Ei，j}=[Ei0 Ei1… Eij … Ei2i-1]T（9）

為衡量小波函數(shù)好壞，定義i分解層各頻帶能量系數(shù)系列{Eij}的代價(jià)函數(shù)M{Eij}。小波包能量譜中各頻帶能量系數(shù)Eij的時(shí)頻集中程度由代價(jià)函數(shù)M{Eij}反映。

2.2 合理地選擇小波包分解層數(shù)

2.4 損傷識(shí)別的判定

采用小波包能量變化率進(jìn)行損傷識(shí)別時(shí)，Benffey和Montgomery提出了用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法建立損傷指標(biāo)閥值的方法[7]，目的是設(shè)定上限和下限排除干擾帶來的誤差，若該值大于控制值，可判斷結(jié)構(gòu)發(fā)生了損傷，同樣可設(shè)置單邊置信區(qū)間的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)來識(shí)別古木結(jié)構(gòu)的損傷。

假設(shè)古木結(jié)構(gòu)梁上有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，采用小波包分解，可得到n個(gè)小波包能量變化率指標(biāo)，則置信水平（1-？琢）的單邊置信限為[8]：

3 算例

3.1 古建結(jié)構(gòu)損傷的模擬

本文以某古建筑為例，采用Ansys有限元軟件對(duì)古木結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷模擬，選取木框架參數(shù)如下：木梁長(zhǎng)4m，木柱高6m，梁截面尺寸為300×700mm2，柱截面直徑500mm，用beam188梁?jiǎn)卧M木柱、木梁，用combin14單元模擬梁柱的榫卯連接，榫卯連接的彎曲剛度為1×1010kN·m/rad，木材的彈性模量取1×1010N/m2，泊松比為0.25，密度為410kg/m3[10]。柱和基礎(chǔ)的連接簡(jiǎn)化為固定鉸支座[11]，建立古木結(jié)構(gòu)的有限元模型如圖1所示。

在支座1上施加水平方向的隨機(jī)激勵(lì)荷載[12]，激勵(lì)荷載的時(shí)程曲線如圖2所示，獲得結(jié)構(gòu)的豎向加速度時(shí)程曲線，運(yùn)用Matlab編制程序計(jì)算小波包能量變化率指標(biāo)。

表1列出古木結(jié)構(gòu)的損傷工況，損傷程度通過折減損傷單元的彈性模量，其中10%、18%、20%分別指損傷單元的彈性模量減少10%、18%、20%[5]。

3.2 選擇計(jì)算參數(shù)

3.2.1 選擇合適的小波函數(shù)

因梁跨中撓度較大，對(duì)完好結(jié)構(gòu)梁跨中第31節(jié)點(diǎn)的豎向加速度響應(yīng)進(jìn)行分析，選擇不同階次Daubechies進(jìn)行小波包分解，分解層次取4，計(jì)算lp范數(shù)熵的代價(jià)函數(shù)如表2所示。通過分析小波階次為20時(shí)，lp范數(shù)熵為5596.31，該值最小，因此損傷識(shí)別小波函數(shù)選擇Daubechies20。

3.2.2 選擇小波包分解層數(shù)

采用Daubechies20對(duì)梁跨中第31節(jié)點(diǎn)完好狀態(tài)豎向加速度響應(yīng)進(jìn)行小波包分解，分解層次取1～8，計(jì)算lp范數(shù)熵的代價(jià)函數(shù)值和計(jì)算機(jī)計(jì)算所用時(shí)間如表3所示。通過比較分解層次為4時(shí)代價(jià)函數(shù)值為5596.31，計(jì)算時(shí)間為0.112秒，代價(jià)函數(shù)值和計(jì)算時(shí)間均最小，因此損傷識(shí)別小波包分解層次取4。

3.3 損傷識(shí)別的判定

本文選擇db20小波函數(shù)對(duì)古木結(jié)構(gòu)梁上各節(jié)點(diǎn)完好結(jié)構(gòu)和損傷工況1、2的豎向加速度響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行小波包分解，分解層次取4。采用式（13）求出各節(jié)點(diǎn)小波包能量變化率指標(biāo)，損傷工況1、2的梁上各有9個(gè)節(jié)點(diǎn)，得出9個(gè)能量變化率指標(biāo)，對(duì)這9個(gè)指標(biāo)采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)，求出其均值和方差，假設(shè)置信水平為98%，由式（15）求出限值UL，并繪制損傷工況1、2的損傷指標(biāo)如圖3所示。

從圖3（a）、（b）看出，節(jié)點(diǎn)30、31、32的損傷指標(biāo)均大于限值UL，可判定節(jié)點(diǎn)30、31、32之間存在損傷，正好是梁假定的損傷單元52、53所在位置，與損傷工況1、2所假定的損傷位置完全吻合，可判定在此處存在損傷，在跨中第31節(jié)點(diǎn)指標(biāo)值最大，隨著節(jié)點(diǎn)離跨中距離越遠(yuǎn)，指標(biāo)值越小，說明跨中損傷程度最大，離跨中越遠(yuǎn)，損傷程度越小，到梁兩端時(shí)損傷程度最小，這與梁在跨中彎矩最大，最易損傷相符合，此指標(biāo)可準(zhǔn)確判定古木結(jié)構(gòu)梁的損傷位置。比較圖3（a）、（b）發(fā)現(xiàn)工況2的損傷指標(biāo)比工況1大，這與工況2損傷程度比工況1大相符合，因而該指標(biāo)能很好識(shí)別古木結(jié)構(gòu)的損傷位置和程度。

同樣對(duì)該梁采用式（14）計(jì)算小波包能量變化率指標(biāo)，選擇與上述相同的小波函數(shù)和分解層次，繪制損傷工況1、2的損傷指標(biāo)如圖4所示。

同樣從圖4看出，節(jié)點(diǎn)30、31、32上的能量變化率指標(biāo)都大于限值UL，可判定節(jié)點(diǎn)30、31、32之間存在損傷，與假定的梁損傷單元52、53所在位置吻合，可準(zhǔn)確判定古木結(jié)構(gòu)梁的損傷位置。31節(jié)點(diǎn)指標(biāo)值最大，隨著節(jié)點(diǎn)離跨中距離，指標(biāo)值越小，說明跨中損傷程度最大，離跨中越遠(yuǎn)，損傷程度越小，梁兩端損傷程度最小，這與梁的受力特征相符合，此指標(biāo)可準(zhǔn)確判定古木結(jié)構(gòu)梁損傷位置。比較圖4（a）、（b）看到工況2的損傷指標(biāo)比工況1大，與假定工況2的損傷程度比工況1大相符合，因此該指標(biāo)能很好識(shí)別結(jié)構(gòu)的損傷位置和程度。

比較圖3、圖4發(fā)現(xiàn)，對(duì)同一損傷工況，采用式（14）計(jì)算的損傷指標(biāo)大于式（13）的損傷指標(biāo)，說明本文提出的損傷指標(biāo)更能敏感表征古木結(jié)構(gòu)梁的損傷位置，并且損傷程度越大，指標(biāo)值越大，說明該指標(biāo)可以定量和定性地判斷古木結(jié)構(gòu)梁的損傷。

3.4 判定損傷程度

由圖3、圖4看出，損傷指標(biāo)的圖形基本相似，只是數(shù)值大小有差別。設(shè)想若能找到損傷程度和損傷指標(biāo)間的函數(shù)關(guān)系，畫出其關(guān)系曲線，知道了損傷指標(biāo)，可由此判斷損傷程度了。

假設(shè)古木結(jié)構(gòu)梁跨中出現(xiàn)損傷，對(duì)梁跨中損傷程度10%、15%、20%、25%、30%、35%、40%各損傷工況進(jìn)行有限元分析，得到相應(yīng)的豎向加速度信號(hào)，由式（14）求出梁跨中的損傷指標(biāo)——小波包能量變化率指標(biāo)與置信上限之差，采用Matlab進(jìn)行數(shù)值擬合找到節(jié)點(diǎn)31處損傷程度和損傷指標(biāo)間的函數(shù)關(guān)系，節(jié)點(diǎn)31的損傷指標(biāo)如表4所示，繪制其函數(shù)關(guān)系如圖5所示。

從圖5得出損傷指標(biāo)和損傷程度的函數(shù)關(guān)系式為：y =0.0039x2-0.051x+0.671，對(duì)某一損傷結(jié)構(gòu)施加隨機(jī)荷載，獲得相應(yīng)的加速度響應(yīng)，進(jìn)行小波包分解，由式（14）求出損傷指標(biāo)， 可在圖5中找到對(duì)應(yīng)的損傷程度。

下面驗(yàn)算該函數(shù)關(guān)系式的有效性：假設(shè)梁跨中損傷程度為18%，對(duì)損傷工況3進(jìn)行數(shù)值分析，得到梁上各節(jié)點(diǎn)的豎向加速度響應(yīng)信號(hào)，進(jìn)行小波包分解，繪制損傷指標(biāo)如圖6所示，得到31節(jié)點(diǎn)的損傷指標(biāo)y=1.08，由該函數(shù)關(guān)系式可逆推出x=18.8%，誤差為0.8%，這說明該函數(shù)關(guān)系式得出的結(jié)論比較準(zhǔn)確，具有可行性和應(yīng)用性。

4 結(jié)語

通過工程例子，提出了小波包能量變化率損傷識(shí)別指標(biāo)，把隨機(jī)荷載作用下的古木結(jié)構(gòu)梁上各節(jié)點(diǎn)的加速度響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行小波包變換，用此指標(biāo)進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷定位。該指標(biāo)對(duì)于古木結(jié)構(gòu)梁的損傷較敏感，可準(zhǔn)確判定古木結(jié)構(gòu)梁的損傷位置，本文提出的損傷指標(biāo)更能表征古木結(jié)構(gòu)梁的損傷位置，該指標(biāo)隨損傷程度的增大而變大。隨后又提出損傷程度的判別方法并驗(yàn)算了其有效性，有利于環(huán)境激勵(lì)下某鐘樓的損傷預(yù)警研究。

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