[Gn]連續(xù)的二階三角Bézier曲線

潘晶++邢慶丹++陳雪嬌

摘要：這篇文章構造了帶參數(shù)的三角Bézier基函數(shù)，并且引入調節(jié)矩陣，得到帶形狀參數(shù)l的二階三角Bézier曲線。它既保留了 Bézier 曲線的性質，又具有形狀可調性且能精確表示圓錐曲線。曲線拼接的條件簡單，是[Gn]連續(xù)的。此方法具有一般性，為復雜曲線的設計創(chuàng)造了條件。

關鍵詞：三角Bézier曲線；形狀參數(shù)；連續(xù)性；曲線拼接；保形

中圖分類號：TP391 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2016）32-0247-04

Order Two Trigonometric Bézier Curves with [Gn] Continuity

PAN Jing， XING Qing-dan， CHEN Xue-jiao

（ School of Mathematics of Liaoning Normal University， Liaoning 116029， China）

Abstract： This paper constructs a series of trigonometric Bézier basis function with the shape parameters，adding adjustment matrix ，and the two order triangular Bézier curves with shape parameter l are obtained. It retains the properties of Bézier curve. It is shape adjustable curves and it can accurately represent ellipse and circle. The curves are [Gn] continuous and the condition of curves blending is simple. This method is general， which creates the conditions for the design of complex curves.

Key words： triangular Bézier curve； shape parameter； continuity； curve blending； conformal

1 引言

在計算機輔助幾何設計（ CAGD） 中，Bézier 曲線一直占有重要地位。然而其無法進行形狀調整、不能精確表示橢圓、圓等圖形的不足引起了許多學者的關注。文獻[1-5]構造了含參數(shù)、性質類似于Bernstein基函數(shù)的新的基函數(shù)，使得定義曲線在具備Bézier 曲線基本性質的同時，還具有形狀可調性。文獻[6-7]中定義的三角多項式曲線解決了Bézier 曲線不能精確表示圓錐曲線的問題。文獻[1-7]中定義的曲線都可以在不改變控制頂點的情況下，通過改變形狀參數(shù)的值對曲線進行形狀調整。文獻[1][5]有別于其他曲線，曲線的2至你l階導失和一階導失一樣，都與首末控制邊平行。這對拼接時要求高階光滑性的曲線造型十分方便。

利用二階三角Bézier基函數(shù)，引入形狀參數(shù)，可以通過調整參數(shù)對曲線進行局部形狀調整，并且引入調節(jié)矩陣，使得曲線切點位于首末控制邊中點，且達到[Gn]連續(xù)，能精確表示橢圓和圓。

2 [Gn]連續(xù)的二階三角Bézier 基函數(shù)

2.1 基函數(shù)的定義

定義1：對于自變量[t∈[0，π2]]，稱表達式：

[b0，2（t）=12（1-sint）l+1b1，2（t）=1-12（1-sint）l+1-12（1-cost）l+1b2，2（t）=12（1-cost）l+1] （1）

為切點可調的連續(xù)的二階三角Bézier多項式基函數(shù)。其中l(wèi)為形狀參數(shù)，， 。

規(guī)定矩陣[1200121120012]為調節(jié)矩陣，則 （1）式的矩陣表現(xiàn)形式為：

[b0，2（t）b1，2（t）b2，2（t）]=[1200121120012（1-sint）l+11-（1-sint）l+1-（1-cost）l+1（1-cost）l+1]

2.2 基函數(shù)的性質

性質1：非負性

當[t∈[0，π2]]時，對所有[i=0，1，2]，有[bi，2（t）≥0]。

性質2：規(guī)范性

[i=02bi，2（t）=1]

性質3：對稱性

當[t∈[0，π2]]時，對所有[i=0，1，2]，有[bi，2（t）=b2-i，2（π2-t）]。

性質4：端點函數(shù)值

[b0，2（0）=12] [b1，2（0）=12] [b2，2（0）=0]

[b0，2（π2）=0] [b1，2（π2）=12] [b2，2（π2）=12]

性質5：端點導數(shù)值

當時，有：

[b（j）0，2（0）=（-1）j（l+1）！2（l-j+1）！] [b（j）0，2（π2）=0]

[b（j）1，2（0）=（-1）j+1（l+1）！2（l-j+1）！] [b（j）0，2（π2）=-（l+1）！2（l-j+1）！]

[b（j）2，2（0）=0] [b（j）0，2（π2）=（l+1）！2（l-j+1）！]

3 [Gn]連續(xù)的二階三角Bézier 曲線

3.1 曲線的定義

定義2 給定3個控制頂點[Pi∈?2或?3]，[t∈[0，π2]]，稱：

[p（t）=i=02Pibi，2（t） ] （2）

為[Gn]連續(xù)的二階三角Bézier曲線。其中，[i=0，1，2]，[l=0，1，2，...，n] 2.2曲線的性質。

3.2 曲線的性質

性質1： 凸包性

由[Gn]連續(xù)二階三角Bézier基的非負性和規(guī)范性即可得到。

性質2：對稱性

由控制多邊形[P0P1P2]和[P2P1P0]所生成的曲線是相同的，只是定向相反。

性質3：幾何不變性

[Gn]連續(xù)二階三角Bézier多項式基函數(shù)具有規(guī)范性，因此[Gn]連續(xù)二階三角Bézier曲線具有幾何不變性。

性質4：端點性質

[p（0）=12P0+12P1=12（P0+P1）]

[p（π2）=12P1+12P2=12（P1+P2）]

[p（j）（0）=（-1）j（l+1）！2（l-j+1）！P0+（-1）j+1（l+1）！2（l-j+1）！P1]

[p（j）（π2）=-（l+1）！2（l-j+1）！P1+（l+1）！2（l-j+1）！P2]

3.3 參數(shù)的幾何意義

由[Gn]連續(xù)的二階三角Bézier曲線的端點性質：

[p（0）=12P0+12P1=12（P0+P1）] [p（π2）=12P1+12P2=12（P1+P2）]

可知，調節(jié)矩陣將切點位置控制在[P0P1、] [P1P2]的中點，不同于切點在首末控制點的其他帶參數(shù)三角Bézier曲線，為優(yōu)化曲線拼接提供了條件。

l調節(jié)曲線的連續(xù)階數(shù)，l越大，曲線越接近控制多邊形，使曲線具有保形性。

4 曲線拼接

本節(jié)討論[Gn]連續(xù)二階三角Bézier曲線的光滑拼接條件，首先給出 一個引理。

引理1：設[t∈[0，π2]]，假設兩條曲線[f（t）]與[g（t）]在[f（1）=g（0）]處相連，如果當1時， [f（j）（1）=Fj（Vb-Va）g（j）（0）=（-1）j-1Gj（Vb-Va）] （3）

式中，和是與j有關的常數(shù)，并且，則兩條曲線在連接點處[Gn]連續(xù)。

證明：為了使兩條曲線在公共連接點處達到[Gn]連續(xù)，

[g（0）g′（0）g″（0）g?（0）g（4）（0）?g（l）（0）=Bf（1）f′（1）f″（1）f?（1）f（4）（1）?f（l）（1）] （4）

式（4）中的關聯(lián)矩陣為：

式中，[β1>0]。將式（3）代入式（4）并約掉等式兩邊的公共部分[Vb-Va]，得到：

[G1-G2G3-G4?（-1）l-1Gl=BF1F2F3F4?Fl] （5）

顯然由式（5）可以求出[βi（1≤i≤l）]的唯一解，并且[β1=G1F1>0]，因此證明兩條曲線可達到[Gl]連續(xù)。

證畢。

設兩條相鄰的帶形狀參數(shù)的二階三角Bézier曲線的表達式分別為

[p1（t）=i=02Pibi，2（t）]，[t∈[0，π2]] [p2（t）=i=02Qibi，2（t）]， [t∈[0，π2]]

其中[P0P1P2]和[Q0Q1Q2]分別為[p1（t）]和[p2（t）]的控制多邊，曲線[p1（t）]和[p2（t）]中基函數(shù)分別為[l1，l2]且[l1，l2∈N+]。

定理1：當且僅當[P1P2]與[Q0Q1]重合，即[P1=Q0，P2=Q1] 時，曲線[p1（t）]和[p2（t）]之間達到[Gn]連續(xù)，調節(jié)矩陣將切點控制在首末控制邊中點位置。

證明：由曲線的端點性質可知

[p1（π2）=12P1+12P2] [p2（0）=12Q0+12Q1]

將[P1=Q0，P2=Q1]代入（4）中，即可證明曲線[p1（t）]和[p2（t）]達到[G0]連續(xù)。

當 ，

[p（j）1（π2）=-（l+1）！2（l-j+1）！P1+（l+1）！2（l-j+1）！P2=（l+1）！2（l-j+1）?。≒2-P1）]

[p（j）2（π2）=（-1）j（l+1）！2（l-j+1）！P1+（-1）j+1（l+1）！2（l-j+1）！P2=（-1）j（l+1）！2（l-j+1）?。≒1-P2）]

由引理1可證明曲線[p1（t）]和[p2（t）]達到[Gn]連續(xù)。

證畢。

5 精確表示橢圓、圓

下面給出切點可調的[Gn]連續(xù)二階三角Bézier曲線精確表示橢圓、圓的條件。

定理2 當l=0時，曲線[Gn]連續(xù)，如果給定的控制頂點[P0]、[P1]、[P2]，滿足點[P0]、[P2]的橫（縱）坐標相等且[P1]為線段[P0P2]垂直平分線上的一點，那么切點可調的帶形狀參數(shù)的二階三角Bézier曲線[p（t）]可精確表示橢圓弧。

證明：

[x（t）=b0，2（t）x0+b1，2（t）x1+b2，2（t）x2=x2+12（1-sint）l+1（x0-x1）+12（1-cost）l+1（x0-x2）]

當l=0時，

[x（t）=b0，2（t）x0+b1，2（t）x1+b2，2（t）x2=（12x0+12x2）+12sint（x1-x0）+12cost（x1-x2）]

同理，

[y（t）=b0，2（t）y0+b1，2（t）y1+b2，2（t）y2=（12y0+12y2）+12sint（y1-y0）+12cost（y1-y2）]

為使曲線精準表示橢圓弧，控制點應該滿足如下條件在：

[x1-x0=x1-x2y1-y0=y2-y1或x0-x1=x1-x2y0-y1=y2-y1]

解得之：

[x0=x2y1=12（y0+y2）或y0=y2x1=12（x0+x2）]

只有當控制點滿足以上條件，曲線可以精確表示橢圓弧。

證畢。

推論1 若滿足[P0P1⊥P1P2]，則曲線[p（t）]精可確表示圓弧。

6 數(shù)值例子

例1：圖1中曲線右下至上分別取[l=0，1，2]，顯然，l越大，曲線越接近控制多邊形。

圖1 參數(shù)l對曲線的與影響

例2：圖2中取l=0，[P0（4，0）]、[P1（0，3）]、[P2（4，6）]（ [P0，P2]橫坐標相同）為控制點生成第一段橢圓弧；[P1（0，3）]、[P2（4，6）]、[P3（8，3）]（ [P1，P3]縱坐標相同）生成第二段橢圓?。?[P2（4，6）]、[P3（8，3）] 、[P0（4，0）] （[P2，P4]橫坐標相同） 生成第三段橢圓?。?[P3（8，3）] 、[P0（4，0）]、[P1（0，3）] （[P1，P3]縱坐標相同）生成第四段橢圓弧。通過此方法可精確表示整個橢圓，且在連接點達到[Gn]連續(xù)。

[P0（4，0）]、[P1（0，4）]、[P2（4，8）]、 [P3（8，4）]為頂頂點的封閉正方形，分別生成四段圓弧，精確表示整圓，如圖3，且在連接點達到連續(xù)。

7 結論

該方法以三角函數(shù)為工具，得到了一組新的基函數(shù)，進而構造出[Gn]連續(xù)的二階三角Bézier曲線。它既保留了 Bézier 曲線的端點性質、幾何不變性與對稱性等好的性質，又具有形狀可調性并且可以精確表示橢圓、圓。它不僅解決了類Bézier 曲線的擴展問題，還解決了 Bézier 曲線不能精確表示除拋物線外的圓錐曲線的問題。且與傳統(tǒng)拼接方法相比，該方法只要滿足前一條曲線的末控制邊與后一條曲線的首控制邊重合，即可使曲線達到[Gn]連續(xù)，不必增加輔助控制點，且連接點的位置可以通過位置參數(shù)進行調整。

[Gn]連續(xù)的二階三角Bézier 曲線的研究為復雜曲線的設計提供了方便，特別是對光滑度要求較高的場合，本文的方法更能體現(xiàn)其優(yōu)勢。

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