雙軸法

胡宸然

摘 要：對(duì)于函數(shù)圖像，我們所認(rèn)知的基本初等函數(shù)的圖像特性已成為規(guī)律被人們所掌握，而復(fù)雜型函數(shù)的圖像由基本初等函數(shù)以復(fù)合、組合的形式構(gòu)成，是有規(guī)律可尋的。該文通過(guò)對(duì)雙軸法的構(gòu)思、深入討論、對(duì)原函數(shù)斜率的分析處理、多組子函數(shù)構(gòu)成組合函數(shù)的圖像、雙軸法的延伸——隱函數(shù)與顯函數(shù)曲線(xiàn)間的疊加5個(gè)步驟，對(duì)組合型函數(shù)圖像的描繪進(jìn)行了闡述和推導(dǎo)。

關(guān)鍵詞：雙軸法 組合型函數(shù) 組合函數(shù)圖像 圖像描繪

中圖分類(lèi)號(hào)：F83 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2016）08（c）-0178-05

對(duì)于函數(shù)圖像，我們所認(rèn)知的基本初等函數(shù)的圖像特性已成為規(guī)律被所人們掌握，而今天的討論便架設(shè)在此基礎(chǔ)之上。

對(duì)于復(fù)雜型函數(shù)，其圖像特征便不再如初等函數(shù)信手拈來(lái)，但究其本質(zhì)，是由初等函數(shù)以復(fù)合、組合的形式構(gòu)成，便有規(guī)律可尋。復(fù)合函數(shù)可由“增增為增，減減為增，增減成減”的單調(diào)性復(fù)合規(guī)律再加之極值點(diǎn)進(jìn)行討論。而“雙軸法”的引出便是對(duì)組合函數(shù)（如，等）圖像的討論。

1 雙軸法的構(gòu)思

讓我們先用一個(gè)實(shí)例為切入點(diǎn)引入該法的概念，以為例。

可以將其看作是兩個(gè)函數(shù)的疊加，即與，則函數(shù)值也為兩子函數(shù)疊加。如何讓其在平面直角坐標(biāo)系中疊加？不妨先做出兩函數(shù)圖像（由基本初等函數(shù)知識(shí)，我們很容易做出）（見(jiàn)圖1）。

若直接讓該兩個(gè)子函數(shù)在坐標(biāo)系中疊加，看起來(lái)會(huì)雜亂無(wú)章，可若將其中一個(gè)函數(shù)“倒過(guò)來(lái)”呢？如圖2將兩圖像相互反置在一張圖中。

不難看出，兩函數(shù)疊加形成的陰影部分在軸方向上的長(zhǎng)度即為所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；如果把該陰影縱向分割成無(wú)數(shù)線(xiàn)段，讓這些線(xiàn)段的下端點(diǎn)都平齊于軸上，即為原函數(shù)圖像，如圖3所示，線(xiàn)段的長(zhǎng)度即為所對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小的絕對(duì)值，正負(fù)性會(huì)在接下來(lái)進(jìn)行討論，這便是“雙軸法”概念的引入。

2 對(duì)雙軸法進(jìn)行深入討論

對(duì)雙軸法有了初步了解，讓我們繼續(xù)深入探討此法。

2.1 組合型函數(shù)值正負(fù)性

在上文中舉出的函數(shù)其子函數(shù)與其值域都為的子集，故用雙軸法疊加后“互不侵犯”，不會(huì)到對(duì)方的半個(gè)坐標(biāo)系，這樣舉例是為了方便理解，可若兩子函數(shù)值域不為的子集呢？如。

如圖4所示，我們發(fā)現(xiàn)疊加圖像中實(shí)線(xiàn)陰影部分出現(xiàn)了“相交”的情況。

在雙軸坐標(biāo)系中，上部為的正值區(qū)域，同時(shí)也是的負(fù)值區(qū)域，不妨把其形象看作對(duì)于正值的“掠奪”，原本的正值，被負(fù)值疊加后成為負(fù)值，則實(shí)線(xiàn)陰影區(qū)域即為原函數(shù)負(fù)值區(qū)域，進(jìn)行整合時(shí)，將組成它的無(wú)數(shù)小線(xiàn)段的上端平齊于軸。

如圖5所示，即為原函數(shù)函數(shù)圖像，得出規(guī)律：“相離為正，相交為負(fù)”。

2.2 極值與最值

在對(duì)函數(shù)圖像的刻畫(huà)中，極值點(diǎn)與最值點(diǎn)的定位是一個(gè)很重要的環(huán)節(jié)，具有導(dǎo)向性。先拿兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行分析（見(jiàn)圖6）。

通過(guò)觀(guān)察不難發(fā)現(xiàn)幾點(diǎn)規(guī)律。

（1）零點(diǎn)：由“相離”到“相交”之間的轉(zhuǎn)換所對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像便是由正值到負(fù)值之間的轉(zhuǎn)換，即雙軸疊加圖像中兩個(gè)子函數(shù)的交點(diǎn)，即為函數(shù)零點(diǎn)。

（2）單調(diào)性——“喇叭”。觀(guān)察圖6中的①②③④，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)在雙軸疊加圖像中會(huì)出現(xiàn)不少這樣的“喇叭”型片段；不討論正負(fù)，單討論“值”，很容易發(fā)現(xiàn)，“喇叭”所對(duì)的喇叭口方向，即為值的遞增。在正值即“相離”區(qū)域，值的遞增便是函數(shù)值的遞增，沿軸正方向即為單調(diào)遞增，延軸負(fù)方向即為單調(diào)遞減；相反地，在負(fù)值“相交”區(qū)域中，負(fù)值的遞增表達(dá)在函數(shù)值中即為遞減，延軸正方向即為單調(diào)遞減，延軸負(fù)方向即為單調(diào)遞增。

（3）極值。對(duì)（2）的延伸討論即為“梭”形（圖6中②③），梭形對(duì)于“值”的變化即為由小到大再由大到小，那么不難理解其梭形“最寬處”在原函數(shù)圖像中即對(duì)應(yīng)一個(gè)極值點(diǎn)。

在“相交”負(fù)值區(qū)域中，“最寬處”對(duì)應(yīng)負(fù)值最大值，表現(xiàn)在原函數(shù)中即為極小值；在“相離”正值區(qū)域，相反地，“最寬處”為一個(gè)極大值。

觀(guān)察上圖7中的⑤，函數(shù)雙軸疊加圖像中，亦會(huì)有這樣的“葫蘆形”片段出現(xiàn)在正值共域或負(fù)值共域中（共域：區(qū)域內(nèi)函數(shù)值都為正或都為負(fù)，即都為“相交”或都為“相離”）。經(jīng)過(guò)前面的討論，可以直接得出其規(guī)律：“最窄處”對(duì)應(yīng)一個(gè)值的最小點(diǎn)，在“相交”負(fù)值共域中，對(duì)應(yīng)一個(gè)極大值，在“相離”正值共域中，表現(xiàn)為一個(gè)極小值（也有可能為該定義域內(nèi)的最值，具體要和相鄰定義域的圖像情況結(jié)合起來(lái)分析）。

（4）最值。對(duì)于一個(gè)區(qū)域性極值，對(duì)區(qū)域兩端函數(shù)圖像單調(diào)性進(jìn)行分析即可得出其是否為最值，如圖6中②③“喇叭”片段中為一個(gè)區(qū)域極小值，對(duì)①與④進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)位于軸負(fù)方向上的①片段是一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間，位于軸正方向上的④片段是一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，綜合分析得出結(jié)論：在原函數(shù)中是一個(gè)最小值點(diǎn)。

（5）值域。對(duì)比分析原函數(shù)最值便可輕易推算出函數(shù)在定義域內(nèi)的值域；對(duì)函數(shù)雙軸疊加圖像進(jìn)行分段處理單獨(dú)分析也可推算出單個(gè)區(qū)間的值域。

如圖6中①②片段，作為一個(gè)極小值點(diǎn)出現(xiàn)，而①②片段為單調(diào)遞減，故①②片段最小值，則在區(qū)間上值域?yàn)椤?/p>

3 對(duì)原函數(shù)斜率的分析處理（以下子函數(shù)的斜率為雙軸圖中直觀(guān)斜率）

（1）斜率的大小。

從導(dǎo)數(shù)的定義我們可以知道，原函數(shù)導(dǎo)數(shù)為子函數(shù)導(dǎo)數(shù)之和，滿(mǎn)足單純的加減運(yùn)算。如原函數(shù)，子函數(shù)即為與，可推知：。

（2）斜率正負(fù)性與大小對(duì)于單調(diào)性的判斷。

由前文我們了解了由雙軸疊加圖像中一些形如“喇叭”“梭”“葫蘆”形等簡(jiǎn)單片段對(duì)于原函數(shù)單調(diào)性的判斷，可復(fù)雜型組合函數(shù)有更多的是像圖8這樣復(fù)雜、直觀(guān)無(wú)法判斷的圖像，為了方便雙軸法疊加圖像更加直觀(guān)，我們可對(duì)原函數(shù)進(jìn)行配比：。

框中圖像片段并不好直觀(guān)進(jìn)行判斷，并且其斜率的計(jì)算也比較復(fù)雜：。那么，我們應(yīng)該如何根據(jù)雙軸疊加圖像判斷原函數(shù)的單調(diào)性呢？

這個(gè)片段判斷單調(diào)性的難處在于在上單調(diào)遞減，而在上單調(diào)遞增，減少量與增加量誰(shuí)大誰(shuí)小難以判斷。在這里，為了方便理解，我們可以引入物理學(xué)的概念，把函數(shù)的斜率看作其函數(shù)值基于均勻變化而變化的速度，即“速度”；而斜率變化的快慢看作“速度”的“加速度”，即“二階導(dǎo)數(shù)”；既然無(wú)法直接判斷減少量與增加量誰(shuí)大誰(shuí)小，不如宏觀(guān)判斷究竟是“加得快”還是“減得快”。

這種情況，兩子函數(shù)在雙軸圖中斜率具有（即直觀(guān)來(lái)看同時(shí)向下或向上延伸）。

將其分為4種類(lèi)型如圖9所示。

在圖9①中，雙軸上部子函數(shù)初始斜率小于下部。

觀(guān)察實(shí)線(xiàn)情況，二階導(dǎo)數(shù)恒正，二階導(dǎo)數(shù)恒負(fù)。不斷增大，不斷減小，當(dāng)時(shí)，達(dá)到極小值，之后便開(kāi)始單調(diào)遞增；即時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，開(kāi)始單調(diào)遞增。

觀(guān)察虛線(xiàn)情況，恒負(fù)，而恒正。不斷減小，不斷增大，又由于，所以增長(zhǎng)的速度要永遠(yuǎn)慢于的減小速度，呈單調(diào)遞減。

在圖9②中，雙軸圖上部子函數(shù)初始斜率大于下部。

觀(guān)察實(shí)線(xiàn)情況，恒正，恒負(fù)。不斷增大，不斷減小，又由于，所以增長(zhǎng)的速度要永遠(yuǎn)快于的減小速度，呈單調(diào)遞增。

觀(guān)察虛線(xiàn)情況，恒負(fù)，而恒正。不斷減小，不斷增大，當(dāng)時(shí)，達(dá)到極大值，之后開(kāi)始單調(diào)遞減；即時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減。

分析完①②兩種類(lèi)別，仔細(xì)觀(guān)察③④，會(huì)發(fā)現(xiàn)它們分別是①與②繞軸旋轉(zhuǎn)180°形成的圖像，規(guī)律相似，故不再重復(fù)分析。

以上分析的情況中，永遠(yuǎn)與正負(fù)性相異，是較簡(jiǎn)單的情況，比較容易分析。

那么，要是與正負(fù)性相同呢？（見(jiàn)圖10）

在圖10①中，上部子函數(shù)初始斜率小于下部，且與恒正。

觀(guān)察虛線(xiàn)情況，。與不斷增大，且增長(zhǎng)速度要快于，又由于，所以的減小量恒大于的增大量，單調(diào)遞減。

觀(guān)察實(shí)線(xiàn)情況，。與不斷增大，在時(shí)，單調(diào)遞減，在時(shí)，單調(diào)遞增。

在圖10②中，上部子函數(shù)初始斜率大于下部，且與恒正。

觀(guān)察虛線(xiàn)情況，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增即在片段內(nèi)全部單調(diào)遞增。

觀(guān)察實(shí)線(xiàn)情況，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，即在該片段內(nèi)先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減。

分析到這里，我們大致可以總結(jié)出一個(gè)規(guī)律：當(dāng)增長(zhǎng)量子函數(shù)斜率絕對(duì)值大于減少量子函數(shù)斜率絕對(duì)值時(shí)，函數(shù)

單調(diào)遞增，反之單調(diào)遞減（其中，斜率是指雙軸圖中直觀(guān)斜率）。

舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子：，則，。

對(duì)圖11雙軸疊加圖像進(jìn)行分析，在與上為典型的“喇叭”型，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。分析區(qū)間：，（圖中直觀(guān)斜率），故，一開(kāi)始減小速度快于增長(zhǎng)速度，呈單調(diào)遞減。不斷減小，不變，當(dāng)時(shí)：，故當(dāng)大于后，，單調(diào)遞增；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。

4 多組子函數(shù)構(gòu)成組合函數(shù)的圖像

以上我們分析的都是由兩組子函數(shù)構(gòu)成的組合函數(shù)，但要是兩組以上呢？

我們可以累計(jì)逐一疊加，舉個(gè)例子（如圖

12）：。

如上，用如此逐一累加的方法就可以逐步做出由兩組以上子函數(shù)構(gòu)成的組合函數(shù)的圖像。

5 雙軸法的延伸——隱函數(shù)與顯函數(shù)曲線(xiàn)間的疊加

形如，這樣的隱函數(shù)曲線(xiàn)，所對(duì)應(yīng)的在軸方向上并不具有單一性，如果直接使用雙軸法將其與顯函數(shù)曲線(xiàn)進(jìn)行疊加，雙軸疊加圖像會(huì)顯得雜亂不堪，不好進(jìn)行辨別。那么，應(yīng)該用什么樣的方法進(jìn)行疊加才會(huì)讓它變得直觀(guān)可辨呢？我們可以用一些技巧，讓隱函數(shù)曲線(xiàn)變得像顯函數(shù)曲線(xiàn)一樣（如圖13）。

——“分而治之”：

舉個(gè)例子，如：與（-1≤≤1）。

通過(guò)以上的討論，我們已對(duì)雙軸法的構(gòu)思和復(fù)雜性組合函數(shù)圖像的描繪方法有了一定的了解。筆者相信，雙軸法的推廣和使用，會(huì)讓函數(shù)與曲線(xiàn)圖像的繪制與其性質(zhì)的研究更加方便，一定會(huì)成為研究數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、計(jì)算機(jī)及其他學(xué)科的好工具，也能讓更多與函數(shù)相關(guān)領(lǐng)域的應(yīng)用中多了一種解決問(wèn)題的方案，會(huì)給人們帶來(lái)更多快捷！

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