土體修正劍橋模型p′:q:υ關(guān)系的歸一化分析*

鄧英軍， 安振東， 楊俊杰

(1.中國石油工程建設(shè)公司華東設(shè)計分公司，山東 青島 266071； 2.青島雙瑞海洋環(huán)境工程股份有限公司，山東 青島 266101； 3.中國海洋大學(xué)環(huán)境科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266100)

土體修正劍橋模型p′:q:υ關(guān)系的歸一化分析*

鄧英軍1， 安振東2， 楊俊杰3??

(1.中國石油工程建設(shè)公司華東設(shè)計分公司，山東 青島 266071； 2.青島雙瑞海洋環(huán)境工程股份有限公司，山東 青島 266101； 3.中國海洋大學(xué)環(huán)境科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266100)

修正劍橋模型是基于臨界狀態(tài)理論下提出的一種描述黏土體應(yīng)力-應(yīng)變行為的彈塑性本構(gòu)模型，具有形式簡單、參數(shù)少并具有明確的物理意義，易采用試驗確定，能夠比較準(zhǔn)確的描述黏土的應(yīng)力-應(yīng)變行為等優(yōu)點。修正劍橋模型在描述土體力學(xué)行為時，需要表達(dá)土體有效應(yīng)力p′，剪切力q和體積比υ的三者關(guān)系，這就要求將3個變量呈現(xiàn)在1個三維圖表或者2個二維圖表上。本文采用兩種方法對模型中的3個變量進行歸一化處理，通過對修正劍橋模型的屈服面方程進一步的推導(dǎo)和轉(zhuǎn)化，將三者之間的關(guān)系用1個二維圖形表示出來。與此同時，通過編寫程序模擬土體三軸排水和不排水試驗中的應(yīng)力路徑并將結(jié)果表現(xiàn)在二維圖形中，發(fā)現(xiàn)模擬結(jié)果與常規(guī)方法一致，從而驗證了該歸一化處理的有效性和準(zhǔn)確性。

修正劍橋模型;歸一化;三軸排水試驗;三軸不排水試驗

英國劍橋大學(xué)Roscoe和他的同事[1-2]在正常固結(jié)黏土和超固結(jié)黏土試樣的排水和不排水三軸試驗的基礎(chǔ)上，發(fā)展了Rendulic提出的飽和黏土有效應(yīng)力和孔隙比成唯一關(guān)系的概念，提出完全狀態(tài)邊界面的思想。他們假定土體是加工硬化材料，服從Drucker公設(shè)[3]和相關(guān)聯(lián)流動規(guī)則，根據(jù)能量方程，建立劍橋模型(Cam-clay Model)。由于劍橋模型假設(shè)中的簡化，在應(yīng)力比較小時計算得到的剪應(yīng)變計算值一般都偏大，1968年Roscoe等[4]又進一步對劍橋模型做了修正，將關(guān)于塑性能的假定進行了修改，得到了著名的修正劍橋模型。這個模型采用帽子屈服面，相適應(yīng)的流動法則和以塑性體應(yīng)變?yōu)橛不瘏?shù)。它在國際上被廣泛的接受和應(yīng)用，由于模型是基于土體的臨界狀態(tài)理論而提出的，因此也被稱為臨界狀態(tài)模型。臨界狀態(tài)是指土體受剪切作用，在破壞時具有唯一的最終狀態(tài)，無論是在排水還是在不排水條件下最后都會到達(dá)這種狀態(tài)。具體定義為土體在剪切試驗的大變形階段，它趨向于最后的臨界狀態(tài)，即體積和應(yīng)力(總應(yīng)力和孔隙壓力)不變，而剪應(yīng)變還處于不斷持續(xù)的發(fā)展和流動的狀態(tài)[5-7]。臨界狀態(tài)線與試驗的正常固結(jié)狀態(tài)到臨界狀態(tài)的應(yīng)力路徑?jīng)]有關(guān)系；有效應(yīng)力路徑終點都在同一條直線上—破壞線。

作為現(xiàn)代土力學(xué)開端的標(biāo)志，劍橋模型是第一個真正意義上的土體彈塑性本構(gòu)模型。因為具有形式相對簡單、參數(shù)不多且有明確的物理意義和易于用簡單試驗所確定且能反映土變形的基本主要特性等優(yōu)點，劍橋模型在當(dāng)前土體本構(gòu)模型研究過程中應(yīng)用最為廣泛，并已經(jīng)積累了較多的應(yīng)用經(jīng)驗，也在一些商用程序中被廣泛使用。另一方面，人們也針對某些工程領(lǐng)域的特殊條件和需要建立有特殊性的土的本構(gòu)模型，例如土的結(jié)構(gòu)性模型[8]、損傷模型、UH模型[9-10]、各向異性模型[11]以及描述循環(huán)荷載條件下土的本構(gòu)特性，如多重屈服面模型[12-13]、邊界面模型等[14]。這些模型的建立大多數(shù)都是基于劍橋模型這個經(jīng)典彈塑性模型基礎(chǔ)之上的。其中，姚仰平提出的UH模型是在修正劍橋模型的基礎(chǔ)上，通過引入統(tǒng)一硬化(unified hardening，UH)參數(shù)建立的，該本構(gòu)模型能夠反映飽和超固結(jié)土的剪縮、剪脹、硬化、軟化和應(yīng)力路徑相關(guān)性等特性，模型所用土性參數(shù)與修正劍橋模型完全相同[15-16]。

本文結(jié)合前人關(guān)于劍橋模型的推導(dǎo)和論述，采用歸一化方法，將有單位的變量進行無量綱化，通過對修正劍橋模型屈服面方程做進一步的推導(dǎo)和轉(zhuǎn)化，將劍橋模型在三維圖形中表示的三軸排水和不排水試驗反映在二維圖形中。

1 修正劍橋模型

劍橋模型屬于彈塑性硬化本構(gòu)模型范疇，單位體積土體受力所做的功由兩部分組成，即彈性功增量dWe和塑性功增量dWp。彈性功增量表示為：

(1)

(2)

(3)

式中M為摩擦系數(shù)，其計算公式為:

(4)

上式中φ為土體的內(nèi)摩擦角，根據(jù)式(2)和(3)可得：

(5)

由相關(guān)聯(lián)性流動法則，即正交法則可以得到：

(6)

式中:dp′為平均有效應(yīng)力增量;dq為剪切應(yīng)力增量。由式(5)和(6)可得：

(7)

解此微分方程并利用q=0時p=p0的條件，可得：

劍橋模型屈服面方程：

(8)

圖1 原始劍橋模型屈服面[17]Fig.1 The yield surface of Cam-clay model[17]

由于在q=0時，原始劍橋模型屈服面存在一個奇異點(見圖1)，其外法線方向不確定，即塑性應(yīng)變方向不確定，從而為數(shù)值計算帶來困難。為了克服這兩個問題，1968年Roscoe和Burland對劍橋模型做了修正，得到了著名的修正劍橋模型。主要修改了塑性功假設(shè)，既考慮體積應(yīng)力產(chǎn)生的塑性功又考慮剪切應(yīng)力產(chǎn)生的塑性功，將式(5)變?yōu)?

(9)

將式(9)化簡得：

(10)

上式中η為應(yīng)力比，其值為η=q/p′。采用與原始劍橋模型同樣的推導(dǎo)方式，可得

(11)

上式為修正劍橋模型的屈服面方程，屈服軌跡為橢圓曲線，如圖2所示。

圖2 修正劍橋模型屈服面

2 υλ-η坐標(biāo)平面內(nèi)的歸一化分析

劍橋模型屈服面方程(11)可轉(zhuǎn)化為如下形式：

(12)

圖3 修正劍橋模型對正常固結(jié)土三軸排水試驗的分析結(jié)果

圖4 修正劍橋模型的p′:q:υ三維空間

表示這一系列直線的數(shù)學(xué)表達(dá)式具有相同的形式，其數(shù)學(xué)表達(dá)式可寫為如下形式：

υ=υλ-λlnp′。

(13)

將土體體積比υ和應(yīng)力狀態(tài)p′轉(zhuǎn)化為求變量υλ形式：

υλ=υ+λlnp′。

(14)

圖5 υ-lnp′坐標(biāo)平面內(nèi)的正常固結(jié)線、臨界狀態(tài)線和回彈曲線

式中υλ為代表不同η值的直線在lnp′=0(p′=1 kPa)上的截距。其中對于正常固結(jié)線(NCL)，即圖5中的N值代表點的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

η=0,υλ=N。

(15)

臨界狀態(tài)線(CSL)，圖6中K點對應(yīng)的數(shù)學(xué)方程式為：

η=M,υλ=Γ。

(16)

根據(jù)圖5中的NCL和卸載曲線，可推導(dǎo)得到土體體積比υ的表達(dá)式為：

(17)

根據(jù)式(14)和(17)得到：

(18)

由式(12)和(18)：

隨著峨眉武術(shù)的變遷，峨眉武術(shù)越來越泛化，微觀意義上指以發(fā)源于峨眉山，并與巴蜀地域文化長期互動交融而形成的拳種流派。宏觀意義上的理解更接近巴蜀武術(shù)的概念，不僅包括早期傳入四川地域并與其地域文化互相適應(yīng)，且己具有顯著巴蜀地方文化特色的外來武術(shù)拳種，還包括從四川傳播到其他地區(qū)以外的武術(shù)技術(shù)。

(19)

假定某確定的λ、N、M和κ的值，具體參數(shù)取值如表1所示。根據(jù)式(18)和(19)編寫程序，得到劍橋模型中η-υλ的關(guān)系曲線(見圖6)。圖中的NYZ可以理解為劍橋模型的屈服軌跡在二維圖形中的體現(xiàn)。

表1 土體三軸試驗?zāi)M參數(shù)

圖6 υλ-η坐標(biāo)平面內(nèi)三軸排水試驗和不排水試驗的應(yīng)力路徑

對于正常固結(jié)土而言，等向固結(jié)壓縮試驗的排水路徑和不排水路徑都是在N點出發(fā)，延曲線NY到達(dá)臨界狀態(tài)點Y。

與此同時，輕超固結(jié)土(12)的排水試驗路徑仍可假設(shè)分別從P點和M點出發(fā)，當(dāng)荷載還未加載到劍橋模型屈服軌跡時，應(yīng)力路徑延加載-卸載曲線移動，有效應(yīng)力p′增大，體積比υ減小。因為土體的等向固結(jié)曲線斜率λ要大于土體加載-卸載曲線的斜率κ，根據(jù)式(18)可得υλ在此應(yīng)力路徑發(fā)展中是變大的。因此，輕超固結(jié)土和重超固結(jié)土排水試驗路徑分別沿PA、MK到達(dá)屈服軌跡，然后沿AY、KY分別達(dá)到臨界狀態(tài)線。這一應(yīng)力路徑與在p′:q:υ三維圖表中形成一致。

υ=N-λlnp′。

(20)

(21)

由式(18)和(22)得到如下表達(dá)式：

(22)

其中α表達(dá)式為：

(23)

由式(22)和屈服面方程(12)可得：

(24)

根據(jù)應(yīng)力比η=q/p′，很容易得到：

(25)

3 結(jié)語

本文提出的兩種歸一化方法，在二維坐標(biāo)范圍內(nèi)將土體的三維p′:q:υ特性信息表示出來。并且能夠在一張二維坐標(biāo)中詳細(xì)的表示土體的排水和不排水三軸應(yīng)力行為，圖形簡單、信息量豐富。與此同時，通過編寫程序模擬土體三軸排水和不排水試驗中的應(yīng)力路徑并將結(jié)果表現(xiàn)在二維圖形中，發(fā)現(xiàn)模擬結(jié)果與常規(guī)方法一致，從而驗證了該歸一化處理的有效性和準(zhǔn)確性。另外，本文所提出的兩種無量綱方法證明：基于土體有效應(yīng)力來反映土體的行為,不同的試驗方法只是單一解釋了土體行為的不同方面。

[1] Roscoe K H, Schofield A N, Wroth C P. On the yielding of soils[J]. Geotechnique, 1958, 8(1): 22-53.

[2] Roscoe K H, Schofield A N, Thurairajah A. Yielding of clays in states wetter than critical[J]. Geotechnique, 1963, 13(3): 21-40.

[3] 龔曉南編著. 土塑性力學(xué)[M]. 杭州: 浙江大學(xué)出版社. 1997. Gong Xiao-Nan. Soil Plastic Mechanics[M]. Hangzhou: Zhejiang University Press, 1997.

[4] Roscoe K H, Burland J B. On the generalised stress-strain behaviour of wet clay[J]. Engineering Plasticity, 1968: 535-609.

[5] Wood D M. Soil Behaviour and Critical State Soil Mechanics[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1990.

[6] Schofield A N, Wroth C P. Critical State Soil Mechanics[M]. London: Mc Graw-Hill, 1968.

[7] 羅汀. 土的本構(gòu)關(guān)系[M]. 北京: 人民交通出版社, 2010. Luo Ting. Soil Constitutive Models[M]. Beijing: China Communications Press, 2010.

[8] Liu M D, Carter J P. A structured cam clay model[J]. Canadian Geotechnical Journal, 2002, 39(6): 1313-1332.

[9] 姚仰平, 侯偉, 羅汀. 土的統(tǒng)一硬化模型[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報, 2009, 28(10): 2135-2151. Yao Yang-Ping, Hou Wei, Luo Ting. Unified hardening model for soils[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2009, 28(10): 2135-2151.

[10] 姚仰平. 土的統(tǒng)一硬化模型及其發(fā)展[J]. 工業(yè)建筑, 2008, 38(8): 1-56. Yao Yang-Ping. Unified hardening model for soils and itsdevelopment[J]. Industrial Construction, 2008, 38(8): 1-56.

[11] Wheeler S J, Karstunen M. An anisotropic elastoplastic model for soft clays[J]. Canadian Geotechnical Journal, 2003, 40(2): 403-418.

[12] Mroz Z, Norris V A, Zienkiewicz O C. An anisotropic, critical state model for soils subject to cyclic loading[J]. Geotechnique, 1981, 31(4): 451-469.

[13] Mroz Z, Norris V A. Elastoplastic and Viscoplastic Constitutive Models for Soils with Application to Cyclic Loading[M].Soil Mechanics-Transient and Cyclic Loads. New York: Wiley, 1982: 173-217.

[14] Dafalias Y F, Herrmann L R. Bounding Surface Formulation of Soil Plasticity[M]. Soil Mechanics-Transient and Cyclic Loads. New York: John Wiley& Sons Ltd.1982, 10: 253-282.

[15] 姚仰平, 侯偉. 土的基本力學(xué)特性及其彈塑性描述[J]. 巖土力學(xué), 2009, 30(10): 2881-2902. Yao Yang-Ping, Hou Wei. Basic mechanical behavior of soils and theirelastoplasticmodeling[J]. Rock and Soil Mechanics, 2009, 30(10): 2881-2902.

[16] 姚仰平. UH模型系列研究[J]. 巖土工程學(xué)報, 2015, 37(2): 193-217. Yao Yang-Ping. Advanced UH models for soils [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2015, 37(2): 193-217.

[17] 劉明. 飽和軟黏土動力本構(gòu)模型研究與地鐵隧道長期振陷分析[D]. 上海： 同濟大學(xué), 2006. Liu Ming. Saturated Soft Clay Dynamic Constitutive Model Research and Long-Term Tunnel Vibration Settlement Analysis [D]. Shanghai: Tongji University, 2006.

責(zé)任編輯 龐 旻

Two-Dimensional Representations ofp′:q:υInformation in Modified Cam-Clay Model

DENG Ying-Jun1, AN Zhen-Dong2, YANG Jun-Jie3

(1.CPECC East China Design Branch, Qingdao 266071, China; 2.Sunrui Marine Environment Engineering Co., Ltd, Qingdao 266101, China; 3.College of Environmental Science and Engineering, Ocean University of China, Qingdao 266100, China)

The Modified Cam-claymodel is aelasto-plastic constitutive model which is used to describe the stress-strain behavior of soils. The model is simple because it was defined only by five parameters. It was established based on the critical state theory and can describe the behavior of clay more accurately. In addition, the parameters in themodel which can bedetermined easily by indoor soil tests have clear physical meanings. The relationship of the mean effective stressp′, the deviator stressqand specific volumeυwas usually used to describe the soils mechanical properties in the model. As a result, a three-dimensional figureor two two-dimensional ones which reflect the relationship between two variablesrespectively are needed. In this paper, the three variables in Modified Cam-claymodel were normalized using two different methods. Two-dimensional graphs which can reflectsp′:q:υrelationship were drawn respectively after further derivation and transformationof the model yield surface equation. At the same time, the stress paths of soil triaxial drained testand triaxialundrained test were simulated by programing and the results were drawn in two-dimensional figure. It is found that the stress path resultsconsistent with that obtained using the usual methods. Finally, the accuracy and rationality of the normalization methodsare confirmed.

Modified Cam-clay model; normalization; drained triaxial tests; undrainedtriaxial tests

國家自然科學(xué)基金項目(50779652)資助 Supported by the National Natural Science Foundation of China (50779652)

2015-11-25；

2016-07-17

鄧英軍(1989-)，男，碩士，工程師，主要從事巖土及地下工程設(shè)計和研究方面的工作。E-mail：dengyingjun@cnpccei.cn

** 通訊作者：E-mail: jjyang@ouc.edu.cn

TU443

A

1672-5174(2017)03-095-06

10.16441/j.cnki.hdxb.20150401

鄧英軍， 安振東， 楊俊杰. 土體修正劍橋模型p′:q:υ關(guān)系的歸一化分析[J]. 中國海洋大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2017, 47(3): 95-100.

DENG Ying-Jun, AN Zhen-Dong, YANG Jun-Jie. Two-dimensional representations ofp′:q:υinformation in modified cam-clay model[J]. Periodical of Ocean University of China, 2017, 47(3): 95-100.