泛函分析教學改革探討

吳 正，潘 欣，王良龍

(1.安徽大學 數(shù)學科學學院，安徽 合肥230601；2.安徽大學 江淮學院，安徽 合肥230039)

十九世紀末到二十世紀初，為探求結論、方法的一般性與統(tǒng)一性，分析數(shù)學日趨抽象化。同時，很多學科在思想和方法上具有相似之處，尤其是經(jīng)典分析、變分學、積分方程等學科，急需建立對同類型對象抽象化的統(tǒng)一處理的方法與理論。在此情形下，泛函分析應運而生，并在數(shù)學物理和量子力學等學科研究應用中取得巨大成功。此后，在眾多學科研究的需求刺激下，泛函分析得到巨大發(fā)展。時至今日，泛函分析在數(shù)學乃至自然科學中地位都十分重要，其思想、方法已經(jīng)滲透到許多學科，比如，微分方程的現(xiàn)代理論、調和分析、隨機過程與隨機分析學、計算數(shù)學、控制論、現(xiàn)代物理、計算機科學、生物數(shù)學、經(jīng)濟數(shù)學等等，并在這些學科的發(fā)展中起到巨大作用，已經(jīng)成為很多學科研究的必備知識。

由于泛函分析的廣泛應用性，目前，在國內外的許多高校中，很多學科已經(jīng)將泛函分析加入到本科培養(yǎng)方案[1]。本科階段，泛函分析內容主要包含三部分:(1) 空間理論；(2) 空間之間的映射理論；(3) 空間理論及映射理論在其它學科的基本應用。第一部分重點闡述幾類具有拓撲結構或代數(shù)結構的空間相關性質，核心內容是線性賦范空間與內積空間。第二部分重點討論空間之間的線性算子相關性質，尤其是線性泛函性質。第三部分一般是通過典型例題，介紹泛函分析在不同學科的應用，彰顯泛函分析廣泛的應用性。

簡而言之，泛函分析以具有拓撲結構或代數(shù)結構的線性空間之間映射為主要學習內容，綜合應用代數(shù)、幾何和分析等現(xiàn)代數(shù)學觀點，深入討論無限維向量空間上的泛函、算子和極限理論。泛函分析可以理解為解析幾何與數(shù)學分析在無窮維向量空間的推廣，其抽象地概括了經(jīng)典分析、函數(shù)論等重要學科中的許多經(jīng)典結果。由于泛函分析的廣泛性與深刻性，泛函分析理論內容、技巧和方法對數(shù)學專業(yè)和相關非數(shù)學專業(yè)都極其重要的。熟知泛函分析的基本內容，理解泛函分析的基本思想，掌握泛函分析基本方法與技巧是本科泛函分析學習的重點，也是后續(xù)研究生階段學習、科研的基礎所在。

然而，正是由于泛函分析理論的高度抽象性與廣泛的應用性特點，本科階段《泛函分析》在教學上極具挑戰(zhàn)。(1)泛函分析中概念抽象，結論深刻；(2) 方法獨特；(3) 內容繁多，任務繁重。這些都給泛函分析教與學帶來很多困難。教授該課程時，教師有“三難”：難透徹、難深入、難把握。對于教師，如何透徹解釋概念與定理、如何深入剖析定理的證明與應用以及如何把握教學內容寬度及深度，都極具挑戰(zhàn)。學習該課程時，學生也有“三難”：難理解、難掌握、難應用。對于學生，如何理解概念與定理、如何掌握定理證明思想與方法以及如何應用所學內容解決問題，都是很大的困難。目前，泛函分析教學過程中，教師大多給出大量的定義、定理與推論，側重理論推導，而對概念的抽象背景與理論的應用背景很少提及；多數(shù)學生在初學這些概念時, 十分抽象，難于理解，課堂上只能聽與記，導致主觀思考與能動性喪失。最終，對有關理論的學習和運用不知所措，給人以“如入寶山而空返”之感[2]。如何解決這些問題，在泛函分析教學中至關重要。

1 整合教學內容

1.1 優(yōu)化教學內容

為了提高教學效果，對教學內容整合與優(yōu)化十分必要。在整合優(yōu)化過程中應該注重以下幾點。

(1)優(yōu)選知識點。泛函分析內容龐雜，在知識點選擇上，要注重內容的完整性、層次的連貫性和邏輯性。以空間論為例，對于三大空間：度量空間、賦范線性空間、內積空間，它們的關系是由一般到特殊，性質越來越多，越來越好。因此，在內容安排上應該先介紹度量空間，其次賦范線性空間，最后學習內積空間，符合邏輯順序，方便學生接受。

(2) 優(yōu)化理論證明。泛函分析很多定理的證明，方法獨特，技巧性強。平鋪直敘給出證明，不利于學生理解和掌握。在證明過程中，首先，應該強調證明方法與思路；其次，給出證明步驟；最后，清晰地給出每個證明步驟的詳細證明。

(3)優(yōu)化例題與習題。泛函分析中里題目來源很廣泛，比如實變函數(shù)、數(shù)學分析、高等代數(shù)等等，難度層次不同。例如，來源于實變函數(shù)的例題在解題過程中偏重實變函數(shù)分析技巧，十分繁復，如果在課堂中詳細講解，不但需要大量時間，而且沖淡教學重點。因此，優(yōu)化例題，有助于教學內容重點突出，方便學生對重點內容的理解與掌握。此外，泛函分析題目難度差異大，對于不同基礎的學生，應該選用不同難度層習題。對于習題的難度層次化，有利于學生掌握基本知識與方法，并循序漸進拔高泛函分析水平。

1.2 精選教材

泛函分析教材的選用對泛函分析的教學至關重要。一本好的教材，不僅便于教師備課與教學，而且有利于學生預習與自學。因此，針對授課對象的實際情況應該采用相應的教材。 目前，主要使用的泛函分析教材，內容各異，各有特點。高等教育出版社出版的程其襄等編著的《實變函數(shù)與泛函分析基礎》[3]一書，以通俗易懂的形式介紹了泛函分析的核心內容，包括度量空間、賦范線性空間與內積空間三大空間，以及線性算子與線性泛函的基礎概念與基本定理，是目前師范院校廣泛采用的泛函分析教材。武漢大學劉培德編著的《泛函分析基礎》[4]，詳細闡述泛函分析基本內容，對于基礎較好學生是一本不可多得的教材與參考書。北京大學出版社出版的張恭慶編著的《泛函分析講義》[2]上冊針對于本科生教材，該教材比較適用于數(shù)學專業(yè)本科生，里面例子多以偏微方程應用為背景，對于后續(xù)偏微分方程研究有很大幫助。高等教育出版社出版的夏道行等編著《實變函數(shù)與泛函分析》[5]下冊是泛函分析內容，該教材內容十分豐富，例題解答詳細，非常適合初學者。

2 改進教學方式與方法

教學方法應該結合實際，切實可行。結合學生的基礎，利用通俗易懂的例子，由淺入深，逐步歸納引入，努力使概念、結論形象化、具體化，最大程度讓學生接受學習內容。

2.1 重視概念

泛函分析學習中會遇到很多高度抽象的概念，對這些抽象概念準確的理解和掌握是后續(xù)證明推理的前提。教學中，如果學生對于概念只停留在死記硬背上，不能深刻理解其背景與本質，將對后續(xù)學習造成阻礙，甚至混亂。因此，對概念的理解和掌握是整個泛函分析教學的一個關鍵環(huán)節(jié)。為了讓學生更好理解掌握概念，教學中應該注意以下三點。

(1) 注重來源。泛函分析中概念都是從具體應用中抽象而來的，很多概念是在具體空間中相關概念的推廣。比如空間的范數(shù)、內積、完備性等概念實際都是具體空間相關概念在抽象空間的推廣；算子的范數(shù)、最佳逼近元等很多概念，都是科學研究需要而產(chǎn)生的。教學過程中，弄清概念的來源，就會化抽象為具體，便于學生理解與記憶，學生就很容易掌握。

(2) 注重本質。有些概念的本質非常重要，抓住本質，就很容易理解掌握。比如泛函分析空間的同構會多次提到，有線性空間的同構、度量空間的等距同構、賦范線性空間的同構、內積空間的同構等，這么多類型同構，如果全憑記憶，難記且容易混淆。但是如果抓住同構的本質，即兩個同類型空間結構相同，就很容易理解和記憶這些概念。

(3)注重類比。泛函分析中有些相似概念卻有本質的區(qū)別，有些相似概念既有內在聯(lián)系又有不同。比如，稠密集與致密集看起來好像意思相同，其實不然。稠密集刻畫的是兩個點集的關系，致密集刻畫一個點集的性質。再比如，有界集與完全有界集，強收斂與弱收斂等有內在聯(lián)系，但在一定條件下又有區(qū)別。教學過程，這些概念有必要分析區(qū)分，以加深學生的理解與記憶。總之，易混淆概念要對照分析，多以以圖形、表格、注釋等簡明易懂方式對所學內容歸納總結，運用類比、聯(lián)想、歸納、劃歸的數(shù)學研究方法，把有限維空間的代數(shù)結構和幾何特征延伸、拓展達到無窮維空間[6]，力求學生理解、記憶與掌握。

2.2 以問題為導向學習理論

由于泛函分析理論具有高度抽象性，如果在課堂上直接灌輸，大多數(shù)學生會不知所云，難以接受。但是，如果針對重要的定理，設置相應的問題，學習效果就大不一樣了。首先，設置問題后，學生聽課會更有目的性，帶著問題會更有收獲。其次，引導學生思考如何解決問題，激發(fā)學生學習的興趣與主動性。最后，教師抽絲剝繭，對問題逐一解答，這樣學生更容易理解和掌握定理。以問題為導向學習理論，可以更好地培養(yǎng)學生的觀察、分析、想象與等重要的數(shù)學能力，提高學習泛函分析的興趣與效率。

3 加強課后練習與輔導

要學好泛函分析，僅僅課堂花功夫是不夠的，課后練習與輔導同樣很重要，只有通過切實有效練習與輔導，才能最終掌握所學并加以應用。

3.1 根據(jù)學生基礎，選用合適難度練習

由于泛函分析題目難易程度差異較大，可以針對不同層次的學生，選用不同層次的題目。對于學生而言，每一次做題都是彌足珍貴的實踐，一次獨立思考自我提升的機會。但是，如果題目難度過大，久思不得其解，不僅收獲少，而且增加學生學習的挫折感，不利于后續(xù)學習。選擇合適的習題，不僅能鞏固所學，學有所獲，而且能樹立學生繼續(xù)學習下去的信心。當然，適量的難題也是必要的，可以培養(yǎng)學生攻堅克難、永攀高峰的勇氣。

3.2 注重習題“質”與“量”的關系

處理好習題“質”與“量”的關系在泛函分析教學中有著舉足輕重的作用。首先，習題的質量是關鍵。一道好的習題，應該具有靈活性與啟發(fā)性。這樣的習題，不僅可以增進理解，鞏固所學，而且還可以培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力。其次，習題的數(shù)量是保障。當然，習題數(shù)量不是越多越好，關鍵要掌握一個度。練習少了，不能達到熟練掌握的目的，但是習題量過多，學生疲于應付，反而適得其反?？傊n后習題要遵循“適度且精，鍛煉能力”的原則。

3.3 多渠道強化課后輔導

泛函分析課后輔導，是泛函分析教學必不可少的一個環(huán)節(jié)。傳統(tǒng)的課后輔導方式是師生面對面直接接觸交流。這種模式，雖然很有效，但是局限性也很明顯。例如，組織課后輔導，師生時間、地點難以協(xié)調，而且，學生的疑問不能及時解答。隨著科技發(fā)展，人與人之間的交流的方式發(fā)生巨大變化。課后輔導方式也應該與時俱進。首先，建立學習網(wǎng)頁。該網(wǎng)站主要介紹泛函分析的發(fā)展歷史與應用背景，并提供相應的習題供學生選做。其次，建立網(wǎng)絡交流平臺。通過該平臺，不僅可以及時了解課堂教學效果，而且還可以一起分享學習資料與學習心得。最后，利用網(wǎng)絡通訊工具。利用網(wǎng)絡通訊工具，可以有針對性地對有疑問的學生進行輔導。有疑難問題的學生，可以通過拍攝圖片或錄制語音等方式，第一時間與老師了尋求幫助。

總之，在泛函分析課程教學過程中，不僅讓學生掌握所學內容，而且要提高學生抽象思維、分析、推理等數(shù)學能力。教師應該精選教材，優(yōu)化教學內容，改進教學方法，提高課堂教學效率，做好課后練習與輔導。此外，教師還應該根據(jù)教學對象和環(huán)境，靈活使用多種教學方式與方法，并及時分析、總結，不斷探索，方可收到好的教學效果。

[1] 定光桂．關于《泛函分析》課程教學改革的試探[J]．高等理科教育，2001，37(3)：8-10.

[2] 張恭慶，林源渠.泛函分析講義[M]. 北京: 北京大學出版社，1987.

[3] 程其襄，張奠宙，魏國強，胡善文. 實變函數(shù)和泛函分析基礎[M]. 北京: 高等教育出版社，2010.

[4] 劉培德．泛函分析基礎[M]．北京：科學出版社，2011.

[5] 夏道行，吳卓人，嚴紹宗. 實變函數(shù)與泛函分析[M]. 北京：高等教育出版社，2010.

[6] 楊世國．Minkowski 不等式的逆向及其應用[J]．哈爾濱工業(yè)大學學報，2004，36(1)：55-58.