解析幾何教學(xué)中的幾個誤區(qū)

解析幾何教學(xué)中的幾個誤區(qū)

☉江蘇省海安縣曲塘中學(xué) 饒娜

解析幾何內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)中銜接幾何與代數(shù)，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合，重點(diǎn)研究如何用代數(shù)方法解決幾何問題.雖然解析法可以少想多算，甚至以算代想，但是如果教學(xué)中脫離幾何關(guān)系，常使解題陷入困境.

一、脫離定義

定義反映的是事物最本質(zhì)的特征，我們認(rèn)識一個事物都是從定義開始的，數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)也不例外.比如橢圓的定義：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)的距離之和為定值（大于兩個定點(diǎn)間的距離）的點(diǎn)的軌跡.很多與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題都可以借助定義輕松求解.

例如橢圓的通徑，即過焦點(diǎn)且垂直于長軸的直線被橢圓所截得的弦.很多教師（包括教學(xué)之初的筆者）在教授此內(nèi)容時，都是告訴學(xué)生將焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=±c代入橢圓方程，求出y（取正）再乘2.這種做法不僅脫離了定義，而且禁錮了學(xué)生的思維.其實(shí)利用橢圓定義可以輕松解決此問題.

由橢圓的定義得|AF1|+|AF2|= 2a，如圖1所示，則|AF1|=2a-|AF2|.

在Rt△AF1F2，由勾股定理即可求得通徑的長.

圖1

（1）求橢圓方程；

（2）略.

此解法過程雖然清晰明了，但解方程的過程較為煩瑣，高考的時間是有限的，顯然這種方法并不可取.

二、過度將解題思維程序化

解析幾何問題的核心思想是利用代數(shù)方法處理幾何問題，具體體現(xiàn)在坐標(biāo)法、代入消元法、判別式法、根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用.圓錐曲線的綜合問題常以直線與橢圓的位置關(guān)系為背景，因此教學(xué)中經(jīng)常強(qiáng)調(diào)：直線與橢圓綜合問題，首先要設(shè)出直線斜率（考慮直線斜率存在），引入直線方程；將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，代入消元后得含x或y的一元二次方程，由直線與橢圓有兩個交點(diǎn)，故此方程有兩個實(shí)根，利用判別式及韋達(dá)定理得出兩根之關(guān)系……

這種方法對于初學(xué)者來說，確實(shí)有一定可取性，通過思維的程序化，解題中可迅速找到問題的切入點(diǎn).

但通過對近幾年的高考試題或模擬試題進(jìn)行分析，筆者發(fā)現(xiàn)某些命題并不需要借助根與系數(shù)的關(guān)系，而是直接利用平面圖形的幾何性質(zhì)找到解題思路.因長期受到固定的程序化解題思路的影響，考生在處理此類問題時不知如何入手.

例2如圖2，橢圓C：x2+=1（0＜m＜1）的左頂點(diǎn)為A，M是橢圓C上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)M對稱.

圖2

（2）若橢圓C上存在點(diǎn)M，使得OP⊥OM，求m的取值范圍.

解析：本題第（2）問求解中根據(jù)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱性，將未知點(diǎn)的坐標(biāo)用已知點(diǎn)表示，結(jié)合兩直線垂直斜率之積為-1或向量的數(shù)量積為零，將幾何問題代數(shù)化；再利用點(diǎn)M在橢圓上，則M的坐標(biāo)滿足橢圓方程，進(jìn)行消元；通過分離參數(shù)m后，將所求問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，利用均值不等式求解.例3設(shè)F，F(xiàn)分別為橢圓E：+=1（a＞b＞0）的左、12右焦點(diǎn)，點(diǎn)A為橢圓E的左頂點(diǎn)，點(diǎn)B為橢圓E的上頂點(diǎn)，且|AB|=2.

（2）設(shè)P為橢圓E上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，直線F2P與y軸相交于點(diǎn)Q，若以PQ為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F1，證明：|OP|＞.

解析：本題第（2）問求解中設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示出直線PQ的斜率，求出直線PQ的方程，令x=0得出直線PQ與y軸的交點(diǎn)Q的坐標(biāo).因?yàn)辄c(diǎn)F1在圓上，由直徑所對的圓周角為直角，則兩直線垂直，斜率之積為-1，進(jìn)而建立關(guān)系.利用點(diǎn)P在橢圓上，則點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足橢圓方程，進(jìn)行消元.結(jié)合條件點(diǎn)P在第一象限，得出其坐標(biāo)滿足的范圍，進(jìn)而將所求問題轉(zhuǎn)化為區(qū)間內(nèi)函數(shù)的最值問題進(jìn)行處理.

由例2、例3的解析過程可以發(fā)現(xiàn)，問題的求解中并沒有利用代入消元、判別式、根與系數(shù)關(guān)系等，而是直接利用已知條件，結(jié)合平面幾何特征，尋找問題的突破口.因此在平常的教學(xué)中不可固化學(xué)生的解題思維，要從問題的根源入手，探尋問題的求解方法.

三、重思維，輕計(jì)算

處理解析幾何問題的核心方法是“解析法”，利用解析法結(jié)合平面圖形的幾何特征，將幾何問題代數(shù)化處理.因此在問題分析過程中要準(zhǔn)確識別平面幾何的性質(zhì).

例如題目條件中涉及等腰或等邊三角形，我們可從等腰或等邊三角形的性質(zhì)入手，即“三線合一”；如遇到菱形有關(guān)的問題，要準(zhǔn)確把握菱形對角線互相垂直、平分的性質(zhì)；涉及兩線夾角有關(guān)的問題，可將其轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角來處理……

有些教師在解題教學(xué)中注重對學(xué)生解題思維的引導(dǎo)，這種做法毋庸置疑.教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)，在分析一道問題時，學(xué)生能將解題思路說得頭頭是道，但讓學(xué)生自行解題，完全正確者寥寥無幾，會而不對、對而不全現(xiàn)象較為普遍.究其原因是計(jì)算能力不強(qiáng)、對計(jì)算過程中的細(xì)節(jié)把握不準(zhǔn)所致.因此教學(xué)中在強(qiáng)調(diào)解題思路尋找的同時，應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生計(jì)算能力的培養(yǎng).

（2）斜率為k的直線l過點(diǎn)F，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，P為直線x=3上的一點(diǎn)，若△ABP為等邊三角形，求直線l的方程.

解析：在第（2）問的求解中，部分同學(xué)的解題思路如下：如圖3，若△ABP為等邊三角形，則滿足等邊三角形的性質(zhì)，設(shè)AB中點(diǎn)為M，則PM垂直平分AB，且|AB|＝|PA|.

設(shè)直線l的方程為y=k（x-2）.

圖3

（3k2+1）x2-12k2x+12k2-6=0，易知判別式恒大于0.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），故x1+x2=

設(shè)AB的中點(diǎn)為M（x0，y0），則x0=

設(shè)點(diǎn)P（3，yP），利用等邊三角形的性質(zhì)：|MP|=|AB|，利用點(diǎn)到直線的距離公式求|PM|，即|PM|＝此解題思路中斷.

究其原因是對弦長公式理解存在誤區(qū)，平常我們認(rèn)為的弦長都是直線與曲線相交所得的線段的長度，此時常想到利用弦長公式來求解.但探究弦長公式的本質(zhì)，是由兩點(diǎn)間距離推導(dǎo)而得，那么只要是求兩點(diǎn)間的距離，我們都可以利用這個公式.

另外，如果問題中涉及多個直線時，要注意尋找直線間斜率的關(guān)系：兩直線平行時斜率相等，垂直時斜率互為負(fù)倒數(shù)，關(guān)于x=a或y=b對稱時斜率互為相反數(shù).例如直線l1，l2互相垂直，在求得l1與曲線相交所得的弦長關(guān)系式后，根據(jù)問題的需要求l2與曲線相交所得弦長時，可直接將其中的斜率k換成-即可.

總之，解析幾何問題在高考中常以壓軸或把關(guān)題的形式出現(xiàn)，對考生分析問題、解決問題、計(jì)算等能力均有較高的要求，因此在教學(xué)中既要注重學(xué)生解題思維的培養(yǎng)，又要注意計(jì)算方法、技巧的訓(xùn)練.