尊重知識(shí)發(fā)展規(guī)律，打造自然生態(tài)課堂
——“函數(shù)的概念”教學(xué)思考

☉重慶市教育科學(xué)研究院張曉斌

☉重慶市復(fù)旦中學(xué)陳建

尊重知識(shí)發(fā)展規(guī)律，打造自然生態(tài)課堂
——“函數(shù)的概念”教學(xué)思考

☉重慶市復(fù)旦中學(xué) 李波

☉重慶市教育科學(xué)研究院張曉斌

☉重慶市復(fù)旦中學(xué)陳建

筆者在重慶市高中數(shù)學(xué)教師骨干班有幸聆聽了易中建老師的講座.易老師提倡的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)堅(jiān)持的基本原則：自然、情感、結(jié)構(gòu)、目標(biāo).給數(shù)學(xué)課如何更好開展、如何設(shè)計(jì)與構(gòu)思、如何更好地達(dá)成教學(xué)目標(biāo)指明了方向.在實(shí)際數(shù)學(xué)課堂中，自然的地位是相當(dāng)重要的，教師教育教學(xué)要做到順理成章、合情合理、循序漸進(jìn)，學(xué)生才能更好地接受.

一、教材模式探討

三年輪回，送走高三又進(jìn)入高一，講完集合的定義、不等式的解法，即將開始函數(shù)概念的學(xué)習(xí).發(fā)現(xiàn)學(xué)生在集合部分學(xué)習(xí)就感覺抽象難懂，在函數(shù)的概念這里更加不易理解.該部分內(nèi)容如何教學(xué)，備課組內(nèi)老師進(jìn)行研討，在教材上找辦法，就幾種教材模式進(jìn)行對(duì)比.

第一種模式：人教老版本教材的辦法.先講映射概念，再引入函數(shù)概念.這種方式從集合直接過(guò)渡到函數(shù)，體現(xiàn)了從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生感覺初高中函數(shù)知識(shí)脫節(jié)，各自成體系，同時(shí)對(duì)學(xué)生的要求較高，學(xué)生理解難度較大，這也是教材改版的原因之一.

第二種模式：人教課標(biāo)版教材.教材通過(guò)炮彈發(fā)射、臭氧空洞、恩格爾系數(shù)等三個(gè)實(shí)例的引入“歸納以上三個(gè)實(shí)例，我們看到，三個(gè)實(shí)例中變量間的關(guān)系都可以描述為：對(duì)于數(shù)集A中的每一個(gè)x，按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在數(shù)集B中都有唯一確定的y和它對(duì)應(yīng)，記f：A→B，一般地……”緊接著就給出了函數(shù)的概念.通過(guò)對(duì)教材及旁白的研讀［1］，我們產(chǎn)生了困惑：第一，從三個(gè)實(shí)例只是體現(xiàn)了x與y的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，若直接往“數(shù)集”方向引導(dǎo)，給學(xué)生的感覺，初中函數(shù)變量x，y與高中數(shù)集有什么直接聯(lián)系的疑問(wèn).此處這樣直接處理，知識(shí)跨度較大，這也造成教師的引入不自然.第二，三個(gè)實(shí)例分別代表了解析式法、圖像法、列表法，放到函數(shù)的表示法章節(jié)更合理.第三，教材在函數(shù)的定義后兩段話引起了我的思考“我們所熟悉的一次函數(shù)y=kx+b……二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）……和它對(duì)應(yīng).”既然一次函數(shù)、二次函數(shù)是同學(xué)們最熟悉的函數(shù)，我們教學(xué)是否可以從這里突破，這樣引入就更為自然，我們想到了改變教材順序，得到了第三種模式.

第三種模式：以同學(xué)們熟悉的一次函數(shù)、二次函數(shù)為切入點(diǎn)，通過(guò)函數(shù)解析式作函數(shù)圖像、圖像的構(gòu)成元素點(diǎn)、點(diǎn)的代數(shù)形式坐標(biāo)為主線進(jìn)行分析；由圖像的變化趨勢(shì)過(guò)渡到點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的變化范圍，再引入數(shù)集及對(duì)應(yīng)方式，自然地形成了高中函數(shù)的概念，及定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系.如結(jié)構(gòu)圖：

數(shù)學(xué)概念課老師不好講、學(xué)生難理解的特點(diǎn)，集中組內(nèi)教師的智慧對(duì)教材模式進(jìn)行探討，找到最佳模式.對(duì)第三種模式的選擇，初高中知識(shí)自然銜接、尊重了數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展規(guī)律，學(xué)生情感有效調(diào)動(dòng)、教學(xué)組織順利開展，教學(xué)目標(biāo)更易達(dá)成.

二、構(gòu)造生態(tài)課堂

1.課堂引入

有了指導(dǎo)思想，筆者在所教班級(jí)進(jìn)行了教學(xué)實(shí)踐.情景展現(xiàn)如下，要求學(xué)生做下面三件事：第一，列出初中講過(guò)的函數(shù)；第二，作出對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像；第三，用自己的理解方式，寫出初中函數(shù)的定義.

這三個(gè)問(wèn)題引起了學(xué)生極大的興趣，整理了部分學(xué)生的回答.對(duì)第一問(wèn)的回答：一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、三角函數(shù)、常值函數(shù)等；對(duì)第二問(wèn)的回答：一次函數(shù)圖像是一條直線、二次函數(shù)圖像是拋物線、反比例函數(shù)圖像是一對(duì)曲線、三角函數(shù)圖像不會(huì)…；對(duì)第三問(wèn)的回答：有x與y就是函數(shù)、有圖像就是函數(shù)、函數(shù)有解析式、x是自變量，y是因變量……同學(xué)們逐漸完善了初中函數(shù)的定義：在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x與y，如果對(duì)x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，y是隨著x的變化而變化.其中，x是自變量，y是因變量.

2.課堂探索

以一次函數(shù)y=x、二次函數(shù)y=x2、反比例函數(shù)圖像y=、常值函數(shù)y=1為例：

探索（1）對(duì)應(yīng)方式.

函數(shù)的圖像是由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的，點(diǎn)的代數(shù)形式以坐標(biāo)而存在，因此研究圖像的本質(zhì)是研究點(diǎn)的坐標(biāo).

圖1中在直線上任一點(diǎn)P，點(diǎn)P在直線上移動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)xp，yp的值也隨之變化.每一個(gè)點(diǎn)P確定，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)xp，yp也確定；在x軸上任取一個(gè)值xp，與之對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P就確定，與之對(duì)應(yīng)的唯一函數(shù)值yp也確定；反之也一樣，因此可以說(shuō)xp，yp這兩個(gè)數(shù)，在圖中點(diǎn)P的作用下xp→yp或 yp→xp均形成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：

圖2中拋物線上任一點(diǎn)Q，點(diǎn)Q在拋物線上移動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)xQ，yQ的值也隨之變化.每一個(gè)點(diǎn)Q確定，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)xQ，yQ也確定；在x軸上任取一個(gè)值xQ，與之對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Q就確定，與之對(duì)應(yīng)的唯一函數(shù)值yQ也確定.同時(shí)我們也發(fā)現(xiàn)：當(dāng)在x軸上任取一個(gè)值xQ時(shí)，由圖像的對(duì)稱性，-xQ也有與之對(duì)應(yīng)的唯一函數(shù)值yQ，即：-xQ、xQ都對(duì)應(yīng)同一函數(shù)值yQ；反之卻不一樣：在y軸上任取一個(gè)值yQ，與之對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Q就不確定，有兩個(gè)點(diǎn)，與之對(duì)應(yīng)xQ的值也有兩個(gè).因此可以說(shuō)xQ與yQ，-xQ與yQ這兩組數(shù)，在圖中點(diǎn)P的作用形成二對(duì)一關(guān)系；反之，yQ形成一對(duì)二關(guān)系.

圖3與圖1類似，在圖中點(diǎn)M的作用下xM→yM或yM→xM均形成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：

圖4中在直線上任一點(diǎn)N，點(diǎn)N在直線上移動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)xN在變化，而yN≡1.每一個(gè)點(diǎn)N確定，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)xN，yN=1也確定；在x軸上任取一個(gè)值xN，與之對(duì)應(yīng)的點(diǎn)N就確定，與之對(duì)應(yīng)的唯一函數(shù)值yN=1確定，同時(shí)無(wú)論取多少個(gè)xN都對(duì)唯一的函數(shù)值yN=1；反之，yN=1時(shí)與之對(duì)應(yīng)的xN有無(wú)數(shù)個(gè).因此形成多對(duì)一的關(guān)系，而yN形成一對(duì)多的關(guān)系.

探索（2）數(shù)集.

從上面四個(gè)函數(shù)圖像觀察，圖像變化時(shí)，構(gòu)成圖像的無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)也在變化.圖像的延伸的代數(shù)實(shí)質(zhì)是點(diǎn)的坐標(biāo)不斷變化.圖像的變化趨勢(shì)反饋到點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即看圖像對(duì)應(yīng)的x的變化范圍，這個(gè)范圍就是圖像上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值的總體，是一個(gè)實(shí)數(shù)的集合，簡(jiǎn)稱數(shù)集.同理，圖像的變化趨勢(shì)反饋到縱坐標(biāo)，即看圖像對(duì)應(yīng)的y變化范圍，這個(gè)范圍就是圖像上每一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值的總體，即所有函數(shù)值構(gòu)成的集合，也是一個(gè)數(shù)集.關(guān)系圖如下：

圖像波動(dòng)坐標(biāo)范圍圖1圖2圖3圖4橫坐標(biāo)RRR*R縱坐標(biāo)R［0，+∞）R*｛1｝

探索（3）高中函數(shù)概念生成.

上面的探索1解決了變量x、y的對(duì)應(yīng)方向問(wèn)題，即每一個(gè)x在f作用下有唯一y與之對(duì)應(yīng)，同時(shí)也解決了變量x→y的對(duì)應(yīng)方式問(wèn)題，即一對(duì)一或多對(duì)一；探索2把初中x→y的變量關(guān)系引申到高中的數(shù)集，我們利用圖像的變化反饋到橫縱坐標(biāo)的變化范圍，再拓展到兩個(gè)非空數(shù)集.因此，我們結(jié)合以上兩點(diǎn)就可以給出高中函數(shù)的概念，讓學(xué)生更深層次理解函數(shù)三要素核心：定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系.結(jié)構(gòu)圖如下：

通過(guò)探索高中函數(shù)的概念，它是在初中函數(shù)概念的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深化和挖掘，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)形成演變過(guò)程，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成和發(fā)展有了客觀的認(rèn)知，也讓課堂教學(xué)變得更加自然生態(tài).

三、結(jié)語(yǔ)

在課堂教學(xué)中要注重知識(shí)順序的自然性，注重知識(shí)內(nèi)在的自然生長(zhǎng)，尊重知識(shí)的發(fā)展規(guī)律，只有這樣才能打造自然生態(tài)的課堂.因此我們?cè)诮窈蟮慕虒W(xué)中要做到：知識(shí)的引入要自然，知識(shí)的過(guò)渡要自然，知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展要自然，解題的方法要自然.［2］

1.李波，黃益全.人教版高中數(shù)學(xué)教材旁白的研讀［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2016（7）.

2.易中建.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)堅(jiān)持的“基本原則”［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2016（1-2）.