公式課不能淪為習題課
——基于核心素養(yǎng)下的公式課教學思考

☉江蘇省宜興市和橋高級中學 杜健

公式課不能淪為習題課
——基于核心素養(yǎng)下的公式課教學思考

☉江蘇省宜興市和橋高級中學 杜健

解題是數(shù)學教學的主要內(nèi)容，但不是數(shù)學教學的全部，但鑒于解題在應(yīng)試中的重要作用，相當多的教師把解題視為壓倒一切的重要任務(wù)，從而導致“新課習題化”傾向嚴重.最近筆者觀摩了一節(jié)市級公開課——“同角三角函數(shù)基本關(guān)系”，恰恰反映了上述傾向.

一、公式課內(nèi)容簡單，不能這樣上

在評課環(huán)節(jié)中，授課教師介紹了自己的教學設(shè)計思路，他認為本堂課的教學內(nèi)容實在太簡單了，就兩個公式而已，學生很容易理解掌握，并且學生在初中銳角三角函數(shù)的學習中已經(jīng)知道了這兩個公式，所以這兩個公式?jīng)]什么好講的.公式的證明思路也簡單，所以他就把重點放在公式的應(yīng)用上，盡可能讓學生接觸更多類型的題目，從而掌握公式的應(yīng)用技巧.

二、公式課還可以這樣上

說實話，跟這位教師存在相同想法的教師不在少數(shù)，但仔細斟酌后，這樣的想法是有問題的.最糟糕的是犯了“就課論課”的錯誤，本節(jié)課內(nèi)容看似簡單，但要知道數(shù)學課堂教學的目的不僅僅是傳授基本的知識，更重要的讓學生體會一般數(shù)學的研究過程，感悟其中的數(shù)學思想與方法.把結(jié)論直接拋給學生，舍棄自主探究、獨立思考的過程，過度夸大練習強化的教育功能，這絕對不是我們數(shù)學公式教學“常態(tài)”，更是與當前提倡的高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)相違背.數(shù)學核心素養(yǎng)是人們能夠用數(shù)學的眼光來觀察世界，發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的內(nèi)在素養(yǎng)，由數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想與方法、數(shù)學能力與觀念等組成.數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是數(shù)學課堂教學的依據(jù).下面筆者就立足數(shù)學核心素養(yǎng)，對這節(jié)課進行重新設(shè)計.

1.公式的發(fā)現(xiàn)：以數(shù)學運算為手段激活邏輯推理問題1計算下列三角函數(shù)值并思考：

（1）sin30°=________，cos30°=________，tan30°= ________=________，sin230°+cos230°=_______.

（2）sin45°=________，cos45°=________，tan45°= ________=________，sin245°+cos245°=_______

（3）sin60°=________，cos60°=________，tan60°= ________=________，sin260°+cos260°=_______

思考：通過上述計算，你有什么發(fā)現(xiàn)？

問題2：在初中學習的公式sin2x+cos2x=1，tanx=，角x應(yīng)滿足什么條件？

問題3：若對任意角x，上述公式還成立嗎？

意圖：一方面在復(fù)習舊知識的基礎(chǔ)上由特殊角三角函數(shù)值為切入點，讓學生通過運算，驗證關(guān)系、發(fā)現(xiàn)規(guī)律；另一方面由于筆者所在學校學生基礎(chǔ)比較差，所以采用由簡單到較復(fù)雜的問題串形式更容易激發(fā)學生的學習欲望，降低學習的門檻，這也充分體現(xiàn)螺旋上升的教學理念.

點評：這樣的設(shè)計一方面發(fā)展了學生的數(shù)學運算核心素養(yǎng)，另一方面在明晰運算對象的基礎(chǔ)上依據(jù)運算法則激活邏輯推理的過程，從而使學生進入公式猜想的思維歷程.

2.公式證明：以直觀想象為突破口實現(xiàn)數(shù)學抽象

問題4：在初中時怎么證明公式sin2x+cos2x=1，tanx=

意圖：引導學生回顧銳角三角函數(shù)的定義過程，滲透證明公式要回歸定義的思想.

問題5：任意角三角函數(shù)是如何定義的？

問題6：任意角三角函數(shù)的幾何意義是什么？

問題7：公式sin2x+cos2x=1，tanx=怎么證明？

意圖：引導學生用單位圓表示點的坐標的方法進行證明，因為單位圓在三角函數(shù)一章的學習中發(fā)揮重要的作用，包括后續(xù)誘導公式的推導，兩角差的余弦公式推導，所以課堂教學還是要引導學生使用單位圓進行推導，理解單位圓在學習中的價值.

點評：引導學生借助單位圓及三角函數(shù)線，通過直觀想象發(fā)現(xiàn)公式證明的方法，以初中的同角函數(shù)關(guān)系為基礎(chǔ)進一步抽象出高中的同角三角函數(shù)公式.但數(shù)學抽象并不是“自動化”的過程，需要教師提供足夠的學習、想象素材，從數(shù)量與數(shù)量、圖形與圖形的關(guān)系中，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu).

3.公式應(yīng)用：以數(shù)學運算為平臺開展數(shù)學建模

問題8：如何理解“同角”的含義？說說你對公式的理解.

意圖：在公式應(yīng)用前要給學生一點感悟理解的時間，公式sin2x+cos2x=1，tanx=容易使學生產(chǎn)生思維定式，以為角只能是“x”.讓學生按自己的方式體會公式、理解公式，有助于知識的內(nèi)涵.實際上“同角”就是同一個角，可以是α，可以是2α，也可以是，也可以是α+等

等.只要角存在（且有意義），就有這兩個關(guān)系成立.

編題：利用公式sin2x+cos2x=1，tanx=編題.

學生編題題3：已知tanx=2，求另外兩個三角函數(shù)值.

意圖：通過自主編題，體會公式在計算中的重要作用；通過計算，三角函數(shù)基本關(guān)系中明確“知一求二”基本原理.

（1）sinαcosα；

（2）sinα-cosα；

（3）sin3α+cos3α.

例2已知tanα=2，分別求以下三角函數(shù)式的值：

意圖：在運算中進一步體會三角函數(shù)基本關(guān)系，揭示數(shù)學問題的本質(zhì).在此基礎(chǔ)上，再對解題方法進行歸納總結(jié)，從中提煉出一般的數(shù)學模型.比如，sinα+cosα、sinαcosα、sinα-cosα三者可以相互表示與轉(zhuǎn)換，可以做到“知一求二”；對于類似于的齊次式，可以直接轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanx的代數(shù)式.這些模型對于后續(xù)的學習具有非常積極的意義.

三、公式課中如何落實核心素養(yǎng)

1.公式課教學應(yīng)立足核心素養(yǎng)的養(yǎng)成

相比其他課型，數(shù)學公式課相對簡單，學生往往記住公式后，就能夠直接應(yīng)用公式進行數(shù)學解題活動，這就容易給教師錯覺，以為“記住公式=真正理解”.眾所周知，數(shù)學教學是以數(shù)學知識、方法、技能的學習逐步展開的，而在知識、方法、技能、思想的累積過程中，應(yīng)始終把相關(guān)的核心素養(yǎng)蘊含其中.從學生已有的知識出發(fā)，順應(yīng)學生思維發(fā)展，讓學生有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動，而不是直接把公式“灌輸”給學生，通過引導學生獨立思考、主動探究、合作交流，使學生理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能，體會和運用數(shù)學思想與方法，逐步建立和形成數(shù)學核心素養(yǎng).

2.公式課教學要凸顯主要核心素養(yǎng)

一般說來，高中數(shù)學核心素養(yǎng)由數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析、直觀想象、數(shù)學運算六大素養(yǎng)組成.這六大核心素養(yǎng)之間既有聯(lián)系又有區(qū)別，既各有側(cè)重又形成體系，因此，很難實現(xiàn)在一節(jié)課中同時使這六大素養(yǎng)得到凸顯和培養(yǎng).課堂教學究竟要落實和培養(yǎng)哪個核心素養(yǎng)是由課型與教學內(nèi)容決定的.當然，在一節(jié)課中教師既要培養(yǎng)盡量多的核心素養(yǎng)，也要使主要核心素養(yǎng)得以進一步凸顯與落實，也就是說教師應(yīng)基于教學內(nèi)容，開發(fā)具有明確目標指向的教學資源及素材，突出數(shù)學的主要核心素養(yǎng).對本節(jié)課來說，數(shù)學運算核心素養(yǎng)貫穿整個教學過程，在落實數(shù)學運算核心素養(yǎng)的過程中，使得數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)也同時獲得提升.

數(shù)學公式課當然離不開習題的講解與練習，關(guān)鍵要控制習題訓練在整堂課比重，公式的發(fā)現(xiàn)、證明、理解是整堂課的主旋律，而公式的應(yīng)用或者說習題訓練只是實現(xiàn)公式理解的一種手段，否則就容易偏離教學的軌道，陷入“題?！敝?，那么這就與數(shù)學核心素養(yǎng)的基本理念背道而馳了.

1.彭翕成.例說數(shù)學核心素養(yǎng)［J］.教育研究與評論·中學教育教學，2016（5）.

2.華志遠.數(shù)學核心素養(yǎng)的內(nèi)涵與構(gòu)成［J］.教育研究與評論·中學教育教學，2016（5）.