基于HPM理論的課堂教學(xué)實踐與思考

王蓉

[摘 要] 本文以《等差數(shù)列的前n項和》課堂教學(xué)中三個教學(xué)片段引入數(shù)學(xué)史的教學(xué)實錄為例，闡述引入數(shù)學(xué)史的設(shè)計意圖及數(shù)學(xué)史的作用.

[關(guān)鍵詞] HPM理論；數(shù)學(xué)史；等差數(shù)列的前n項和

1972年，在第二屆國際數(shù)學(xué)教育大會上，成立了數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國際研究小組（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，簡稱“HPM”），標志著數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系作為一個學(xué)術(shù)研究領(lǐng)域而出現(xiàn). 通常我們也把這一研究領(lǐng)域本身稱作HPM. 1995年，美國數(shù)學(xué)協(xié)會在國家科學(xué)基金資助下成立了數(shù)學(xué)史及其在教學(xué)中的應(yīng)用研究所（Institute on the History of Mathematics and Its Use in Teaching）專門致力于研究如何將數(shù)學(xué)的歷史運用于課堂教學(xué). 筆者基于數(shù)學(xué)史設(shè)計執(zhí)教的研討課例《等差數(shù)列的前n項和》在近日“寧波市特級教師協(xié)會學(xué)術(shù)基地支教活動”中得到了與會教師的一致好評，也引發(fā)了關(guān)于數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的熱烈探討.

下面是這節(jié)課的三個教學(xué)片段實錄（學(xué)生來自于區(qū)內(nèi)二類學(xué)校生源相對較好的班級）.

片段1：情境創(chuàng)設(shè)，古跡名人激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣

師：（播放印度泰姬陵圖片）大家認識這個建筑及背后的故事嗎？

生：印度泰姬陵，是皇帝為紀念愛妃所建.

師：沒錯. 印度泰姬陵坐落于印度古都阿格拉市，是17世紀莫臥兒帝國皇帝沙賈汗為紀念愛妃所建. 它宏偉壯觀，是印度古代建筑史上的經(jīng)典之作，是世界七大建筑奇跡之一. 這個古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑風(fēng)格，是印度伊斯蘭教文化的象征.陵墓主體由純白大理石砌建而成，陵寢內(nèi)部以寶石鑲嵌. 傳說當時陵寢中有一個等邊三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層（如圖1），非常奢華. 你知道這個圖案中一共有多少顆寶石嗎？

師：把這個情境抽象出數(shù)學(xué)問題即問題1：1+2+…100=？

生（不假思索）：5050.

師：怎么算？

生：高斯算法.

師（投影高斯圖片）：高斯為什么這么算？你是怎么想的？

生1：1+100=2+99=3+98=…=55+56=101. 兩兩配對，一共50對. 所以101×50=5050.

師：非常好. 大家想過為什么這樣兩兩配對嗎？

生2：首尾配對后就變成相同的數(shù)，把100個不同數(shù)的和變成為50組相同數(shù)的和.

師：（PPT上投字“不同數(shù)的求和問題→相同數(shù)的求和問題”）對，這樣處理的關(guān)鍵是把一般（不同數(shù)的求和）化歸為特殊（相同數(shù)的求和）.

師：高斯10歲的時候，解決了這個問題. 高斯是德國的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家. 他和牛頓、阿基米德被譽為有史以來的三大數(shù)學(xué)家，有“數(shù)學(xué)王子”之稱. 高斯的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，在數(shù)論、代數(shù)學(xué)、非歐幾何、復(fù)變函數(shù)和微分幾何等方面都做出了開創(chuàng)性的貢獻. 他的榮耀有以他名字命名的物理學(xué)上磁場的計量單位，月球上的坑洞、小行星1001號的名字. 現(xiàn)在有很多人會的尺規(guī)作圖的方法，也得益于高斯做出的貢獻. 雖然正十七邊形的做法只需一頁篇幅就能完成，但其中所需要的努力和付出是巨大的. 高斯曾說：“你們看到我書上某些地方只有那么幾行，但是我卻花了幾年的時間才完成的. ”就算是高斯如此有天賦之人，要想取得很大的成就，也必須不斷地堅持和付出. 他62歲開始學(xué)習(xí)俄文，并達到能用俄文寫作的程度. 高斯的故事激勵我們做任何事任何時候開始都不晚，但是一定要堅持不懈地努力.

設(shè)計意圖：（1）泰姬陵的引入是將文化氛圍濃重的“古跡”融入課堂教學(xué)中，使原本枯燥、抽象的數(shù)學(xué)知識變得生動形象，饒有趣味. 筆者執(zhí)教的是陌生學(xué)校的學(xué)生，這樣的引入一下子拉近了師生之間的距離，減少了陌生感，使得學(xué)生對下面的學(xué)習(xí)有所期待，后續(xù)課堂互動非常融洽. 另外，等邊三角形的圖案也是整堂課中從“形”的角度來突破“倒序相加”這個難點的一個工具，貫穿整堂課.

（2）教師在課堂上介紹數(shù)學(xué)家的趣聞軼事、數(shù)學(xué)概念的起源、古今數(shù)學(xué)方法的簡單對比等，都能起到激發(fā)興趣的作用. 美國數(shù)學(xué)史家瓊斯（P. S. Jones）指出：希臘著名問題，阿基米德、卡丹、伽羅瓦、高斯等人的故事，費馬最后定理等都是精彩有趣的歷史話題，能激發(fā)學(xué)生的興趣，因為學(xué)生對于人物、原因和最佳結(jié)果等有著天生的好奇心. 高斯的故事告訴學(xué)生即便天賦異稟如高斯，也需要付出巨大的努力才能取得如此的成就，對學(xué)生的人格成長產(chǎn)生了積極的啟發(fā)作用.

片段2：公式探求，古今對比拓寬視野欣賞文化

師：我們把剛才的問題拓展一下，來研究下面這個數(shù)式的和. 問題2：1+2+3+…+n =？

生：.

師：很棒，完全正確，大家是怎么得到答案的？

生3：1+n=2+（n-1）=3+（n-2）=…，一共有組.

師：同學(xué)們覺得對嗎？

有些學(xué)生說對，有些學(xué)生有點疑惑，有些學(xué)生說不對.

生4：如果n是偶數(shù)，就對. 如果n是奇數(shù)，就除不盡了，就不對了.

師：很好. 這位同學(xué)非常嚴謹. 現(xiàn)在大家兩兩一組，來探求一下這個和是怎么得到的. 有沒有簡潔明了的好辦法？

學(xué)生先自己推導(dǎo)，然后相互交流. 筆者在巡視課堂中，得到如下三種解法：

師：（投影圖2）

生5：當n是奇數(shù)時，我把中間一項留下，其他首尾配對，一共有對，化簡后得到結(jié)果.

師：非常準確. 該同學(xué)用到了分類討論的思想. 當n是奇數(shù)時，是否只能留下中間項？

生6：可以留下最后一項.

生7：可以前面補一項0.

生8：可以留下第一項.

師：大家思路都非常開闊，我們這么做的目的是——

生9：配湊成相同數(shù)的和，而且能計算對數(shù).

師：對，剛才在計算1+2+…+100時也是這么處理的，只是現(xiàn)在要分奇偶討論. 有沒有更簡便的方法？（出示圖3）

生10：我把1+2+3+…+n倒個序，變成n+（n-1）+（n-2）+…+2+1，分別記成S，再把兩個式子加起來，除以2，就得到1+2+3+…+n的和.

師：非常好，為什么要倒個序？

生10：可以一組組配對，變成相同數(shù)n+1的和.

師：比剛才的解法優(yōu)越在哪里？

生10：避免了分類討論.

師：倒個序，再把兩個式子相加就得到所要的結(jié)果. 我們應(yīng)該給這么好的方法起個名字，叫什么呢？

生：倒序相加法.

師：好，我們再請這位同學(xué)來解釋一下他的解法. （出示圖4）

生11：我把1+2+3+…+n求和看成是一個三角形，和剛才的寶石圖案一樣，第一層1顆，最后一層n顆，共有n層. 倒置一個同樣的三角形，拼成一個平行四邊形. 平行四邊形的寶石數(shù)就是n（n+1），除以2就是.

師：非常棒. 剛才兩位同學(xué)分別從數(shù)式和幾何的角度來推導(dǎo)了這個和. 數(shù)式上稱為“倒序相加”，幾何上稱為“倒置拼補”，其實本質(zhì)是一樣的. 都是分組配對，轉(zhuǎn)化為相同數(shù)的和來處理.

師：（投影畢達哥拉斯圖片）早在公元前500多年時，希臘哲學(xué)家畢達哥拉斯就研究過這個問題. 畢達哥拉斯本人發(fā)現(xiàn)任何多個始于1的連續(xù)自然數(shù)之和構(gòu)成一個三角形數(shù). 在三角形數(shù)旁補一個倒立的三角形數(shù)，即可得1+2+3+…+n=.

我們對畢達哥拉斯比較了解的是“畢達哥拉斯定理”，也就是我們的勾股定理. 畢達哥拉斯學(xué)派是對形數(shù)研究最早的例子. 歷史上稱為“圖說一體”. 美國數(shù)學(xué)協(xié)會出版的《數(shù)學(xué)雜志》自1975年來一直設(shè)有“不用文字的證明”一欄，刊登有關(guān)數(shù)學(xué)公式、不等式等的幾何證明. 用一個幾何圖形進行某種數(shù)學(xué)方法的論說，數(shù)學(xué)命題的證明或數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)，是一件多么簡潔美妙的事. 你們看，我們同學(xué)已經(jīng)做出如此大膽的嘗試了.

我們追尋歷史的足跡，體驗著數(shù)學(xué)家的思想，學(xué)習(xí)他們銳意進取的精神，并且能夠堅持不懈地付出努力，也許某天你就會超越他們，創(chuàng)造歷史.

設(shè)計意圖：（1）本節(jié)課的難點是用“倒序相加法”求等差數(shù)列前n項和的思路的獲得. 因而在課前，對于如何突破這個難點的設(shè)計是想用幾何的“倒置拼補”來類比得到“倒序相加”. 事實上，在課堂生成時，學(xué)生能夠想到倒序相加，而且把倒置拼補作為一種解法提出. “倒序相加”和“倒置拼補”的本質(zhì)是一樣的，只是一個體現(xiàn)在數(shù)式，一個體現(xiàn)在圖形，他們都是手段和技巧，轉(zhuǎn)化為相同數(shù)的求和才是解決問題的思想. 因而，在一般等差數(shù)列求和公式的推倒中，就將兩者置于等同的位置，分別從數(shù)的角度和形的角度來解釋等差數(shù)列求和的方法. 同時從形的角度類比梯形面積公式的“割”“補”兩法來推導(dǎo)、記憶等差數(shù)列前n和的兩個公式，課堂效果非常理想. 課堂上求1+2+3+…+n的和的過程中花了大量時間來探究，這個比一般等差數(shù)列求和的探究更容易. 這個探究過程中解決了“為什么分組配對”，“為什么要倒序相加”，在一般等差數(shù)列求和中，只要解決“為什么倒序相加能轉(zhuǎn)化為相同數(shù)求和”（因為等差數(shù)列的性質(zhì)）這個問題鏈，其實就解決了推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的思想精髓：“不相同數(shù)的求和”（一般）化歸為“相同數(shù)的求和”（特殊）. 而且這種思想還將在以后的求和問題中反復(fù)體現(xiàn).

（2）高斯是從數(shù)式的角度首尾配對，從而引出“倒序相加”，而畢達哥拉斯是從形的角度得出“倒置拼補”. 不同時空，源于相同的思想精髓“不同轉(zhuǎn)化為相同”. 不同時空數(shù)學(xué)思想的對比有利于拓寬學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生全方位的認知能力和思考彈性. 擁有數(shù)學(xué)教材中有關(guān)概念、定理、思想方法產(chǎn)生和發(fā)展的歷史知識，無疑會大大拓寬我們的視野，進而豐富和提升我們的課堂教學(xué). 另外，畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)形理論是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重要的思想方法，了解了理論的源頭，在學(xué)習(xí)過程中才能得以更好地應(yīng)用. 歷史告訴我們：數(shù)學(xué)是全人類共同的遺產(chǎn)，不同文化背景下的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)創(chuàng)造都是根深葉茂的世界數(shù)學(xué)之樹不可分割的一枝. 我們要以更寬闊的視野去認識并學(xué)會欣賞豐富多彩的數(shù)學(xué)文化.

片段3：例題學(xué)習(xí)，認識欣賞古代文明數(shù)學(xué)成就

PPT投影《張丘建算經(jīng)》第23、22題：

（1）今有女不善織，日減功遲. 初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖. 問織幾何？

（2）今有女善織，日益功疾. 初日織五尺，今一月織九匹三丈，問日益幾何？

師：（朗讀一遍）“日減功遲”指每日減少的量相同. “訖”指結(jié)束. “織幾何”問一共織了多少尺. 翻譯成數(shù)學(xué)語言，用數(shù)學(xué)符號如何表示？

生12：已知等差數(shù)列{an}，a1=5，a30=1，求S30.

生13：S30==90.

（師板演）

師：非常好. 我們選擇的公式是——

生14：公式1.

師：好. 一匹四丈，一丈十尺. 請解決第二個問題. 先翻譯成數(shù)學(xué)問題.

生15：已知等差數(shù)列a1=5，S30=390，求d.

生16：S30=a1n+d=5×30+d=390，所以d=.

（師板演）

師：很正確. 這里我們選擇公式2，用方程來解決d，體現(xiàn)了方程思想.

師：（投影張丘建及《張丘建算經(jīng)》）張丘建是公元5世紀北朝的大數(shù)學(xué)家. 中國古文物或文獻中，有關(guān)等差數(shù)列的內(nèi)容十分豐富. 許多數(shù)學(xué)著作如《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》《張丘建算經(jīng)》等書都有趣味數(shù)列問題. 張丘建創(chuàng)始了等差數(shù)列求和的解法. 《張丘建算經(jīng)》現(xiàn)傳本有92問，比較突出的成就有最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的計算，各種等差數(shù)列問題的解決、某些不定方程問題求解等. 劉徽在《九章算術(shù)》中創(chuàng)造了我們今天推導(dǎo)的等差數(shù)列求和公式和兩個通項公式. 至此到五世紀，在中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中已經(jīng)具備了系統(tǒng)的等差數(shù)列理論. 雖然古代埃及、巴比倫、印度等許多民族也研究過等差數(shù)列，但都沒有得出比較完整的計算公式，同類結(jié)果直到七世紀才在印度天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家婆羅門笈多的著作中出現(xiàn)，晚了整整三百年. 我們來看看算經(jīng)中的解法. （PPT投影解法）

（1）并初、末日尺數(shù)，半之，余以乘織訖日數(shù)，即得.

（2）置今織尺數(shù)，以一月日而一，所得，倍之. 又倍初日尺數(shù)，減之，余為實. 以一月日數(shù)，初一日減之為法，實如法而一.

第一小題與我們解法一致，第二小題古人是將d=表示后代入計算的. 古文晦澀難懂，數(shù)學(xué)符號簡潔明了，且是世界通用的語言. 數(shù)學(xué)符號的應(yīng)用是數(shù)學(xué)發(fā)展的標志. 當然，中國古代的數(shù)學(xué)成就在數(shù)學(xué)史上是空前巨大的，我們現(xiàn)在更應(yīng)該傳承與發(fā)揚.

設(shè)計意圖：（1）美國學(xué)者史韋茲（F. J. Swetz）認為，用歷史來豐富數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，一個直接的方法是讓學(xué)生去解一些早期數(shù)學(xué)家感興趣的問題. 這些問題讓學(xué)生回到問題提出的時代，反映當時人們所關(guān)心的數(shù)學(xué)主題. 學(xué)生在解決源于數(shù)世紀以前的問題時，會經(jīng)歷某種激動和滿足. 《張丘建算經(jīng)》《九章算術(shù)》里的數(shù)學(xué)問題本源于生活，數(shù)學(xué)家們解決的就是生活當中的現(xiàn)實問題.

（2）選用歷史題作為例題，不僅僅是公式的變化應(yīng)用，也讓學(xué)生了解了數(shù)學(xué)史中等差數(shù)列的發(fā)展，引發(fā)學(xué)生用所學(xué)的知識對前人的解法進行思考與探究，激發(fā)興趣. 中外等差數(shù)列在不同歷史時期的發(fā)展現(xiàn)狀與比較，有助于學(xué)生全面了解相關(guān)知識，對學(xué)生的數(shù)學(xué)史觀產(chǎn)生影響. 當我們把多元文化引入數(shù)學(xué)課堂時，我們會發(fā)現(xiàn)，“誰比誰早多少年”已經(jīng)不是最重要的，最重要的是這會讓我們的學(xué)生消除民族中心主義的偏見，以更寬闊的視野去認識古代文明的數(shù)學(xué)成就.

（3）培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力（從具體背景中提煉出數(shù)學(xué)信息，用數(shù)學(xué)符號來表示，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力）. 數(shù)學(xué)符號是世界通用的語言. 數(shù)學(xué)符號展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美.

本節(jié)課是一堂公式教學(xué)課，在推導(dǎo)公式的過程中，抓住了兩個重要思想：從特殊到一般的探究思想，及從一般到特殊的化歸思想. 從特殊到一般設(shè)計了三個問題鏈：

問題1：1+2+…100=？

問題2：1+2+3+…+n =？

問題3：如何求等差數(shù)列{an}的前n項和Sn=a1+a2+a3+…+an.

一般到特殊的化歸思想揭示了本節(jié)推導(dǎo)等差數(shù)列前項和公式的思想精髓：將“不相同的數(shù)求和”化歸為“相同數(shù)的求和”. 這中間，穿插了三段古今中外、不同時空的數(shù)學(xué)史材料，使得在較好地完成教學(xué)目標的同時，豐富了數(shù)學(xué)課堂. 數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，課堂氣氛異?；钴S，學(xué)生參與度極高. 數(shù)學(xué)史激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，對學(xué)生的人格成長產(chǎn)生了啟發(fā)作用. 不同時空數(shù)學(xué)思想的對比有利于拓寬學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生全方位的認知能力和思考彈性，也讓學(xué)生了解了數(shù)學(xué)的多元文化的意義.

數(shù)學(xué)特級教師馮斌老師在評課中肯定了本節(jié)課的設(shè)計與教學(xué)效果. 但她同時指出，與另一節(jié)同課異構(gòu)的課相比較，這節(jié)課少了點“數(shù)學(xué)味”. 馮老師提出了一點思考：數(shù)學(xué)文化滲透的適度問題.

數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育是一項大的課題. 如何將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，主要有兩種方法：一是直接法，即歷史材料的直接利用. 二是注入歷史的教學(xué)法——發(fā)生教學(xué)法. 簡單地說，就是“借鑒歷史設(shè)計一個話題的教學(xué)方法”. 本堂課所采用的就是直接利用歷史材料. 在一節(jié)40分鐘的課中用什么歷史材料，怎么用，用在哪里，用多少時間，使得這節(jié)課是既有歷史味，又有數(shù)學(xué)味的數(shù)學(xué)課，值得我們大力思考和研究.