p(x)-Laplacian Dirichlet 問題無窮多解的存在性

肖成河，隋如彬

(哈爾濱商業(yè)大學 基礎(chǔ)科學學院，哈爾濱 150028)

p(x)-Laplacian Dirichlet 問題無窮多解的存在性

肖成河，隋如彬

(哈爾濱商業(yè)大學 基礎(chǔ)科學學院，哈爾濱 150028)

在變指數(shù)Lebesgue空間Lp(x)(Ω)和變指數(shù)Sobolev空間Wk,p(x)(Ω)理論框架下，研究了下面的p(x)-Laplacian Dirichlet問題： -div[(d+|▽u|2)p(x)2-1▽u]=f(x,u),x∈Ω

p(x)-Laplace算子；弱解存在性；噴泉定理；p(x)-Laplacian Dirichlet問題

變指數(shù)Lebesgue空間Lp(x)(Ω)和變指數(shù)Sobolev空間Wk,p(x)(Ω)首先由Kovacik和Rakosnik[1]進行了研究并得到了一些性質(zhì)，隨后范先令[2-3]進一步研究變指數(shù)空間Lp(x)(Ω)和Wk,p(x)(Ω)，并得到一些重要結(jié)果，為研究具有p(x)增長條件的微分方程和變分問題建立了重要的理論框架，變指數(shù)空間在偏微分方程的應用參見文獻[4-7].特別地在Wk,p(x)(Ω)空間中，對p(x)Laplacian問題有了大量的研究，參見文獻[7-9].具有p(x)增長條件的微分方程及變分問題來源于非彈性力學和電流流體學領(lǐng)域.

本文研究有界區(qū)域上主部為-div[(d+|▽u|2)p(x)2▽u]的p(x)-Laplacian Dirichlet問題：

(P)

-div[(d+|▽u|2)p(x)2-1▽u]=f(x,u),x∈Ω

u=0,x∈?Ω

解的重數(shù)問題，這里Ω?N是有界區(qū)域，p(x)>1且p(x)∈C(Ω),d>0為常數(shù).范先令研究問題(P)當d=0的情況[7]，本文推廣了范先令所研究的問題的結(jié)果.

1 變指數(shù)Sobolev空間W1,p(x)(Ω)

為了討論問題(P)弱解存在性問題，需要用到變指數(shù)Lebesgue空間Lp(x)(Ω)和變指數(shù)Sobolev空間Wk,p(x)(Ω)的一些理論，詳細內(nèi)容參見文獻[1-3].記

C+(Ω)={p:p∈C(Ω),p(x)>1,x∈Ω}

p+=maxx∈Ωp(x),p-=maxx∈Ωp(x),?p(x)∈C(Ω)

Lp(x)(Ω)={u:u是Ω上的可測函數(shù)，∫Ω|u(x)|p(x)dx<∞}

在Lp(x)(Ω)中引入范數(shù)

‖u‖p(x)=inf{λ>0:∫Ω|u(x)λ|p(x)dx≤1}

則稱(Lp(x)(Ω),‖u‖p(x))為變指數(shù)Lebesgue空間.

定理2.1 空間(Lp(x)(Ω),‖u‖p(x))是Banach空間，且它是自反的，可分的和一致凸的.

定理2.2設(shè)u∈Lp(x)(Ω){0},記ρ(u)=∫Ω|u(x)|p(x)dx,則‖u‖p(x)=a?ρua=1

定理2.3設(shè)u∈Lp(x)(Ω)，則

1)‖u‖p(x)<1(=1,>1)?p(u)<1(-1,>1)

定理2.4若u,uk∈Lp(x)(Ω),k=1,2,…,則下列結(jié)論相互等價：

1)limk→∞‖uk-u‖p(x)=0

2)limk→∞ρ(uk-u)=0

3)uk在Ω內(nèi)以測度收斂于u且limk→∞ρ(uk)=ρ(u)

定理2.5對?u∈Lp(x)(Ω),v∈Lq(x)(Ω)，則

|∫Ωu(x)v(x)dx|≤(1p-+1q-)‖u‖p(x)‖v‖q(x)

其中1p(x)+1q(x)=1.

定義空間w1,p(x)(Ω)={u∈Lp(x)(Ω):|▽u|∈Lp(x)(Ω)}，其范數(shù)為‖u‖1,p(x)=‖u‖p(x)+‖▽u‖p(x),?u∈w1,p(x)(Ω)

p*(x)=Np(x)N1-p(x),p(x)

∞,p(x)≥N

定理2.6

2)若q∈C+(Ω)且q(x)

2 p(x)-Laplace算子的性質(zhì)

為了研究問題(P)，給出p(x)-Laplace算子的性質(zhì).

對應的泛函

J(u)=∫Ω1p(x)(d+|▽u|2)p(x)2dx,u∈X

我們知道，J∈C1(X,R)，且p(x)-Laplace算子是J在弱導數(shù)意義下的導算子.記L=J′:X→X*，則

(L(u),v)=∫Ω(d+|▽u|2)p(x)2-1▽u▽vdx,?u,v∈X

L具有如下的性質(zhì).

定理2.1p(x)-Laplace算子的性質(zhì)：

1)L:X→X*是連續(xù)的，有界的且嚴格單調(diào)的算子.

2)L是(S+)型映射，即若在X中uj弱u，且lim—n→∞(L(un)-L(u),un-u)≤0，則在X中，u→u.

3)L是強制的.

4)L:X→X*是同胚的.

3 解的存在性

對問題(P)，我們給出如下定義

∫Ω(d+|▽u|2)p(x)2-1▽u·▽vdx=∫Ωf(x,u)vdx

成立.

下面給出問題(P)無窮多個弱解存在的充分條件.

假設(shè)f(x,t)滿足條件：

(f1)F:Ω×滿足Caratheodory條件，且

|f(x,t)|≤c1+c2|t|α(x)-1,?(x,t)∈Ω×

其中α∈C+(Ω)={h:h∈C(Ω),h(x)>1,x∈Ω},p(x)<α(x)

設(shè)g(u)=∫ΩF(x,u)dx，則g′:X→X*是完全連續(xù)的，即若un弱u，則g′(un)→g′(u)，這樣泛函g是弱連續(xù)的.

(f2)?M>0,θ>p+，使得

0<θF(x,t)≤tf(x,t),|t|≥M,x∈Ω

(f3)F(x,-t)=-f(x,t),x∈Ω,t∈

定理4.1 如果f滿足(f1)，(f2)和(f3)，則φ有一臨界點序列{un}，使得φ(un)→+∞，且問題(P)有無窮多個弱解.

為了證明上述定理，我們給出下面三個引理.

引理4.1 如果f滿足(f1)，(f2)，則φ在X中滿足(PS)條件.

證明 假設(shè){un}?X,{φ(un)}有界且‖φ′(un)‖→0，則有φ(un)≤c. 而

φ(un)=∫Ω1p(x)(d+|▽un|2)p(x)2dx-∫ΩF(x,un)dx≥∫Ω1p(x)(d+|▽un|2)p(x)2dx-∫Ωunθf(x,un)dx-∫Ω∩{x∈Ω:|un|≤M}F(x,un)dx+∫Ω∩{x∈Ω:|un|≤M}unθf(x,un)dx≥∫Ω1p(x)(d+|▽n|2)p(x)2dx-∫Ω1θ(d+|▽un|2)p(x)2-1|▽n|2dx+∫Ω1θ[(d+|▽un|2)p(x)2-1|▽un|2-f(x,un)un]dx-c1≥∫Ω(1p(x)-1θ)(d+|▽un|2)p(x)2-1|▽un|2dx-1θ‖φ′(un)‖‖un‖-c1

當p(x)≥2時，有

φ(un)≥∫Ω(1p(x)-1θ)|▽un|p(x)dx-1θ‖φ′(un)‖‖un‖-c1

當1

φ(un) ≥∫Ω(1p(x)-1θ)(d+|▽un|2)p(x)2dx

因此{‖un‖}有界. 由X是自反的，所以{un}有弱收斂子列仍記為{un}，設(shè)un弱u，則g′(un)→g′(u).

因為φ′(un)=L(un)-g′(un)→0，所以L(un)→g′(u). 又L是同胚. 所以un→u，從而可知φ滿足(PS)條件.

X=span{ej|j=1,2,…},

0,i≠j.

為了方便，記Xj=span{ej},Yk=⊕kj=1Xj,Zk=⊕∞j=kXj

引理4.2[7]若α∈C+(Ω)，α(x)

βk=sup{‖u‖α(x):‖u‖=1,u∈Zk}

則limk∞βk=0.

引理4.3(噴泉定理)[11]

設(shè)φ∈C1(X,)是偶泛函，?k0>0，且對每個k≥k0，存在ρk>vk>0，使得下述條件滿足：

(A1)bk=inf{φ(u):u∈Zk,‖u‖=vk}→∞,(k→∞)；

(A2)ak=max{φ(u):u∈Yk},‖u‖=ρk}≤0；

(A3) 對每個c>0，φ滿足(PS)c條件；

則φ有一列無界的正臨界值.

定理4.1的證明：由引理4.1及(f3)可知，φ滿足(PS)條件，且φ是偶泛函，我們將證明當k充分大時，則?ρk>vk>0，使得(A1)，(A2)成立，由噴泉定理可得定理結(jié)論.

≥1p+‖u‖p-c-c2,當‖u‖α(x)≤1時

=(1p+-1α+)(cα+βkα+)p-p--α+-c3因p+<α且βk→0，所以φ(u)→∞,(k→∞).

(A2)從(f2)，有

F(x,t)≥c1|t1|θ-c2

對u∈Yk，有

由θ>p+,dimYk=k及有限維空間的范數(shù)是互相等價，所以φ(u)→-∞，當‖u‖→∞時.由(A1)，(A2)得定理結(jié)論.

[1]KOVACIKO,RAKOSNIKJ.OnspacesLp(x)(Ω)andLk,p(x)(Ω)[J].CzechoslovakMath.J., 1991, 116(41): 592-618.

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[10]WILLEMM.MinimaxTheorems[M].Birkh?userBoston, 1996.

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Existence of infinitely many solutions forp(x)-Laplacian Dirichlet problem

XIAO Cheng-he, SUI Ru-bin

(School of Basic Science, Harbin University of Commerce, Harbin 150028, China)

Based on the theoretical frames of the variable exponent Lebesgue spacesLp(x)(Ω)and sobolev spacesWk,p(x)(Ω), this paper studied the followingp(x)-Laplacian Dirichlet problem:-div[(d+|▽u|2)p(x)2-1▽u]=f(x,u),x∈Ωu=0,x∈?ΩWhereΩ?Nwas a bounded domain andp(x)>1,p(x)∈C(Ω),d>0 was a constant. By using the properties ofp(x)-Laplace operator -div[(d+|▽u|2)p(x)2-1▽u]and Fountain, this paper proved the existence of infinitely many weak solutions for thep(x)-Laplacian Dirichlet problem .

p(x)-Laplace operator; existence of weak solution; fountain theorem;p(x)-Laplacian Dirichlet problem

2016-05-16.

肖成河(1964-)，男，碩士，副教授，研究方向：偏微分方程.

O175

A

1672-0946(2017)01-0098-04

u=0,x∈?Ω

其中Ω?N是有界區(qū)域，p(x)>1,p(x)∈C(Ω),d>0為常數(shù).利用p(x)-Laplace算子-div[(d+|▽u|2)p(x)2-1▽u]的性質(zhì)及噴泉定理證明了這個問題無窮多個弱解的存在性.