“構(gòu)造”誠可貴 “原理”價更高

陳國偉+++孫雅彬

摘 要：導(dǎo)數(shù)是微積分中的重要基礎(chǔ)概念，作為初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)銜接的重要內(nèi)容，它是近年來競賽、高校自主招生考試的考查熱點之一.教師在通過構(gòu)造函數(shù)法用導(dǎo)數(shù)解決實際問題時，應(yīng)多方闡釋導(dǎo)數(shù)中構(gòu)造函數(shù)方法的數(shù)學(xué)背景和原理，完善該問題所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法.

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；原理；構(gòu)造函數(shù) 導(dǎo)數(shù)是微積分中的重要基礎(chǔ)概念.作為初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)銜接的重要內(nèi)容之一，導(dǎo)數(shù)問題引入高中教材以來就以其獨特的數(shù)學(xué)魅力占領(lǐng)了數(shù)學(xué)高考的主陣地，同時它也是近年來競賽、高校自主招生考試的考查熱點之一.然而正是由于其蘊含的豐富多彩的數(shù)學(xué)思維和思想方法，讓很多學(xué)生“聞導(dǎo)色變”，特別是涉及創(chuàng)新思維下的構(gòu)造函數(shù)解決問題的題型，更是讓學(xué)生“望而卻步”.下面，筆者以導(dǎo)數(shù)中的構(gòu)造函數(shù)方法解決問題為例，從構(gòu)造法產(chǎn)生的數(shù)學(xué)背景入手，對有關(guān)導(dǎo)數(shù)中構(gòu)造函數(shù)方法的“原理”進行探討.

一、追本溯源 從公式結(jié)構(gòu)入手是構(gòu)造函數(shù)的奠基石

眾所周知，數(shù)學(xué)中的公式、定理、性質(zhì)等反映的是一種客觀規(guī)律，它們的產(chǎn)生往往是數(shù)學(xué)家們深思熟慮、甚至是終身不懈努力的結(jié)果，因此這些公式、定理、性質(zhì)等得出的過程蘊含著豐富及深刻的數(shù)學(xué)思維過程，特別是它們的變形、逆應(yīng)用及其他生成、推廣衍生等結(jié)論，更是對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)起著不可忽視的作用.

例1 （1）（2015福建高考理10）若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（0）=-1，其導(dǎo)函數(shù)f'（x）滿足f'（x）>k>1，則下列結(jié)論中一定錯誤的是（ ）

A. f（）< B. f（）>

C. f（）< D. f（）>

（2）（2015全國卷Ⅱ理12）設(shè)函數(shù)f'（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（-1）=0，當(dāng)x>0時，xf'（x）-f（x）<0，則使得f（x）>0成立的x的取值范圍是（ ）

A.（-∞，-1）∪（0，1） B.（-1，0）∪（1，+∞）

C.（-∞，-1）∪（-1，0） D.（0，1）∪（1，+∞）

【解析】題（1）：由條件f'（x）>k>1結(jié)合求導(dǎo)公式（kx）'=k，可構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-kx，則g'（x）=f'（x）-k>0，即函數(shù)g（x）在定義域上單調(diào)遞增，又因為>0 ，所以g（）>g（0），即f（）->-1，化簡得f（）>，故選項C必定錯誤.

題（2）：由條件f'（x）-f（x）<0，結(jié)合求導(dǎo)公式〔〕'=，可構(gòu)造函數(shù)g（x）=，則g'（x）=，即函數(shù)g（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞減，又因為f（x）是奇函數(shù)，所以g（x）是偶函數(shù)，則g（x）在x∈（-∞，0）上單調(diào)遞增，且g=（-1）=g（1）=0，所以當(dāng)x∈（0，1）時，g（x）>0即f（x）>0；當(dāng)x∈（-∞，-1）時，g（x）<0即f（x）>0，故答案選A.

利用題中所給條件，結(jié)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，推本溯源，通過構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小或解不等式問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，再由單調(diào)性解決實際問題，這是用導(dǎo)數(shù)解決實際問題的奠基石.當(dāng)然，有些問題會更為復(fù)雜，往往涉及多個公式的綜合變形應(yīng)用，但無論如何，還是離不開從公式結(jié)構(gòu)入手的策略.

二、執(zhí)果索因 從問題形式入手是構(gòu)造函數(shù)的開路石

很多問題的解決策略并不是很復(fù)雜或憑空想象創(chuàng)造出來的，其解決方法實際上是問題本身已經(jīng)給出的解答策略，例如下面兩個高考題：

例2 （1）（2012浙江高考理9）設(shè)a>0，b>0，則（ ）

A. 若2a+2a=2b+3b，則a>b

B. 若2a+2a=2b+3b，則a

C. 若2a-2a=2b-3b，則a>b

D. 若2a-2a=2b-3b，則a>b

（2）（2014湖南高考文9）若0

A. ->lnx2-lnx1 B. -

C. x2>x1 D. x2

上述兩個高考題主要考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的綜合應(yīng)用，以學(xué)生的解題思路而言，題干中的條件和選項毫無關(guān)聯(lián)，無從下手，然而通過選項看問題，則可以理解為函數(shù)的單調(diào)性問題，即自變量的大小關(guān)系與函數(shù)值的大小關(guān)系的判別，構(gòu)造一個合理的函數(shù)來體現(xiàn)單調(diào)性問題則成了解題的基本策略.

【解析】題（1）：由于b>0且ea+2a=eb+3b，則必有ea+2a>eb+2b．如此選項A 和B的判斷可構(gòu)造函數(shù)：f（x）=ex+2x，由f'（x）=ex+2>0恒成立，可得函數(shù)f（x）=ex+2x在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增，即a>b成立．同理選項C和D則可構(gòu)造函數(shù)f（x）=ex-2x排除．

題（2）：觀察到選項A 和B結(jié)構(gòu)類似，合并同類項后即為判斷 -lnx2和-lnx1的大小關(guān)系，可構(gòu)造函數(shù)：f（x）=ex-lnx，求導(dǎo)可得f'（x）=ex-，由函數(shù)y=ex和y=的圖象可得，f'（x）=0在x∈（0，1）有解，即f（x）=ex-lnx在x∈（0，1）上不單調(diào)，故排除A 和B．同理對于選項C和D，則可構(gòu)造函數(shù)g（x）=，由g'（x）=<0在x∈（0，1）恒成立，即函數(shù)g（x）=在x∈（0，1）上單調(diào)遞減，由0g（x2），即x2>x1，故答案C成立．

當(dāng)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的關(guān)系比較復(fù)雜，看似毫無關(guān)聯(lián)時，可根據(jù)結(jié)論的形式，執(zhí)果索因，從結(jié)論形式入手，尋求條件和結(jié)論的聯(lián)系，往往能激發(fā)解題者的思維火花，讓解題者豁然開朗，形成鮮明的解題方式，這是運用構(gòu)造函數(shù)方法解決此類導(dǎo)數(shù)問題的開路石．

三、承上啟下 從問題生成入手是構(gòu)造函數(shù)的試金石

數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)性很強，任何新知都是前面知識的發(fā)展和升華．解題中也是如此，對于舊問題的認識與理解，在解決新問題的過程中起到承前啟后的過渡作用，有利于形成新舊問題間的鏈接，便于學(xué)生解決問題．

例3 （2010安徽高考理18）設(shè)a≥0，f（x）=x-1-ln2x+2alnx（x>0）.

⑴令F（x）=xf′（x），討論F（x）在（0，+∞）的單調(diào)性并求極值.

⑵求證：當(dāng)x>1時，恒有x>ln2x-2alnx+1.

【解析】⑴略；

⑵由⑴可得，a≥0時，F(xiàn)（x）的極小值為F（2）=2-2ln2+2a>0.所以F（x）=xf'（x）>0對于x∈（0，+∞）恒成立，所以F'（x）>0在x∈（0，+∞）恒成立，所以f（x）在x∈（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增.所以當(dāng)x>1時，恒有f（x）>f（1），即x-1-ln2x+2alnx>0，從而原命題得證.

本題要證明的不等式x>ln2x-2alnx+1是由已知函數(shù)f（x）>0變形而來，要證明結(jié)論成立，只需由第一小題的結(jié)論出發(fā)得出f（x）的單調(diào)性即可.此類方法正如著名數(shù)學(xué)家、教育家波利亞說過，解題就像采蘑菇一樣，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)一個蘑菇時，它的周圍可能有一個蘑菇圈，在解題中，當(dāng)您解完了一道題，可以借助如類比及其他一些科學(xué)思維策略和數(shù)學(xué)思想方法，對問題進行探索與拓展，從而解決一類問題，發(fā)展思維能力.這不僅大大提高了學(xué)生的解題積極性，同時更能培養(yǎng)學(xué)生認真讀題、透過現(xiàn)象看本質(zhì)、挖掘問題隱含條件的能力，是運用構(gòu)造函數(shù)方法解決此類導(dǎo)數(shù)問題的試金石．

“構(gòu)造”誠可貴，“原理”價更高.解題教學(xué)并不是簡單地告訴學(xué)生諸如一、二、三生硬的解題方法或技巧，而是要讓學(xué)生在解題教學(xué)的過程中深刻理解為什么會有這些方法和技巧，它們的產(chǎn)生來自于怎樣的數(shù)學(xué)背景，蘊含怎樣的數(shù)學(xué)思維等.筆者通過探究用構(gòu)造法解決導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)問題，從數(shù)學(xué)背景的角度闡釋了構(gòu)造法的原理，正如牛頓說：“每一個目標，我都要它停留在我的眼前，從第一道曙光初現(xiàn)開始，一直保留，慢慢展開，直到整個大地光明為止.”