力學(xué)中的變質(zhì)量在力學(xué)中的應(yīng)用研究

毛吉平

摘要：本文從動態(tài)的角度，把一個與外界不斷發(fā)生質(zhì)量交換的系統(tǒng)作為主體研究對象，研究變質(zhì)量系統(tǒng)的力學(xué)規(guī)律，也繼而將若不加分析地把適用于質(zhì)量不變系統(tǒng)的力學(xué)規(guī)律，用來解決這類問題，就會得到錯誤的結(jié)果作了說明。

關(guān)鍵詞：變質(zhì)量系統(tǒng)，質(zhì)點(diǎn)，經(jīng)典力學(xué)

一、如何處理變質(zhì)量系統(tǒng)的力學(xué)問題呢？我們只要設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為質(zhì)量不變系統(tǒng)的力學(xué)問題就行了。如圖一，把t時刻主體m，和t至t+△t時間間隔內(nèi)主體與外界交換的質(zhì)量△m，作為我們的研究對象。那么，在t+△t的全部時間間隔內(nèi)，所討論的系統(tǒng)的質(zhì)量是不變的，即系統(tǒng)可視為一個質(zhì)量不變系統(tǒng)，由此就很容易得到變質(zhì)量系統(tǒng)的動力學(xué)公式。

設(shè)某一時刻t，主體質(zhì)量為m，其質(zhì)心速度為v，在t+△t時，主體質(zhì)量變?yōu)閙+△m，速度為v+△v，即這段時間內(nèi)，有質(zhì)量為△m的質(zhì)元加入（或離開）到主體上，設(shè)△m在附著于主體m之前的速度為V，（這里v和v ' 相對于同一慣性參照系），又假設(shè)在△t時間里，作用在主體m上的合外力為F。對于包括m和△m的系統(tǒng)，其質(zhì)量是不變的。因此，關(guān)于質(zhì)量不變系統(tǒng)的動量原理仍然適用，于是有：

F·△t = （m+△m） （v+△v） – mv –△mv '

在△t→0的極限情況下，略去兩個無窮小項的乘積，可整理得

若以u表示dm相對于主體的速度，因u= v ' – v，則（1）式可寫成

式（1）或（1'）就是變質(zhì)量系統(tǒng)的力學(xué)基本方程。

由式（1）和（1'）可以看出以下意義：式（1'）中 具有力的量綱，它顯然是加入（或放出）的質(zhì)元對主體的一種作用，有人把這種附著（或放出）反應(yīng)的作用，稱為反作用力。如果考慮到這種反作用力，（1'）式就與通常的牛頓第二定律的形式一致了。對于增質(zhì)量情況，當(dāng)u與V方向一致時，反作用

力 為正，對主體來說是推動力；反之就是阻力。由靜止向上提起一根

纖繩的運(yùn)動，就屬于后者的類型。對于減質(zhì)量的情況，當(dāng)u與v方向一致

時，反作用力 為負(fù)，對主體來說是阻力；反之就是推動力，如火箭飛行

就屬這類。

二、根據(jù)式（1）或（1'），我們可以導(dǎo)出關(guān)于變質(zhì)量系統(tǒng)的動量原理和動能定理等力學(xué)的重要原理。

式（1）對時間取積分，得

這就是關(guān)于變質(zhì)量系統(tǒng)的動量原理。它表明，對于變質(zhì)量系統(tǒng)，系統(tǒng)的動量變化，不僅與外力作用的沖量有關(guān)，而且與質(zhì)量遷移所伴隨的動量遷移的多少有關(guān)。

對于F=0，v=常量的特殊情況，由 （2）得V'（m2-m1）= m2v2 – m1v1 它清楚地說明，此時系統(tǒng)的動量變化，是由于質(zhì)量遷移的結(jié)果。

三、對于變質(zhì)量系統(tǒng)，外力所做的功與系統(tǒng)能量變化的關(guān)系，可以推導(dǎo)如下：

若在dt這段時間內(nèi)，物體通過的位移為ds，則作用在系統(tǒng)上的力F所作的元功為

因v·d（mv） = d（ mv2） + v2dm則對于一個完整的過程

（3）

這就是變質(zhì)量系統(tǒng)的功能關(guān)系。

式（3）出現(xiàn)了兩項與質(zhì)量遷移有關(guān)的項，為了搞清它們的含義，不妨舉例說明。

如圖二所示，若一勻質(zhì)纖繩，線密度為λ，盤繞在光滑水平面上 ，

由靜止向上提拉。設(shè)提拉到高度 時，速度為V。取圖示坐標(biāo)，合外力

F= f-λgy ；考慮到v ' = 0，代入（3）式并整理得：

上式右邊括號表示纖繩機(jī)械能的增量。上式表明，在提拉纖繩過程中，拉力所做的功中，有一部分并沒有轉(zhuǎn)變?yōu)闄C(jī)械能，這就是提拉過程中的機(jī)械能損失。其意義是很明確的：在纖繩提拉過程中，不斷有靜止的質(zhì)元加入主體，這些質(zhì)元與主體發(fā)生了類似于非彈性碰撞的物理過程。這部分損失的機(jī)械能，當(dāng)然是由外力作功來提供的。

對于v'不等于零的情況， ，它可以理解為伴隨質(zhì)元的遷

移所轉(zhuǎn)化或遷移的能量。（如火箭因燃燒而噴射高速氣流時，所轉(zhuǎn)化的能量。）

四、在前面的討論中，我們把主體（系統(tǒng)）看成千個“質(zhì)點(diǎn)”；就是說，我們沒有考慮物體的轉(zhuǎn)動，而只研究物體的平動。因此，上述的有關(guān)規(guī)律，是關(guān)于質(zhì)點(diǎn)的變質(zhì)量系統(tǒng)力學(xué)規(guī)律。在此基礎(chǔ)上，我們可以建立相應(yīng)的變質(zhì)量剛體力學(xué)規(guī)律。把基本方程（1）的兩邊都與矢徑r取矢積，有

根據(jù)質(zhì)點(diǎn)角動量的定義 L=r×P=r×mv

對上式取時間t的導(dǎo)數(shù)

這就是變質(zhì)量系統(tǒng)的質(zhì)點(diǎn)角動量定理。其中r×F是作用在質(zhì)點(diǎn)上的合

外力對轉(zhuǎn)動中心（在這里取作坐標(biāo)原點(diǎn)）的力矩；如果我們把 稱為

附著反應(yīng)的反作用力矩，那么式（5）在形式上與通常的質(zhì)點(diǎn)角動量定理相似。

根據(jù)式（5），我們可以進(jìn)一步導(dǎo)出關(guān)于變質(zhì)量系統(tǒng)的質(zhì)點(diǎn)系角動量定理和剛體轉(zhuǎn)動定律。

設(shè)有多個質(zhì)點(diǎn)組成的變質(zhì)量系統(tǒng)，根據(jù)牛頓第三定律，諸內(nèi)力成對地大小相等方向相反，因此它們對任一點(diǎn)力矩的矢量和必等于零。即∑ri×fi =0

其中M表示各外力對轉(zhuǎn)動中心的力矩之和；M '表示各反作用力對轉(zhuǎn)動中心的反作用力矩之和；L表示各質(zhì)點(diǎn)對轉(zhuǎn)動中心角動量的矢量和。則可寫成

這就是變質(zhì)量系統(tǒng)的質(zhì)點(diǎn)系角動量定理。

對于繞固定軸轉(zhuǎn)動的物體（系統(tǒng)），如圖三。由于物體上各點(diǎn)的角速度均為ω，將物體分成多個質(zhì)點(diǎn)，第i個質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為mi，它對轉(zhuǎn)軸距離為ri，考慮到vi=ω×ri， 則它對轉(zhuǎn)軸的角動量為Li=ri×mivi=miri2ω 所以整個物體對轉(zhuǎn)軸的角動量 L=∑ri×miv = （miri2）ω=Jω

其中J=∑miri2 是物體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。于是根據(jù)式（6）相應(yīng)可得M+注意這時的M、M '、J都是對同一轉(zhuǎn)軸而言的，并且J是隨著質(zhì)量遷移而變化的，因而不是常數(shù)，不能提到括號外。只要各質(zhì)點(diǎn)間的相對位置不可變化，物體仍然可認(rèn)為是剛體。式（7）就是關(guān)于變質(zhì)量系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動定律。有了式（7），我們很容易導(dǎo)出有關(guān)變質(zhì)量剛體力學(xué)的其他規(guī)律，在此不作討論了。

最后說明，上述關(guān)于變質(zhì)量力學(xué)問題的規(guī)律，都是在經(jīng)典力學(xué)范圍內(nèi)討論的。

參考文獻(xiàn)：

[1] 陳培勝，方建會.？？相空間中非完整非保守系統(tǒng)的形式不變性[J]. 物理學(xué)報. 2003（05）