論如何提高初中學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力

楊曉蘭

不少學(xué)生反映，課上聽得懂，就是自己不會做；即使把定理背的滾瓜爛熟，把公式默寫的一字不差，也模仿例題做了不少練習(xí)，可課下一解題，經(jīng)常出錯，而遇到新題又束手無策。究其根源：教學(xué)！“教”：照本宣科，學(xué)生依樣畫葫蘆；“學(xué)”：學(xué)習(xí)者不求甚解，不去深入的領(lǐng)悟所學(xué)知識，更不重視探索過程、發(fā)現(xiàn)過程的反思，只求知道個最終結(jié)論或最終套路。我為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，在教學(xué)中留心多年，先將點滴體會介紹如下，僅供參考。

一、新課講授準(zhǔn)確、全面，并據(jù)前瞻性

例如，在講授（人教版第二十四章）圓和圓的位置關(guān)系一單元時，若采用：通過板演圓與圓五種位置關(guān)系的圖形，引導(dǎo)學(xué)生觀察并發(fā)現(xiàn)五個等價命題之后，便開始例題教學(xué)，布置學(xué)生完成書后練習(xí)與習(xí)題，表面上看一帆風(fēng)順，實質(zhì)由于教師的照本宣科，學(xué)生失去了一次深入理解，發(fā)展提高的機會。所以在教學(xué)中，我除了先幻燈演示，然后板演書上五種位置關(guān)系外，還讓學(xué)生在我的提示下觀察圖①，發(fā)現(xiàn)：同在x軸上的兩個半徑分別為R.和r（R>r）的⊙A和⊙B，圓心A、B的坐標(biāo)分別是（xA，0）和（xB，0），則圓心距d=│xA-xB│。外切時，圓心距d=│xA-xB│=R+r；內(nèi)切時，圓心距d=│xA-xB│=R-r；內(nèi)含時d=│xA-xB│

還有，兩個圓相交，除黑板上、書上所畫的兩個圓的圓心分別在公共弦兩側(cè)這種情況外，圓心還有別的情況嗎？結(jié)果，學(xué)生通過思考，作圖后發(fā)現(xiàn)，原來兩圓相交，還有圓心在公共弦同一側(cè)的情況。接著又進一步提出：這兩種情況中圓心距、半徑、弦心距三者關(guān)系有什么不同嗎？對照觀察圖②、圖③后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：當(dāng)圓心在公共弦兩側(cè)時，兩圓圓心距等于弦心距（這里指公共弦的弦心距）之和；而當(dāng)兩圓圓心在公共弦同一側(cè)的時侯，圓心距則等于弦心距之差。如果講完課，未做適當(dāng)引申與拓展，一旦新題型出現(xiàn)，學(xué)生肯定：要么，束手無策；要么解錯了。

圖1 圖2 圖3 圖4

例如：2010.聊城中考就有這樣一道題：如圖④，小圓的圓心在原點，半徑為3，大圓的圓心坐標(biāo)為（a，0），半徑為5，如果兩圓內(nèi)含，那么a的取值范圍是_。一些同學(xué)無從下手，而另一些同學(xué)又會錯誤的答成0

再如，由于學(xué)生對兩圓相交缺乏全面認識而導(dǎo)致錯誤的題：相交兩圓的公共弦為6，兩圓的半徑分別為3 和5，則這兩圓的圓心距為_。很多學(xué)生因為對兩圓相交考慮不全面，只答出了7，而漏答了1。

以上兩例充分說明，學(xué)生解題能力與教學(xué)的關(guān)系了。若教學(xué)中，充分意識到知識的引申與拓展的必要性的話，情況會大不一樣！多年教學(xué)嘗試與思索中我深深悟到：學(xué)生解題能力差，往往是教師教學(xué)啟發(fā)的不夠，前瞻性不強所致，教學(xué)中應(yīng)多一分思索、多一點啟發(fā)，學(xué)生將會越來越愛學(xué)、越來越會學(xué)，也越來越聰明。

二、一題多解、甚至巧解，且充分重視對探索過程、發(fā)現(xiàn)過程的反思

例如，再講2010.樂山中考一題：如圖⑤，正六邊形ABCDEF的邊長為2cm，點P為這個正六邊形內(nèi)部的一個動點，則點P到這個正六邊形各邊的距離之和為__cm。有學(xué)生把P點當(dāng)作正多邊形的中心后，迅速得出結(jié)果6cm。理由是此時距離之和應(yīng)是邊心距的6倍。首先肯定，這樣做很巧妙，答案也固然對，但至于為什么便不去想它了。

圖5

此時，因不失時機引導(dǎo)學(xué)生去探索、去發(fā)現(xiàn)：①通過六個三角形面積之和等于總面積而得出；②由正六邊形三組邊分別平行，而平行線之間的距離處處相等，從而推出：點P到這個正六邊形各邊的距離之和是個定值，為邊心距的六倍。接著問：如果改為是正三角形、正五邊形、正七邊形，……，其他條件不變，結(jié)論又會如何呢？為什么？你能得出個公式來嗎？學(xué)生在一個個問題的層層深入中去思考、去討論、去發(fā)現(xiàn)，最后得出結(jié)論：通過n個三角形面積之和等于正n邊形的總面積，可得出一個公式：正n邊形內(nèi)任意一點到各邊的距離之和一定是此n邊形邊心距的n倍。以上教學(xué)，不但解決這道題，還讓學(xué)生學(xué)會了利用面積比拼解決其它多邊形中這類問題的方法，更重要的是通過引導(dǎo)學(xué)生在思考、探索中不斷發(fā)現(xiàn)，不斷去總結(jié)，既提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，又培養(yǎng)了學(xué)生的鉆研精神和嚴(yán)謹科學(xué)態(tài)度。長此以往，學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力才能得以真正意義上的提高。

再比如，初三第二十二章 22.3實際問題與一元二次方程教學(xué)過程中遇到的利用平移方法解決面積問題的教學(xué)中，我做了這樣的嘗試：

例如，（人教版P54頁）這樣一道題：如圖⑥，要設(shè)計一個等腰梯形的花壇，花壇上底長100，下底長180，上下底相距80，在兩腰中點連線處有一條橫向甬道，上下底之間有兩條縱向甬道，各甬道的寬度相等，用到的面積是梯形面積的六分之一，甬道的寬應(yīng)是多少米？（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）

學(xué)生因為有教材P49頁第9題以及一些變式訓(xùn)練，如

于是迅速找到突破口，有了下列解法：

解：設(shè)道路的寬度為x米

學(xué)生分別有兩種列法：

其中第二種方法顯然運用了平移的數(shù)學(xué)思想，但必須提出讓學(xué)生思考的是：當(dāng)我們把橫著的道路去除后，上下兩個梯形已不能組成一個高減小x米的梯形了，為什么你們還能用平移拼接的方法列出了第二種形式的方程呢？難道錯了嗎？如果對，那又是為什么呢？為講清楚這個問題，我把圖形研究的重點放在如何裁剪中間甬道后，再拼接的問題作為重點。讓學(xué)生用動腦、也動手，逐漸明朗、發(fā)現(xiàn)：

此題中最重要的一個條件：“在兩腰中點連線處有一條橫向甬道”，也正因如此，如圖，

要么由，（其中，h、MN分別為梯形ABCD的高和中位線，x為甬道寬）

或者，△APE≌△BPE，ΔDHQ≌ΔCGQ

∴=；=，

∴ +=

所以，第二種采用平移、比拼方式列的方程也就是正確的了。

通過以上分析與反思，使學(xué)生知其然，也知其所以然了。

三、上好復(fù)習(xí)課，要合理設(shè)置有針對性和代表性的例題和練習(xí)題。例如，在組織學(xué)生復(fù)習(xí)一元二次方程解法時，我先從一元二次方程的概念入手，配備例題，以便更好的幫助學(xué)生理解并掌握

例如：當(dāng)m為何值時，關(guān)于x的方程（k-1）-2x+6=0是一元二次方程？學(xué)生要緊扣一元二次方程滿足的兩個條件：一是最高次項系數(shù)為2；二是二次項系數(shù)不為零，才能準(zhǔn)確的解決。這樣圍繞知識結(jié)構(gòu)，有目的的進行循序漸進的復(fù)習(xí)。接著，對一元二次方程的四種解法展開復(fù)習(xí)，落實每一種解法的一般步驟，并通過一定數(shù)量的練習(xí)，使學(xué)生在復(fù)習(xí)中將所學(xué)知識得到很好的鞏固和提高。在學(xué)生的訓(xùn)練中教師抓住典型錯誤及時給予糾正，對部分學(xué)困生給予幫助。最后，出現(xiàn)一些變式題，以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并總結(jié)："降次"（直接開平方、因式分解）的數(shù)學(xué)方法和把"不會"變?yōu)?會"、把"新知識"轉(zhuǎn)化為"舊知識"（化一元二次方程為一元一次方程）的劃歸思想，這樣可以使更多的學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會思考，使以后學(xué)習(xí)更具潛力。例如：通過以上拓展，一部分數(shù)學(xué)基礎(chǔ)好的學(xué)生就能聯(lián)想到分式方程、雙二次方程、甚至是簡單的無理方程可通過去分母、換元、兩邊同時平方不就可以將不會的變成會的了嗎？一節(jié)課下來使大部分學(xué)生鞏固了一元二次方程的四種解法，而學(xué)有余力的孩子有了思維、拓展和上升的無限空間。真可謂：做題初，趣已生；做題時，趣意濃；做題終，趣不盡！也體現(xiàn)了面向全體學(xué)生的同時，因材施教的教育原則。

再如，在學(xué)完反比例函數(shù)之后，我及時上了堂復(fù)習(xí)課，復(fù)習(xí)中除了對反比例函數(shù)圖像、性質(zhì)、典型體例做復(fù)習(xí)外，我還把它和一次函數(shù)（包括正比例函數(shù)）又做了對比，復(fù)習(xí)中既注意它們的區(qū)別，更加強了由易到難、分層次、階梯式的綜合訓(xùn)練，這樣，我認為不單單提高了學(xué)生的解題能力，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的方法和習(xí)慣，既提高了學(xué)生智力，又注重了學(xué)生非智力因素的培養(yǎng)。下面是我設(shè)計的一組題：

1.畫出函數(shù)y=kx+b與y=，其中k≠0，在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖像的所有可能性。（鞏固兩種函數(shù)的圖像和性質(zhì)，并訓(xùn)練學(xué)生思維的嚴(yán)密性和完整性）。

2.已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于點p（-2，1）和Q（1，m）。求這兩個函數(shù)的解析式，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出圖像，并根據(jù)圖像回答：當(dāng)x為何值時，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值。（此題既鞏固了函數(shù)的基本知識，又訓(xùn)練了學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合的方法來解答問題的能力）。

3.為了與預(yù)防流感，某學(xué)校在休息天用藥物消毒法對教室進行消毒。已知藥物釋放過程中每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時

間t（小時）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系是為y=（a為常數(shù)），如圖所示。據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：

①寫出從藥物釋放開始，y與t的兩個函數(shù)關(guān)系式及相應(yīng)的自變量取值范圍；

②據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含量降低到0.25毫克時，考生方可進入教室，那么從藥物釋放開始，至少需要多少小時后，考生才能進入教室？（既鞏固了知識，提高解題了能力，更重要的是，對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)以致用能力的提高進行了很好的訓(xùn)練）。

綜上所述，教學(xué)中也只有通過比較、探索、討論、反思，甚至是爭論的過程，學(xué)生才能真正弄懂，并從根本上理解和體會數(shù)學(xué)的樂趣，不自覺的在每一次體驗中提高數(shù)學(xué)的解題能力，更長遠一點說：為學(xué)生的后繼學(xué)習(xí)和可持續(xù)發(fā)展打下來良好的基礎(chǔ)。因此，我認為在教學(xué)中：不能只求學(xué)生一時的懂，而要為教學(xué)生為求精而學(xué)！