劉小燕
[摘 要]小學數(shù)學應用題的很多題型都與百分率有著千絲萬縷的關聯(lián),隨著小升初的數(shù)學試卷中應用題比分的不斷上升,百分率問題越來越受到關注。由易到難地歸納出四種常見的百分率題型,并深入淺出地進行分析,希望能起到拋磚引玉的作用。
[關鍵詞]百分率 應用題 生活實例
[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068(2017)02-061
近十年來,小升初的數(shù)學試卷中,小學數(shù)學應用題的題型一般有以下幾種:求平均數(shù)應用題、歸一問題(如工程問題)、相遇以及追及問題、比和比例問題……它們或多或少地與分數(shù)和百分率有著千絲萬縷的關聯(lián)。下面將百分率的有關知識點進行梳理。
一、已知的兩個數(shù)之間的百分率計算
常見題型:(1)甲數(shù)是乙數(shù)的百分之幾;(2)甲數(shù)比乙數(shù)多(少)百分之幾。
這是所有百分率問題的基礎,盡管這兩類題型比較簡單,但教師在教學中要予以足夠的重視,務必確保百分之百的通過率。為了提高學生解決問題的能力,教師可結合產品的合格率、考試成績的優(yōu)分率等設置一些習題。對于題型(2),要讓學生在大腦中留下根深蒂固的印象:a比b多的百分率不等于b比a少的百分率?。ㄈ纾?比4多25%,但4比5不是少25%,而是少20%。)
二、已知一個數(shù)a和百分率x%,求另一個數(shù)b
對此,可以設置習題:(1)50的70%為_________;(2)_____的60%為30;(3)_______比5大20%;(4)比_____大20%的數(shù)是72;(5)一件衣服打九折之后出售還賺利潤21元,進價是2400元,標價是_____元;(6)一件衣服的進價為50元,售價為80元,若按售價的八折售出,利潤是______元,利潤率為_____。
重點題型:(1)已知數(shù)a增加(或減少)百分率x%,得b,求b的值;(2)a增加(或減少)百分率x%后為已知數(shù)b,求a的值。
解這兩種題型可用圖示法: (增加對應的等式為a×(1+x%)=b)或 (減少對應的等式為a×(1-x%)=b)。
【例1】 (1)值日生乙單獨擦黑板所用時間是20秒,甲單獨擦黑板所用時間比乙多50%,兩人一起擦黑板,需多少秒?
(2)值日生甲單獨擦黑板所用時間比乙單獨擦黑板多50%,兩人一起擦需12秒,單獨擦各需多少秒?
解:(1)乙用20秒,工效是1/20;甲所用時間為20×(1+50%)=30(秒),工效是1/30。兩人一起擦的工效為1/20+1/30=1/12,所用時間為12秒。
(2)兩人一起擦需12秒,合擦工效為1/12;甲單獨擦比乙用時多50%,甲用時=乙用時×(1+50%)=乙用時的1.5倍,于是甲的工效是乙的2/3。所以乙的工效為 ÷(1+ )= ,乙單獨擦黑板用時為20秒,甲單獨擦黑板用時為30秒。
【例2】 服裝店的某一時間以每件120元的價格賣出兩件羊毛衫,其中一件盈利25%,另一件虧損25%,賣這兩件總的來說是盈利還是虧損,或是不盈不虧?
解:結合 120和 120,可得a=120÷(1+25%)=96(元),b=120÷(1-25%)=160。由于進價a+b=256(元)大于售價120×2=240(元),所以賣這兩件總的來說虧損16元。
三、連續(xù)變化的百分率的計算
解答此類題,需要每變一步,就畫一個分析圖。
【例1】 大潤發(fā)賣場的某種電器的進價是120元,按利率25%的售價擺上貨架后,由于其供不應求,賣主將售價提高了20%,發(fā)現(xiàn)銷售情況不大理想,只能再將銷售價下調10%,此時該電器的售價為多少元?
解:三次變化的過程: 。利用有關等式,可得c=120×(1+25%)×(1+20%)×(1-10%)=162(元)。
四、鹽水中的百分率計算
鹽水問題就是傳統(tǒng)的濃度問題。掌握這類問題的關鍵只有一個:含鹽的百分率= ×100%。
常見題型:
(1)鹽與水混合,求含鹽的百分率。這一類題比較容易,但也要多讓學生練習,加深學生對含鹽率的理解。
(2)在已知含鹽率的鹽水中加入一定量的鹽或水,求新鹽水的含鹽率。只要把握新鹽水中的真實鹽量和新的鹽水量,問題就能迎刃而解。其變形題(在已知含鹽率的鹽水中加入一定量的鹽或水,并且知道新鹽水的含鹽率,求加入的量。)有一定的難度,建議用“加鹽水不變、加水鹽不變”的思路進行解題。
(3)兩種鹽水混合所涉及的運算。這類習題看似復雜,實際上不難,只要搞清鹽量的變化情況,解題就易如反掌。
(4)在已知含鹽率的鹽水中加入一定量的鹽,求新鹽水的含鹽率。(其類似題目還有在酒中加入酒精或在硫酸銅溶液中加入膽礬等)這類習題本質上是以題型(2)的形式出現(xiàn),用解題型(3)的方法解題,只偶爾出現(xiàn)在競賽試題中。
【例1】 在含鹽率50%的40克鹽水中加入多少克鹽,才能使鹽水的含鹽率變?yōu)?0%?
解1:(方程法)設需加入x克鹽,則x+40×50%=(x+40)×60%, 解得x=10。
解2:用“加鹽水不變”的思路解。加鹽之前的水=40×(1-50%)=20(克),加鹽之后的水也是20克,此時的鹽水量為20÷(1-60%)=50(克),比以前增加的量=50-40=10(克),10克就是加入的鹽量。
【例2】 李明在超市購買了以下商品:①康師傅方便面4桶,單價3.5元/桶,打九折;②脈動飲用水10瓶,單價3.1元/瓶,不打折;③蘋果2斤,單價4.5元/斤,打八五折;④雕牌洗衣粉2袋,單價5.5元/袋,打八折。
(1)仔細讀題,完成下表,并求出總付款多少元;
(2)若超市的平均贏利率為20%,則這批商品超市的成本是多少?
(3)如果李明是為5位客戶跑腿的,每位客戶都買了一份上述商品,每個客戶都允許李明多拿15%的辛苦費,那么誠信的李明必須向每位客戶收取多少費用?一共獲得多少辛苦費?
解:(1)
總付款=各商品的應付款的總和=12.6+31+7.65+8.8=60.05(元),因此實際付款60元。(5分錢各大超市還是樂意讓利的)
(2)學生在解此題時容易出現(xiàn)的典型錯誤是60×(1-20%)=48(元)。很明顯,如果成本是48元,收入為60元,其贏利是60-48=12(元),贏利率為12÷48×100%=25%,與已知條件矛盾。正解是60÷(1+20%)=50(元)。
(3) 李明必須向每位客戶收取的費用=60×(1+15%)=69(元),辛苦費=5×9=45(元)。
綜上,教師如能結合實際問題行之有效地完成百分率的教學任務,學生必然就能輕松自如地消滅應用題這只“攔路虎”。
(責編 金 鈴)