撥動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維心弦的四部曲

陳響谷

[摘 要]中國(guó)古代之“數(shù)”，皆“術(shù)”，教有其“術(shù)”，學(xué)更有之“術(shù)”。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以采取“切”“磋”“琢”“磨”的教學(xué)策略，引導(dǎo)學(xué)生在“畫”中“切”、“圈”中“切”、“比”中“磋”、“逆”中“磋”、“教”中“琢”、“議”中“琢”、題組“磨”、反思“磨”，從而提高學(xué)生思維能力。

[關(guān)鍵詞]小學(xué)數(shù)學(xué)；切磋琢磨；教學(xué)策略

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2017）02-041

【信其言】

“有匪君子，如切如磋，如琢如磨?！?/p>

——《詩(shī)經(jīng)·衛(wèi)風(fēng)》

【解其語(yǔ)】

古代把骨頭加工成器物叫“切”，把象牙加工成器物叫“磋”，把玉加工成器物叫“琢”，把石頭加工成器物叫“磨”。后引申為學(xué)問(wèn)上的研究、探討，指共同研究學(xué)習(xí)，互相取長(zhǎng)補(bǔ)短。

結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)，“切磋”就是要求學(xué)生自己有深入的思考，還要有與同伴進(jìn)行思維的碰撞?！白聊ァ眲t更多地立足于自己的用心思考，強(qiáng)調(diào)自我的反思，立足于自己的學(xué)習(xí)過(guò)程。

【行其道】

“切磋琢磨”教學(xué)是指在課堂教學(xué)中，先讓學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容按照“預(yù)學(xué)、互學(xué)、共學(xué)、悟?qū)W”的流程進(jìn)行學(xué)習(xí)，再通過(guò)或“切”或“磋”，或“琢”或“磨”的探究活動(dòng)，最終獲得新知的一種學(xué)習(xí)方式。當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了“切”“磋”“琢”“磨”的學(xué)習(xí)過(guò)程后，他對(duì)知識(shí)的記憶會(huì)特別深刻，真正成為研究學(xué)習(xí)的主人。

一、“切”——課前預(yù)學(xué)

學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)常常會(huì)有一種不準(zhǔn)確的知識(shí)建構(gòu)。對(duì)此，教師可以在課前設(shè)計(jì)“預(yù)學(xué)單”，根據(jù)學(xué)習(xí)計(jì)劃給定學(xué)生一個(gè)預(yù)學(xué)目標(biāo)，讓學(xué)生在“預(yù)學(xué)單”的指引下，根據(jù)已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行自主學(xué)習(xí)。在自主學(xué)習(xí)的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)主動(dòng)在易混淆處或疏忽處“切一切”，這樣不僅可以促使學(xué)生形成完整的知識(shí)概念，而且還可以加深學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解。

1.“畫”中“切”

在教學(xué)三角形三條邊的關(guān)系時(shí)，為了有效落實(shí) “三角形的任意兩邊之和都大于第三邊”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，可以設(shè)計(jì)如下的“預(yù)學(xué)單”。

預(yù)學(xué)單

（1）已知一個(gè)等腰三角形的一邊為5cm，另一邊為6cm，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)。

（2）已知一個(gè)等腰三角形的一邊為3cm，另一邊為5cm，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)。

（3）已知一個(gè)等腰三角形的一邊為4cm，另一邊為9cm，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)。

（4）請(qǐng)畫出以上3題所有可能的三角形，并說(shuō)說(shuō)你有什么發(fā)現(xiàn)。

第（4）題要求學(xué)生畫出這些三角形，顯然第（3）題中有一個(gè)可能性學(xué)生無(wú)法畫出，原因是周長(zhǎng)為17cm的那個(gè)三角形根本不存在。畫的過(guò)程就是“切”的過(guò)程，學(xué)生在“切”中恍然大悟，反思后發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件“三角形的任意兩邊之和都大于第三邊”。這樣的“切”可以有效培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)理解的深刻性。

2.“圈”中“切”

在教學(xué)“用分?jǐn)?shù)解決問(wèn)題”練習(xí)課前，為了打破學(xué)生思維定式，教師可以設(shè)計(jì)如下的“預(yù)學(xué)單”。

預(yù)學(xué)單

（1）一堆20噸的煤，第一天運(yùn)了全部的 ，第二天又運(yùn)了 噸，還剩多少噸？

（2）一堆20噸的煤，第一天運(yùn)了全部的 ，第二天又運(yùn)了 ，還剩多少噸？

（3）請(qǐng)分別圈出第（1）題和第（2）題的 ，你發(fā)現(xiàn)了什么？

對(duì)于第（1）題，學(xué)生一看到題目就會(huì)聯(lián)想到“剩下的噸數(shù)=總噸數(shù)×剩下的占總數(shù)的幾分之幾”這個(gè)數(shù)量關(guān)系，把具體的數(shù)量“ 噸”當(dāng)作一個(gè)分率，從而錯(cuò)誤列式為20×（1- - ）=11（噸）。當(dāng)學(xué)生做到第（2）題時(shí)，很快就發(fā)現(xiàn)不對(duì)勁，回過(guò)頭來(lái)反思第（1）題，在比較中就知道了其中的“奧秘”。第（3）題的“圈一圈”，更是讓人一目了然，“切”中要害，打破學(xué)生的思維定式，培養(yǎng)學(xué)生良好的審題習(xí)慣。

二、“磋”——小組互學(xué)

“磋”這個(gè)階段，教師重在提出問(wèn)題、教給方法，向?qū)W生提供從已知到未知的過(guò)渡橋梁，學(xué)生則重在交流討論。學(xué)生通過(guò)相互之間的“磋”獲得進(jìn)一步的感知和感悟，不同層次的學(xué)生都能獲得不同的發(fā)展。

1.“比”中“磋”

例如在“用字母表示數(shù)”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生根據(jù)“學(xué)習(xí)單”，在組內(nèi)進(jìn)行“磋”。

學(xué)習(xí)單

（1）我今年（ ）歲，我的同桌今年（ ）歲。

（2）小紅今年（ ）歲，小紅的爸爸今年（ ）歲。

提示：不知道的歲數(shù)可以用字母表示哦！

想一想：小紅的年齡與爸爸的年齡，能用相同的字母表示嗎？為什么？

小組內(nèi)討論“小紅”和“小紅的爸爸”兩人的歲數(shù)，一起“磋”“是用數(shù)字表示，還是用字母表示；是用兩個(gè)不同字母表示，還是用含有相同字母的式子表示”。最終，學(xué)生圍繞“小紅的爸爸的歲數(shù)用字母a以外的其他字母表示好，還是用a+30表示好”進(jìn)行了深入的“磋”。“磋”的過(guò)程，其實(shí)就是對(duì)照自己的思維過(guò)程，“磋”讓其學(xué)習(xí)他人之長(zhǎng)處，修正自己與他人的錯(cuò)誤、不足，找到解決問(wèn)題的最優(yōu)方法。

2.“逆”中“磋”

在教學(xué)多邊形面積時(shí)，為了讓學(xué)生深入理解三角形面積與平行四邊形面積之間的關(guān)系，可設(shè)計(jì)逆向思維的“磋”，并讓其“逆向思考”。

學(xué)習(xí)單

請(qǐng)判斷：一個(gè)三角形的面積是一個(gè)平行四邊形面積的一半，那么這個(gè)三角形和平行四邊形一定等底等高。

小組討論：

（1）三角形可以等面積變形嗎？?jī)蓚€(gè)三角形的底和高均不相等，它們的面積可能相等嗎？

（2）當(dāng)三角形的面積等于平行四邊形面積的一半時(shí)，是否一定要等底等高？

學(xué)生已有“如果三角形和平行四邊形等底等高，那么三角形的面積是平行四邊形面積的一半”這樣的經(jīng)驗(yàn)，但理解不深，逆向邏輯思維能力不強(qiáng)。而此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生反過(guò)來(lái)思考，在“逆向思考”中討論，當(dāng)他們?cè)谟懻撝忻腿恍盐驎r(shí)，必將留下深刻印象。若在學(xué)生做出正確判斷后，再要求他們舉出實(shí)例加以證明，那么“磋”的效果會(huì)更好。

三、“琢”——全班共學(xué)

《禮記·學(xué)記》曾有“學(xué)然后知不足，教然后知困。知不足，然后能自反也；知困，然后能自強(qiáng)也。故曰教學(xué)相長(zhǎng)也。”說(shuō)明“教”和“學(xué)”是相互促進(jìn)的。而所謂的“琢”，正是“小老師”上講臺(tái)“教”，全班一起“議”的過(guò)程。在“琢”中，“小老師”要把自己所掌握的知識(shí)用語(yǔ)言、圖片、動(dòng)作等形式表達(dá)出來(lái)，可以利用板書(shū)、多媒體、實(shí)驗(yàn)等進(jìn)行輔助，以期達(dá)到在“琢”中“學(xué)”的目的。

1.“教”中“琢”

在“切”“磋”后，有些“沉默一族”明明對(duì)學(xué)習(xí)的內(nèi)容還未理解，但不愿把自己心中的困惑表達(dá)出來(lái)，這時(shí)需要“小老師”的主動(dòng)“琢”?！靶±蠋煛笨梢栽诮M內(nèi)“琢”，也可以上講臺(tái)來(lái)展示“琢”。

案例：

判斷題：（1）3700÷900=37÷9=4……1；（2）42÷12=（42÷2）÷（12÷2）。

學(xué)生很容易判斷第（1）題為正確。根據(jù)商不變的性質(zhì)，得3700÷900=37÷9，而37÷9=4……1是成立的，學(xué)生很容易“遷移”前面的經(jīng)驗(yàn)，得出3700÷900=4……1。在判斷第（2）題時(shí)，學(xué)生又會(huì)遷移第（1）題的思維過(guò)程，先計(jì)算出42÷12=3……6，得（42÷2）÷（12÷2）=42÷12=3……6。這時(shí)“小老師”上來(lái)說(shuō)一說(shuō)，講解其錯(cuò)誤的原因，引導(dǎo)大家檢查自己的思維過(guò)程，再去反思、去批判。當(dāng)學(xué)生“琢”出門道后，就意味著獲得了新知，也完善了其認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

2.“議”中“琢”

在教學(xué)“負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)”時(shí)，學(xué)生經(jīng)常把正數(shù)與負(fù)數(shù)表示“相反意義的量”當(dāng)成“不同意義的量”。為此，在學(xué)生這種思維薄弱處“琢”一“琢”非常有必要。

案例：

“小老師”：如果零上12℃記作+12℃，那么零下5℃記作 ℃。（答：-5。）

“小老師”：若-3表示順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)了3圈，那么逆時(shí)針轉(zhuǎn)7圈應(yīng)記為 圈。（答：+7。）

“小老師”：如果冬冬向西走100m記作+100m，那么-50m表示 。（答：冬冬向東走了50m。）

“小老師”：若爸爸上個(gè)月做生意盈利5000元記作

+5000元，那么爸爸本月借出1000元記為 元。

生1：-1000元。

“小老師”： 錯(cuò)了！不能記為-1000元。（眾生驚訝?。?/p>

“小老師”：你們知道為什么嗎？

生2：因?yàn)橛统鼋璨皇莾蓚€(gè)相反的量。（眾生恍然大悟?。?/p>

“小老師”：那誰(shuí)能改一改，使它能用“+”“-”來(lái)表示？

生3：把“借出1000元”改為“虧損1000元”。

生4：或者把“盈利5000元”改為“收回5000元”。

“小老師”與同學(xué)之間、同學(xué)與同學(xué)之間的相互“琢”，不僅讓學(xué)生學(xué)中有教，教中有學(xué)，互學(xué)互教，相互促進(jìn)，還能使學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、表達(dá)能力、傾聽(tīng)能力、總結(jié)反思能力等都得以提升。

四、“磨”——自我悟?qū)W

“磨”，其核心就是強(qiáng)調(diào)“自我反思”，根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容，“悟”出知識(shí)的本質(zhì)，掌握學(xué)習(xí)的科學(xué)方法，以及形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣?！澳ァ敝塾诮K身學(xué)習(xí)、終身發(fā)展，是學(xué)生不可缺少的學(xué)習(xí)過(guò)程。

1.題組“磨”

學(xué)生在進(jìn)行四則混合運(yùn)算時(shí)，往往急于求成或跟著“運(yùn)算定律”走。這時(shí)，教師就可以讓學(xué)生在“題組”對(duì)比中“磨”。

學(xué)習(xí)單

計(jì)算：（1） + ÷ × ；（2） + ÷3。

第（1）題中的 + 與第（2）中的 + ，它們的和剛好分別等于“1”，這樣，學(xué)生就很容易將思維“遷移”到“簡(jiǎn)便運(yùn)算”中，先算加法，造成錯(cuò)解。

在解決問(wèn)題的過(guò)程中，除了解決單個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題外，有時(shí)還要連續(xù)解決幾個(gè)前后有聯(lián)系的問(wèn)題，探索題組之間存在的聯(lián)系、區(qū)別及規(guī)律，學(xué)生在經(jīng)歷這樣的題組后若“悟”到了其中的奧秘，不僅可以強(qiáng)化運(yùn)用運(yùn)算法則的規(guī)范性，而且激活了思維的靈活性。

2.反思“磨”

在解方程時(shí)，學(xué)生經(jīng)常會(huì)把除法與乘法“糾纏”在一起，導(dǎo)致對(duì)“等式的基本性質(zhì)”的認(rèn)識(shí)模糊不清，把“等式兩邊同時(shí)加上、減去、乘以或除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外）”中的“相同的數(shù)”固定為數(shù)字，認(rèn)為用字母就不行了。因此，在教學(xué)時(shí)，教師可以針對(duì)學(xué)生這些易錯(cuò)的地方，進(jìn)行反思性“磨”學(xué)。

思考：你剛才為什么出錯(cuò)？

學(xué)生將方程的解代入原方程驗(yàn)算，并檢查其解題過(guò)程中出錯(cuò)的地方，然后反思辨析“等式的基本性質(zhì)”，得出運(yùn)用其性質(zhì)解此類方程時(shí)要“把0.2x看作一個(gè)數(shù)”的結(jié)論。在整個(gè)自我反思性中的“磨”，是學(xué)生掌握知識(shí)、形成技能、發(fā)展智力的有效手段。

【證其果】

“如切如磋者，道學(xué)也；如琢如磨者，自修也?！?/p>

——《禮記·大學(xué)》

“切”要求教師對(duì)教學(xué)之初的學(xué)情要加以分析，對(duì)教學(xué)初始情境進(jìn)行思考，就如同要對(duì)山野頑石進(jìn)行切割一樣?！按琛币蠼處煂ⅰ扒小毕聛?lái)的學(xué)習(xí)任務(wù)和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)可以為課堂教學(xué)所利用的學(xué)習(xí)單、案例、活動(dòng)內(nèi)容等?！白痢币蠼處焽@教學(xué)目標(biāo)和活動(dòng)意圖，對(duì)學(xué)習(xí)的內(nèi)容加以深度開(kāi)發(fā)，為課堂所用?！澳ァ眲t要求教師站在為學(xué)生“終身發(fā)展”的高度上，去培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的綜合素質(zhì)。

“切”“磋”“琢”“磨”的教學(xué)策略迫使教師要從學(xué)生可接受的角度去落實(shí)教學(xué)內(nèi)容，將學(xué)生放在主體位置，讓課程、教材和教法適應(yīng)學(xué)生，把教學(xué)的過(guò)程演繹成充滿生命活力、思想激蕩的過(guò)程，把傳授知識(shí)的過(guò)程提升到素質(zhì)形成的過(guò)程，這一過(guò)程自然而然是充滿快樂(lè)的。

（責(zé)編 李琪琦）