基于相關(guān)拓撲勢的社團發(fā)現(xiàn)算法

趙文濤 趙好好 孟令軍

1(河南理工大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 河南 焦作 454000)2(河南省普通高等學(xué)校礦山信息化研究重點實驗室 河南 焦作 454000)

基于相關(guān)拓撲勢的社團發(fā)現(xiàn)算法

趙文濤1,2趙好好1孟令軍1

1(河南理工大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 河南 焦作 454000)2(河南省普通高等學(xué)校礦山信息化研究重點實驗室 河南 焦作 454000)

針對傳統(tǒng)算法社團劃分精度較低以及模塊度函數(shù)分辨率低的問題，提出一種基于相關(guān)拓撲勢的社團發(fā)現(xiàn)算法，簡稱BITP算法。該算法考慮節(jié)點的相關(guān)性因素，引入相關(guān)拓撲勢來衡量節(jié)點的影響力，尋找出其中的極大勢值點，采用標(biāo)簽傳播的思想對社團的規(guī)模進行控制。在人工合成網(wǎng)絡(luò)和真實網(wǎng)絡(luò)上，與多種算法進行實驗對比，結(jié)果表明該算法多次運行結(jié)果相對穩(wěn)定且社團劃分精度較高。算法時間復(fù)雜度為O(n)，且不需要先驗知識，更適合大規(guī)模復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的社團結(jié)構(gòu)挖掘。

社團結(jié)構(gòu) 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò) 相關(guān)拓撲勢 標(biāo)簽傳播

0 引 言

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特性是現(xiàn)實系統(tǒng)中個體之間復(fù)雜關(guān)系的真實表現(xiàn)。大量實證研究結(jié)果表明，真實網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)不僅普遍具有小世界和無標(biāo)度等特性，而且呈現(xiàn)出明顯的社團結(jié)構(gòu)[1-3]。社團結(jié)構(gòu)是指網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點根據(jù)某種共同屬性，子集合內(nèi)部節(jié)點之間的連接相對緊湊，子集合之間節(jié)點之間的連接相對稀疏[2]。

Girvan和Newman最先提出了基于邊界數(shù)的社團發(fā)現(xiàn)算法，稱為GN算法[1]，但算法效率和社團劃分精度較低。隨后，Newman等人又引入模塊度函數(shù)[3]來對社團劃分質(zhì)量進行評價。之后，人們采用多種方法來對模塊度進行優(yōu)化以達到更好的社團劃分效果，例如FASTGREEDY算法[4]、MULTILEVEL算法[5]等。然而近期研究表明，模塊度定義存在分辨率的限制，不適合劃分社團規(guī)模大小不一的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。而真實網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)通常存在異質(zhì)性，社團大小不均勻，模塊度優(yōu)化方法很難保證社團結(jié)構(gòu)挖掘的準確性。另外，其他一些快速算法雖然效率很高，卻是以損失精度為代價，諸如LPA算法[6]、WALKTRAP算法[7]、LEC算法[8]、SPINGLASS算法[9]、INFOMAP算法[10]等。

鑒于模塊度定義存在的缺陷，為了有效揭示網(wǎng)絡(luò)內(nèi)在的社團結(jié)構(gòu)，淦文燕等[11]提出了一種基于拓撲勢的網(wǎng)絡(luò)社團發(fā)現(xiàn)算法，將數(shù)據(jù)場中拓撲勢的概念引入至社團發(fā)現(xiàn)。隨后，張健沛[12]、石立新[13]、張桂杰[14]等人基于拓撲勢并結(jié)合其他方法進行相關(guān)算法的優(yōu)化，驗證其各自算法的有效性。

這些基于拓撲勢的社團發(fā)現(xiàn)算法均是基于傳統(tǒng)拓撲勢函數(shù)，本文提出了一種基于相關(guān)拓撲勢的社團發(fā)現(xiàn)算法(簡稱BITP算法)。在傳統(tǒng)拓撲勢的基礎(chǔ)上，結(jié)合節(jié)點之間的相關(guān)性定義，引入相關(guān)拓撲勢的概念。該方法不需要先驗知識，通過相關(guān)拓撲勢來衡量網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的影響力，采用標(biāo)簽傳播的方法進行社團結(jié)構(gòu)的挖掘，算法相對穩(wěn)定，社團劃分精度較高。

1 相關(guān)概念

1.1 相關(guān)性

文獻[15]中相關(guān)性定義了無向無權(quán)網(wǎng)絡(luò)中用于衡量節(jié)點之間關(guān)系的緊密度，具體定義如下：

(1)

1.2 拓撲勢

物理學(xué)中用場來描述物質(zhì)粒子間的相互作用。物理場是其中的一種，用來描述拓撲場的標(biāo)量勢函數(shù)。勢場分為長程場和短程場。在長程場中，勢值的大小與距離成反比，在距離場源很遠的地方仍然存在著場力的作用(如重力勢場和靜電勢場)。而在短程場中，中心勢場的勢值會隨著距離的增大而急劇下降，相應(yīng)的場力也會很快衰減至零。受物理場思想的啟發(fā)，諸多研究傾向于采用代表短程場且具有良好數(shù)學(xué)性質(zhì)的高斯勢函數(shù)描述節(jié)點間的相互作用。

給定網(wǎng)絡(luò)G=(V,E)，其中，V={1,2,…,n}為節(jié)點的非空有限集。根據(jù)拓撲勢場中勢函數(shù)定義[16]，任意節(jié)點i∈V的拓撲勢可表示為：

(2)

其中，dij表示節(jié)點i與j之間的最短路徑長度；影響因子σ用于控制每個節(jié)點的影響范圍；mi表示節(jié)點i(i=1,2,…,n)的固有屬性(如質(zhì)量等)。

傳統(tǒng)的拓撲勢計算[11-14]中將每個節(jié)點視為均質(zhì)的，拓撲勢TP(TopologicalPotential)計算式可表達為：

(3)

1.3 相關(guān)拓撲勢

節(jié)點的相關(guān)性從網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)的角度出發(fā)，充分考慮節(jié)點之間連邊的數(shù)目對節(jié)點之間關(guān)系的影響。給定網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點之間的相關(guān)性是固定的、不可改變的，故可以將其視為網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的固有屬性。

式(3)中傳統(tǒng)的拓撲勢計算方法忽略了節(jié)點固有屬性對節(jié)點拓撲勢的影響作用，而實際復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中不同節(jié)點對單個節(jié)點影響程度不同，即相關(guān)程度不同。故本文考慮節(jié)點之間的相關(guān)性，提出節(jié)點的相關(guān)拓撲勢函數(shù)，表示方式如下：

(4)

其中，P(i,j)為節(jié)點相關(guān)矩陣P中第i行第j列的元素值，即節(jié)點i與節(jié)點j的相關(guān)性。

勢函數(shù)中影響因子σ用來控制節(jié)點的影響力跳數(shù)，節(jié)點的影響力跳數(shù)定義為：

(5)

考慮節(jié)點的影響力跳數(shù)，節(jié)點的相關(guān)拓撲勢ITP(InterrelatedTopologicalPotential)可由式(6)推出：

(6)

在無向無權(quán)網(wǎng)絡(luò)中(以Karate網(wǎng)絡(luò)為例)，計算所有節(jié)點的TP和ITP指標(biāo)，并畫出其分布，如圖1和圖2所示。網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點ITP指標(biāo)呈局部聚集狀態(tài)，社團的區(qū)分效果要比TP指標(biāo)更加明顯。分別將采用TP指標(biāo)和ITP指標(biāo)的社團發(fā)現(xiàn)算法簡稱為BTP算法和BITP算法，后面將對這兩種算法作對比分析。

圖1 TP指標(biāo)

圖2 ITP指標(biāo)

2 算法描述

本文考慮網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點之間的相關(guān)性，引入節(jié)點的相關(guān)拓撲勢。算法采用貪婪局部搜索的方法搜索網(wǎng)絡(luò)中的局部極大勢值節(jié)點，初始化極大值節(jié)點的標(biāo)簽為各自的節(jié)點標(biāo)號，然后采用標(biāo)簽傳播的方法更新其余節(jié)點的標(biāo)簽。

在傳統(tǒng)的LPA算法[6]中，節(jié)點標(biāo)簽傳播規(guī)則分為兩步：第一步，將節(jié)點i的標(biāo)簽更新為其鄰居節(jié)點中標(biāo)簽數(shù)目最多的標(biāo)簽；第二步，若其鄰居節(jié)點中標(biāo)簽數(shù)目最多的標(biāo)簽有多個時，則隨機選擇其中一個作為節(jié)點i的標(biāo)簽。這樣的隨機操作容易造成算法的不穩(wěn)定，社團劃分結(jié)果不夠準確。因此，本文的標(biāo)簽傳播規(guī)則為：

Step1 將節(jié)點i的標(biāo)簽更新為其鄰居節(jié)點中標(biāo)簽數(shù)目最多的標(biāo)簽；

Step2 若其鄰居節(jié)點中標(biāo)簽數(shù)目最多的標(biāo)簽有多個時，選擇其中相關(guān)拓撲勢最大的作為節(jié)點i的標(biāo)簽。

BITP算法

輸入：無向無權(quán)網(wǎng)絡(luò)G=(V,E)，其中，V={1,2,…,n}。

輸出：局部社團C={C1,C2,…,Ck}，其中k為局部社團數(shù)目。

算法步驟：

(1) 計算所有節(jié)點相關(guān)拓撲勢；

(2) 采用貪婪局部搜索的方法尋找網(wǎng)絡(luò)中的局部極大勢值節(jié)點；

(3) 將這些極值點的標(biāo)簽分別初始化為它們各自的節(jié)點標(biāo)號，網(wǎng)絡(luò)中的其他節(jié)點的標(biāo)簽初始化為0。

(4) 按照上述標(biāo)簽傳播規(guī)則依次對網(wǎng)絡(luò)中其余節(jié)點進行標(biāo)簽更新。

(5) 標(biāo)簽相同的節(jié)點同屬于同一個局部社團，輸出局部社團{C1,C2,…,Ck}。

在BITP算法中，計算節(jié)點的相關(guān)拓撲勢的時間復(fù)雜度為O(2n)，n為網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點數(shù)；貪婪局部搜索極大值的時間復(fù)雜度為O(n)，標(biāo)簽更新的時間復(fù)雜度為O(n)。本文算法總的時間復(fù)雜度為O(2n+n+n)=O(n)。

3 實驗評價標(biāo)準

3.1 模塊度指標(biāo)

模塊度[3]用來比較社團劃分結(jié)果與隨機圖之間的差異。定義如下：

(7)

其中，m為網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的數(shù)目；∑in表示一個社團內(nèi)部的連邊數(shù)目；∑tot表示一個社團內(nèi)部所有節(jié)點度的總和。

3.2NMI指標(biāo)

標(biāo)準化互信息NMI[17](NormalizedMutualInformation)常用來衡量社團劃分結(jié)果與真實社團結(jié)構(gòu)之間的相近程度。定義如下：

(8)

其中，A、B分別為兩個不同的局部社團所代表的向量；I(A,B)是向量A和向量B的互信息；H(A)是向量A的信息熵；H(B)是向量B的信息熵。NMI的取值為[0,1]，NMI值越大說明社團劃分結(jié)果與真實社團結(jié)構(gòu)越相似，越小則反之。

3.3VI指標(biāo)

信息差異VI[18](VariationofInformation)常用來衡量社團劃分結(jié)果與真實社團結(jié)構(gòu)之間的差異。定義如下：

VI=H(A|B)+H(B|A)

(9)

其中，A、B分別為兩個不同的局部社團所代表的向量；H(A|B)是向量A對于向量B的條件熵；H(B|A)是向量B對于向量A的條件熵。VI的取值為[0,log(m)]，m為網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的數(shù)目。VI值越小說明社團劃分結(jié)果與真實社團結(jié)構(gòu)差異越小，越大則反之。

4 實驗結(jié)果與分析

為了驗證BITP算法的準確性與有效性，分別在人工合成網(wǎng)絡(luò)和真實網(wǎng)絡(luò)上與多種算法進行實驗對比。

4.1 人工合成網(wǎng)絡(luò)

實驗采用LFR(Lancichinetti-Fortunato-Radicchi)[19]基準網(wǎng)絡(luò)來生成人工合成網(wǎng)絡(luò)。網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點度和社團大小均符合冪律分布?；旌蠀?shù)μ用來控制局部社團內(nèi)部連接數(shù)與外部連接的比例，取值為[0,1]。其值越小說明內(nèi)部連接比較緊密，社團結(jié)構(gòu)較強；反之，社團結(jié)構(gòu)較弱。本文僅取其值0.1～0.8。根據(jù)μ取值不同對應(yīng)生成8個不同的人工合成網(wǎng)絡(luò)，并分別在這些網(wǎng)絡(luò)上多次運行GN、CNM、LPA、WALKTRAP、LEC、SPINGLASS、INFOMAP、MULTILEVEL、BTP、BITP等十種社團發(fā)現(xiàn)算法。人工合成網(wǎng)絡(luò)具體參數(shù)設(shè)置分別如表1所示。

表1 人工網(wǎng)絡(luò)參數(shù)設(shè)置

為了比較這些算法社團劃分結(jié)果與真實網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)之間差異，分別記錄它們劃分結(jié)果的模塊度指標(biāo)、NMI指標(biāo)和VI指標(biāo)，這些指標(biāo)通過算法運行100次求算術(shù)平均值而來。圖3反映了十種算法在人工網(wǎng)絡(luò)上劃分結(jié)果的各種指標(biāo)隨μ值變化的對比情況。

圖3 十種算法在500節(jié)點網(wǎng)絡(luò)上各種指標(biāo)變化曲線圖

總體上，各種算法的模塊度指標(biāo)隨μ值的增大均有所下降。GN、LPA和INFOMAP三種算法尤為明顯，隨μ值增大，模塊度逐漸趨向于零，說明這些算法運行時不穩(wěn)定，而其他幾種算法相對較穩(wěn)定。NMI指標(biāo)和VI指標(biāo)隨μ值的變化，即社團結(jié)構(gòu)的不明顯，均呈現(xiàn)出一定程度的波動。基于拓撲勢的兩種算法BTP和BITP比其他幾種算法效果好，與真實網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)更為相近。與BTP算法相比，BITP算法的NMI指標(biāo)較高，VI指標(biāo)較低。這是由于BITP算法考慮到真實網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的相關(guān)性信息，劃分出來的社團結(jié)構(gòu)要比BTP算法更加合理，與真實網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)也更為接近，差異也較小。

4.2 真實網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)集

為了進一步驗證本文算法社團劃分的效果，在真實網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)集對其進行測試，以空手道俱樂部網(wǎng)絡(luò)[20]和寬吻海豚網(wǎng)絡(luò)[21]為例。

空手道俱樂部網(wǎng)絡(luò)可表示為G=<34,78>，即網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點數(shù)為34、邊的數(shù)目為78。采用BITP算法對其進行社團結(jié)構(gòu)挖掘，首先計算網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點的相關(guān)拓撲勢，節(jié)點的相關(guān)拓撲勢分布如圖4(a)所示。其中，極大勢值為節(jié)點1和節(jié)點34，分別初始化這兩個節(jié)點的標(biāo)簽為各自的標(biāo)號(即標(biāo)簽分別設(shè)為1和34)。然后按照上述標(biāo)簽傳播規(guī)則更新其余節(jié)點的標(biāo)簽。最終社團劃分結(jié)果如圖4(b)所示。多次運行BITP算法，與真實網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)相比，均只有節(jié)點3被劃分錯誤，準確率為94.4%，模塊度為0.3600。

圖4 空手道俱樂部網(wǎng)絡(luò)社團結(jié)構(gòu)

寬吻海豚網(wǎng)絡(luò)可表示為G=<62,159>，即網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點數(shù)為62、邊的數(shù)目為159。節(jié)點的相關(guān)拓撲勢分布如圖5(a)所示。極大勢值為節(jié)點46和節(jié)點58，分別初始化這兩個節(jié)點的標(biāo)簽為46和58。然后按照上述標(biāo)簽傳播規(guī)則更新其余節(jié)點的標(biāo)簽。最終社團劃分結(jié)果如圖5(b)所示。多次運行BITP算法，與真實網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)相比，均只有節(jié)點28和節(jié)點40被劃分錯誤，準確率為93.8%，模塊度為0.3735。

圖5 寬吻海豚網(wǎng)絡(luò)社團結(jié)構(gòu)

將BITP算法和其他幾種算法在這兩個真實網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)集上進行社團結(jié)構(gòu)挖掘的結(jié)果進行對比分析。表2反映了這幾種算法對應(yīng)的模塊度指標(biāo)、NMI指標(biāo)和VI指標(biāo)。可以看出，本文算法在兩個真實網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)集上的NMI指標(biāo)最高，VI指標(biāo)最低。

表2 幾種算法對應(yīng)的各種指標(biāo)對比

5 結(jié) 語

本文提出了一種基于相關(guān)拓撲勢的社團發(fā)現(xiàn)算法。算法將節(jié)點的相關(guān)性引入到拓撲勢的計算中，并采用標(biāo)簽傳播的方法控制社團規(guī)模。與幾種傳統(tǒng)的社團發(fā)現(xiàn)算法在人工合成網(wǎng)絡(luò)和真實網(wǎng)絡(luò)上進行驗證，結(jié)果表明本文算法相對穩(wěn)定且能夠取得較高的社團劃分精度。整個算法時間復(fù)雜度為O(n)，適合于大規(guī)模復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的社團結(jié)構(gòu)挖掘。針對現(xiàn)有社團結(jié)構(gòu)研究大部分針對無向無權(quán)網(wǎng)絡(luò)，下階段考慮將基于拓撲勢的算法應(yīng)用到加權(quán)網(wǎng)絡(luò)中，并進一步提高算法各方面的性能。

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COMMUNITY DETECTION ALGORITHM BASED ON INTERRELATED TOPOLOGICAL POTENTIAL

Zhao Wentao1,2Zhao Haohao1Meng Lingjun1

1(SchoolofComputerScienceandTechnology,HenanPolytechnicUniversity,Jiaozuo454000,Henan,China)2(KeyLaboratoryofMineInformationResearchatGeneralUniversitiesinHenanProvince,Jiaozuo454000,Henan,China)

Since the traditional methods obtain low precision in division and low resolution in module function, an algorithm of community detection BITP is proposed based on the interrelated topological potential. The algorithm introduces the interrelated topological potential to evaluate the influence of nodes by considering the correlation factor between nodes. The nodes with extreme potential are searched at first. The sizes of the local communities are controlled by adopting the method of label propagation. The experimental results on synthetic and real-world networks show that the proposed algorithm is relatively stable and achieves higher precision. It is more suitable for detecting community structure in large-scaled and complex networks with a time complexity ofO(n)andnopriorknowledge.

Community structure Complex network Interrelated topological potential Label propagation

2015-09-17。河南省科技攻關(guān)計劃項目(142102210435)；河南省高等學(xué)校礦山信息化重點學(xué)科開放實驗室開放基金項目(ky2012-02)。趙文濤，教授，主研領(lǐng)域：數(shù)據(jù)庫，數(shù)據(jù)挖掘，大數(shù)據(jù)。趙好好，碩士生。孟令軍，碩士生。

TP

ADOI:10.3969/j.issn.1000-386x.2017.01.047