配送中心選址的自適應(yīng)Levy分布混合變異魚群算法

費(fèi) 騰 張立毅 孫云山

(天津商業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院 天津 300134) (天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院 天津 300072)

配送中心選址的自適應(yīng)Levy分布混合變異魚群算法

費(fèi) 騰 張立毅*孫云山

(天津商業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院 天津 300134) (天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院 天津 300072)

在建立配送中心選址模型的基礎(chǔ)上，提出一種解決配送中心選址的自適應(yīng)Levy分布混合變異人工魚群算法。該算法將公告板的歷史最優(yōu)魚個(gè)體代替當(dāng)前魚群中最差魚個(gè)體，形成中間魚群。在中間魚群中，對(duì)歷史最優(yōu)魚個(gè)體進(jìn)行混沌變異，其他魚個(gè)體進(jìn)行Levy變異。Levy變異的引入，對(duì)于算法跳出局部最優(yōu)解起到更好的引導(dǎo)作用，保持了魚群的多樣性?；煦缱儺惖囊耄鰪?qiáng)了算法局部搜索的能力，保證了算法后期的收斂速度。通過(guò)算例仿真表明，Levy分布混合變異人工魚群算法比基本魚群算法更能有效解決配送中心選址問(wèn)題，尋找到更低的費(fèi)用成本。

人工魚群算法 Levy分布 混沌 變異 配送中心選址

0 引 言

配送中心的選址作為物流系統(tǒng)的極其重要組成部分，居于重要的樞紐地位，其規(guī)劃的好壞直接關(guān)系到整個(gè)物流系統(tǒng)規(guī)劃的成敗[1-2]。在物流系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)時(shí)，物流配送中心選址常需要得到模型化、數(shù)量化的支持[3]。物流配送中心選址模型主要分為單一配送中心選址模型及多配送中心選址模型兩種。單一配送中心模型求解方法主要包括重心法，交叉中值法，因素分析法及層次分析法等。多配送中心選址模型的求解方法主要包括混合0-1規(guī)劃法、CFLP法、P中值法等。近些年由于智能算法的飛速發(fā)展，且配送中心選址問(wèn)題屬于離散的組合優(yōu)化問(wèn)題, 具有NP性質(zhì)，學(xué)者們開始將智能算法運(yùn)用到物流配送中心選址中。2008年，劉倩[4]用模擬退火算法的迭代得到了配送中心選址模型的最優(yōu)解，通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了模擬退火算法對(duì)于物流系統(tǒng)的優(yōu)化具有一定的實(shí)用價(jià)值。2010年，郝棟梁等[5]在建立配送中心選址數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，利用遺傳算法求解配送中心選址問(wèn)題，并通過(guò)具體算例進(jìn)行驗(yàn)證。同年，許婷等[6]將 GIS 和蟻群算法結(jié)合，在解決最短路徑問(wèn)題上得到了較好的效果，并基于該最短路徑構(gòu)建了選址運(yùn)輸費(fèi)用模型，使選址運(yùn)輸費(fèi)用分析更接近實(shí)際運(yùn)輸環(huán)境。2013年，瞿斌等[7]依照更具有現(xiàn)實(shí)意義的“加工廠—配送中心—用戶”的模式建立物流配送中心連續(xù)型選址模型，并針對(duì)較大規(guī)模的選址問(wèn)題提出改進(jìn)粒子群求解算法。近些年來(lái)，不斷有學(xué)者對(duì)于配送中心選址問(wèn)題的解決提出大量的改進(jìn)算法，但基本都局限于上述提及的粒子群算法、退火算法、遺傳算法及蟻群算法的改進(jìn)上，而極少有魚群算法及其改進(jìn)算法應(yīng)用于配送中心選址問(wèn)題上。

本文是在建立配送中心選址模型的基礎(chǔ)上，提出了一種解決配送中心選址的自適應(yīng)Levy分布混合變異人工魚群算法。該算法將公告板記錄的歷史最優(yōu)魚個(gè)體代替當(dāng)前魚群中最差魚個(gè)體，形成中間魚群。在中間魚群中，對(duì)歷史最優(yōu)魚個(gè)體進(jìn)行混沌變異，其他魚個(gè)體進(jìn)行Levy變異。由于Levy分布具有厚尾特性，使得Levy變異擾動(dòng)作用更將強(qiáng)烈，對(duì)于算法跳出局部最優(yōu)解起到更好的引導(dǎo)作用，保持了魚群的多樣性?；煦缱儺惖囊?，增強(qiáng)了算法局部搜索的能力，保證了算法后期的收斂速度。通過(guò)算例仿真表明，Levy分布混合變異人工魚群算法比基本魚群算法更能有效解決配送中心選址問(wèn)題，尋找到更低的費(fèi)用成本。

1 配送中心選址問(wèn)題

配送中心選址模型所要解決的問(wèn)題是已知有n個(gè)需求點(diǎn)的前提下，要在其中設(shè)定m個(gè)配送中心，使得選定的配送中心與其配送范圍內(nèi)的需求點(diǎn)之間的運(yùn)輸費(fèi)用最小。

為了方便配送中心選址模型的建立，假設(shè)如下：

(1) 配送中心的供應(yīng)量總可以滿足需求點(diǎn)的需求，并由其配送范圍內(nèi)的需求量決定；

(2) 一個(gè)需求點(diǎn)有且僅有一個(gè)配送中心配送；

(3) 只考慮一級(jí)運(yùn)輸情況，即只考慮從配送中心到需求點(diǎn)的費(fèi)用，不考慮從工廠到配送中心的費(fèi)用。

故建立如下模型[8]：

(1)

式(1)為目標(biāo)函數(shù)，其目標(biāo)為從選擇的配送中心到其配送范圍的需求點(diǎn)的運(yùn)輸費(fèi)用最小。其中，Z表示運(yùn)輸費(fèi)用，m表示配送中心的個(gè)數(shù)，n表示需求點(diǎn)的個(gè)數(shù)，Dk表示需求點(diǎn)的需求量，djk表示配送中心j到需求點(diǎn)k的距離。yjk是0-1變量，當(dāng)yjk取值為1時(shí)，表示需求點(diǎn)k由配送中心j配送。

(2)

式(2)確保每個(gè)需求點(diǎn)僅有一個(gè)配送中心配送。J表示配送中心集合，{j|j=1,2,…,m}，K表示需求點(diǎn)集合，{k|k=1,2,…,n}。

(3)

式(3)表示選擇配送的個(gè)數(shù)為P。zj為0-1變量，當(dāng)zj取值為1時(shí)，選擇j為配送中心。P表示選擇配送中心的個(gè)數(shù)：

yjk≤zjj∈Jk∈K

(4)

式(4)確保每個(gè)需求點(diǎn)必然有與之對(duì)應(yīng)的配送中心。

yjk∈{0,1}j∈Jk∈K

(5)

zj∈{0,1}j∈J

(6)

式(5)、式(6)為yjk及zj的定義式。

2 自適應(yīng)Levy分布混合變異魚群算法

2.1 人工魚群算法AFSA

基本魚群算法數(shù)學(xué)模型如下：

用X=(x1,x2,…,xn)來(lái)描述各個(gè)人工魚的位置，用Y=f(x)來(lái)描述當(dāng)前人工魚所在位置的食物濃度，其中xi為尋優(yōu)變量，Y為尋優(yōu)的目標(biāo)。δ表示擁擠度因子；step表示人工魚移動(dòng)的步長(zhǎng)；Trynumber表示人工魚每次覓食最大的試探次數(shù)。

人工魚的當(dāng)前位置為xi，在視野允許范圍內(nèi)隨機(jī)選擇下一個(gè)位置xj，假設(shè)在處理極小值問(wèn)題中Yi>Yj，則向xj方向前進(jìn)一步，否則重新隨機(jī)選擇xj，再次判斷是否滿足前進(jìn)條件[9]。若反復(fù)次數(shù)達(dá)到嘗試次數(shù)Try_number時(shí)，隨機(jī)游動(dòng)一步。

(7)

式中，rand()為(0,1)的隨機(jī)數(shù)。

(2) 聚群行為

人工魚當(dāng)前位置為xi，其食物濃度為Yi，在其視野允許的范圍內(nèi)的伙伴數(shù)量為nf，若Yc/nf>δYi，表示伙伴中心位置Xc的食物濃度較高，且周圍處在不擁擠狀態(tài)，則人工魚向中心位置Xc前進(jìn)一步，否則執(zhí)行覓食行為[10]。

(8)

(3) 追尾行為

人工魚的當(dāng)前位置為xi，其食物濃度為Yi，在其視野允許范圍內(nèi)能夠?qū)ふ业降氖澄餄舛茸罡邥r(shí)的人工魚位置為xmax，若Ymax/nf>δYi，表示處于xmax位置的人工魚具有較高的食物濃度，且周圍不擁擠，可以向xmax位置前進(jìn)一步，否則執(zhí)行覓食行為。

(9)

2.2 自適應(yīng)Levy分布混合變異魚群算法ALMM-AFSA

自適應(yīng)Levy分布混合變異人工魚群算法主要用于克服在基本魚群算法后期，大部分人工魚個(gè)體容易聚集在局部最優(yōu)附近而非在全局最優(yōu)附近聚集，或者人工魚個(gè)體漫無(wú)目的的隨意游走，使得整個(gè)基本魚群算法全局搜索受限，陷入局部最優(yōu)，嚴(yán)重影響到算法的搜索精度、收斂速度及穩(wěn)定性等方面[11]。自適應(yīng)Levy分布混合變異人工魚群算法改進(jìn)的核心思想是當(dāng)基本人工魚群算法在非全局最優(yōu)嚴(yán)重聚集時(shí)，用公告板上的記錄的歷史最優(yōu)魚個(gè)體替代當(dāng)前狀態(tài)下的最差魚個(gè)體，形成中間魚群。對(duì)中間魚群中的歷史最優(yōu)魚個(gè)體采取混沌變異，其他魚個(gè)體采取Levy變異。采取混沌變異的作用是使得改進(jìn)算法在跳出局部最優(yōu)的束縛的同時(shí)增強(qiáng)局部搜索的能力。對(duì)其他魚個(gè)體采取Levy變異的作用是增加人工魚的多樣性，提高全局搜索的能力，引導(dǎo)人工魚向歷史最優(yōu)魚的方向移動(dòng)，從而使基本魚群算法在搜索精度、收斂速度及穩(wěn)定性等方面的能力得到增強(qiáng)。

(1)Levy分布

按比例分配是在實(shí)際生活中經(jīng)常碰到的問(wèn)題，它的數(shù)學(xué)意義就是應(yīng)用比把一個(gè)數(shù)量按照一定的比例來(lái)進(jìn)行分配，在教學(xué)中可以結(jié)合實(shí)際創(chuàng)設(shè)合適的情境，通過(guò)一些生產(chǎn)、生活中的實(shí)例來(lái)呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容，既能吸引學(xué)生，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又能讓學(xué)生體驗(yàn)按比例分配的數(shù)學(xué)意義，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活而又服務(wù)于生活的辯證思想。

在19世紀(jì)30年代Levy[12]提出Levy分布，式(10)為其概率密度函數(shù)。

(10)

其中，α，γ為L(zhǎng)evy分布的兩個(gè)特征參數(shù)。0<α≤2，γ>0。α用來(lái)控制分布圖形的銳度，γ用來(lái)控制分布的尺度單位。當(dāng)α=2時(shí)，Levy分布等同于高斯分布，當(dāng)α=1時(shí)，Levy分布等同于柯西分布[13]。對(duì)于一般的α取值，通過(guò)Levy分布的概率密度函數(shù)分析起來(lái)比較困難，所以利用數(shù)值模擬算法來(lái)產(chǎn)生Levy分布隨機(jī)數(shù)[14]。

假設(shè)產(chǎn)生兩個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量x、y，其標(biāo)準(zhǔn)差分別為σx、σy。σx和σy取決于參數(shù)α，且相互影響。因此，令σy=1，則σx只受參數(shù)α的影響。如下產(chǎn)生變量v：

(11)

變量w通過(guò)如下非線性變換用以服從Levy分布：

(12)

為了獲得尺度單位因子γ不為1的Levy分布，做如下線性變換：

(13)

其中，σx、K(α)以及C(α)的值可以通過(guò)文獻(xiàn)[15]查表得到。根據(jù)上述步驟得到的分布能夠快速準(zhǔn)確地收斂于Levy分布。

(2) 傳統(tǒng)變異

(14)

(15)

(16)

(17)

其中，j=1,2,…,m，N(0,1)用于產(chǎn)生個(gè)體的高斯分布隨機(jī)數(shù)，Nj(0,1)用于產(chǎn)生每個(gè)分量的新的高斯分布隨機(jī)數(shù)。文獻(xiàn)[16]給出了參數(shù)τ和τ′的定義，即：

(18)

(19)

(3)Levy變異

在傳統(tǒng)變異中，式(16)中δj(t)選取不同分布的隨機(jī)數(shù)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生不同的變異算子。

當(dāng)δj(t)為L(zhǎng)evy分布隨機(jī)數(shù)時(shí)，式(16)演變?yōu)長(zhǎng)evy變異算子，即：

(20)

其中，Lj(t)為服從Levy分布的隨機(jī)數(shù)。

(4) 混沌變異

與Levy分布類似，當(dāng)δj(t)為混沌隨機(jī)序列產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)時(shí)，式(16)演變?yōu)榛煦缱儺愃阕?，即?/p>

(21)

其中，Hj(t)為在[-2,2]區(qū)間按照混沌規(guī)律變化的序列產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)[17]?；煦缧蛄幸话悴捎靡痪SLogistic映射：

Zk+1=μZk[1-Zk]Zk∈[0,1]

(22)

式中，μ為控制參數(shù)，取值為[3.56,4]；當(dāng)μ=4、0≤Zk(0)≤1時(shí)，Logistics映射完全處于混沌狀態(tài)[18]，歷遍性最強(qiáng)。Hj(t)為通過(guò)Zk放大平移后得到。

3 求解流程

步驟1 進(jìn)行魚群初始化。設(shè)置人工魚群的規(guī)模、初始位置設(shè)置、視野、步長(zhǎng)、擁擠度、試探次數(shù)、最大迭代次數(shù)、Levy變異的特征參數(shù)及混沌變異的控制參數(shù)等，產(chǎn)生初始魚群。讀取需求點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算各個(gè)需求點(diǎn)之間的距離。設(shè)置選擇的配送中心的個(gè)數(shù)。

步驟2 進(jìn)行公告板初始化。計(jì)算各個(gè)初始人工魚個(gè)體當(dāng)前的狀態(tài)值，利用公告板將最優(yōu)的費(fèi)用值記錄下來(lái)，進(jìn)行公告板初始化。

步驟3 進(jìn)行魚群行為選擇。各個(gè)人工魚分別進(jìn)行追尾行為和聚群行為，評(píng)價(jià)兩種行為后的值，選擇值較小的行為作為實(shí)際執(zhí)行的行為，缺省行為是覓食行為[19]。

步驟4 進(jìn)行公告板更新。一次迭代以后，若魚群中的最優(yōu)魚的費(fèi)用值大于公告板所記錄的費(fèi)用值，進(jìn)行公告板的更新替代。

步驟5 判斷是否變異。如果公告板上記錄的最優(yōu)費(fèi)用值在連續(xù)多次迭代執(zhí)行后仍沒(méi)有改變，且連續(xù)的次數(shù)達(dá)到未改變次數(shù)的最大時(shí)，執(zhí)行步驟6；否則執(zhí)行步驟7。

步驟6 進(jìn)行變異操作。人工魚群體中的最差費(fèi)用個(gè)體被公告板上記錄的最優(yōu)費(fèi)用個(gè)體代替，形成一個(gè)父代中間種群。在中間魚群對(duì)歷史最優(yōu)魚進(jìn)行混沌變異，其他魚進(jìn)行Levy變異。計(jì)算最優(yōu)費(fèi)用值與公告板比較，若優(yōu)，表明變異成功，更新公告板，同時(shí)設(shè)置公告板未改變次數(shù)為0，執(zhí)行步驟7；否則，重新變異，若達(dá)到最大變異次數(shù)時(shí)仍不成功就采用最后一次的變異，執(zhí)行步驟7。

步驟7 記錄最小費(fèi)用及各個(gè)配送點(diǎn)的配送范圍。

步驟8 判斷是否算法終止。判斷是否已達(dá)到最大迭代次數(shù)，若不滿足，執(zhí)行步驟3，否則執(zhí)行步驟9。

步驟9 算法終止，輸出最小費(fèi)用值及配送方案。

4 算例仿真

假設(shè)有28個(gè)需求點(diǎn)，從其中選出6個(gè)作為配送中心。每個(gè)需求點(diǎn)的坐標(biāo)及需求量如表1所示。設(shè)置人工魚個(gè)數(shù)為100，嘗試次數(shù)為100，人工魚的視野為100，擁擠度因子為0.618，人工魚移動(dòng)的最大步長(zhǎng)為9，Levy分布的特征參數(shù)α為0.8，尺度因子γ為2，混沌變異的控制參數(shù)為4，最大迭代次數(shù)為30。

表1 需求點(diǎn)坐標(biāo)及需求量

表2為利用AFSA解決配送中心選址問(wèn)題的10次運(yùn)行結(jié)果，表3為利用ALMM-AFSA解決配送中心選址問(wèn)題的10次運(yùn)行結(jié)果。表4為AFSA選擇配送中心及配送的具體方案。表5為ALMM-AFSA選擇配送中心及配送的具體方案。表6為AFSA與ALMM-AFSA在配送中心選址分配問(wèn)題上的性能對(duì)比表。

表2 采用AFSA所得實(shí)驗(yàn)結(jié)果

表3 采用ALMM-AFSA所得實(shí)驗(yàn)結(jié)果

表4 AFSA選址方案

表5 ALMM-AFSA選址方案

表6 性能對(duì)比表

圖1為AFSA選址方案圖，圖2為ALMM-AFSA尋址方案圖，圖3為AFSA與ALMM-AFSA尋優(yōu)曲線對(duì)比圖。

圖1 AFSA尋址方案

圖2 ALMM-AFSA尋址方案

圖3 尋優(yōu)曲線對(duì)比圖

算例仿真表明，在費(fèi)用方面，AFSA的最小費(fèi)用為6783，ALMM-AFSA的最小費(fèi)用為6334，最小費(fèi)用節(jié)省了6.65%。AFSA的平均費(fèi)用為7068.5，ALMM-AFSA的平均費(fèi)用為6458，平均費(fèi)用節(jié)省8.64%。由此可以看出，ALMM-AFSA在求解配送中心選址問(wèn)題中能夠?qū)ふ业礁偷馁M(fèi)用，提高費(fèi)用利用率。在終結(jié)代數(shù)方面，AFSA的平均終結(jié)代數(shù)為21.2，ALMM-AFSA的平均收斂代數(shù)為9.1。由此可見，ALMM-AFSA具有更好的收斂速度。在標(biāo)準(zhǔn)差及差的平均值方面，AFSA的標(biāo)準(zhǔn)差及差的平均值為334.74和285.5，ALMM-AFSA的標(biāo)準(zhǔn)差及差的平均值為95.28和123.9。由此可見，ALMM-AFSA在解決配送中心選址問(wèn)題上穩(wěn)定性更好。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文提出了一種新的解決配送中心選址的算法——自適應(yīng)Levy分布混合變異人工魚群算法。該算法在基本魚群算法陷入局部最優(yōu)時(shí)引入Levy變異和混沌變異，通過(guò)變異來(lái)增加魚群跳出局部最優(yōu)的能力，增加魚群的多樣性，從而達(dá)到全局尋優(yōu)的目的。通過(guò)實(shí)驗(yàn)仿真表明，該算法相比于基本魚群算法更適合求解配送中心選址問(wèn)題。但是，由于配送中心模型建立基本處在理想情況下，因此，對(duì)于更適合實(shí)際環(huán)境的配送中心模型的建立是今后進(jìn)一步研究的方向。除此之外，由于對(duì)于魚群算法的改進(jìn)研究仍處在初期階段，因此，對(duì)于改進(jìn)魚群算法的研究是今后研究的另一個(gè)方向。

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RESEARCH ON MIXED MUTATION ARTIFICIAL FISH SWARM ALGORITHM BASED ON ADAPTIVE LEVY DISTRIBUTION OF THE DISTRIBUTION CENTER LOCATION

Fei Teng Zhang Liyi*Sun Yunshan

(SchoolofInformationEngineering,TianjinUniversityofCommerce,Tianjin300134China) (SchoolofElectronicInformationEngineering,TianjinUniversity,Tianjin300072,China)

Based on the establishment of distribution center location model, the adaptive Levy distribution mixed mutation artificial fish swarm algorithm for solving distribution center location is proposed. In the improved algorithm, the worst individual of the current fish is replaced by the best individual fish of bulletin board toformat theintermediate fish swarm. In the middle swarm, the best individual fish is to carry out the chaotic variation, and the other fish individuals is to carry out Levy variation. The introduction of Levy mutation plays a better role in guiding the algorithm out of local optimal solution, and increases the diversity of fish.Besides,the introduction of chaos mutation enhances the local search ability of the algorithm and guarantees the convergence rate of the algorithm. The simulation results show that the adaptive Levy distribution mixed mutation artificial fish swarm algorithm are more effectively than artificial fish swarm algorithm to solve the distribution center location problem and find the lower cost.

Artificial fish swarm algorithm Levy distribution Chaos Mutation Distribution center location

2015-10-29。國(guó)家軟科學(xué)研究計(jì)劃項(xiàng)目(2014GXS4D089)；天津市高等學(xué)?？萍及l(fā)展基金計(jì)劃項(xiàng)目(20110709)；天津市科技特派員項(xiàng)目(15JCTPJC63000)；中國(guó)物流學(xué)會(huì)項(xiàng)目(2014CSLKT3-16)。費(fèi)騰，實(shí)驗(yàn)師，主研領(lǐng)域：智能計(jì)算。張立毅，教授。孫云山，副教授。

TP391.1

A

10.3969/j.issn.1000-386x.2017.01.046