基于CMA-ES優(yōu)化方法的波紋喇叭優(yōu)化技術

孟則宇，杜 彪,2，解 磊

(1.中國電子科技集團公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081；2.射電天文技術聯(lián)合實驗室，河北 石家莊 050081)

基于CMA-ES優(yōu)化方法的波紋喇叭優(yōu)化技術

孟則宇1，杜 彪1,2，解 磊1

(1.中國電子科技集團公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081；2.射電天文技術聯(lián)合實驗室，河北 石家莊 050081)

介紹了旋轉(zhuǎn)體時域有限差分法(BOR-FDTD)，導出了電磁場迭代計算公式。給出了自適應協(xié)方差矩陣進化策略(CMA-ES)的基本原理和步驟。提出了一種基于BOR-FDTD和CMA-ES的波紋喇叭優(yōu)化設計技術，并將該項技術用于平方公里陣(Square Kilometre Array，SKA)望遠鏡天線Band 4(2.8～5.18 GHz)波紋喇叭饋源的優(yōu)化設計。計算結(jié)果表明，該饋源在工作頻帶內(nèi)反射損耗基本在-20 dB以下，天線口徑效率均優(yōu)于86.5%，且口徑效率隨頻率的變化較小。

SKA；反射面天線;波紋喇叭；BOR-FDTD；CMA-ES

0 引言

作為一種快速高效的數(shù)值方法，模式匹配法[1]已廣泛應用于波紋喇叭[2]的分析和設計。然而大張角波紋喇叭的空間場和內(nèi)場之間存在較強的耦合效應，采用此方法分析會引入較大的誤差。常規(guī)的三維全波分析方法(矩量法、有限元法和時域有限差分法等)能夠較為精確地分析大張角波紋喇叭的性能，但其計算量大，分析時間較長，難于進行優(yōu)化設計。針對以上問題，本文采用BOR-FDTD方法[3]對大張角波紋喇叭的性能進行了快速、高效和精確地分析，導出了電場和磁場的迭代計算公式。

CMA-ES是一種新型高效的全局優(yōu)化算法，其已經(jīng)在微帶貼片天線[11]、便攜式陶瓷諧振器天線[5]和平面超寬帶天線等[6]的優(yōu)化設計獲得了應用，然而其在波紋喇叭優(yōu)化設計問題中的應用尚無人探討。基于BOR-FDTD分析方法和CMA-ES優(yōu)化方法，本文研究了波紋喇叭的快速優(yōu)化設計技術，并應用于SKA天線[7]的 Band 4 波紋喇叭饋源的優(yōu)化設計。仿真結(jié)果表明，該饋源在工作頻帶內(nèi)反射損耗基本小于-20 dB，天線口徑效率均優(yōu)于86.5%，且在工作頻帶內(nèi)天線口徑效率變化較小。

1 算法基本原理

1.1 BOR-FDTD 的基本原理

波紋喇叭在結(jié)構上具有旋轉(zhuǎn)對稱性，因此可以采用BOR-FDTD對其性能進行精確和高效的分析[8]。BOR-FDTD通過把電場和磁場進行傅里葉展開，利用時域有限差分法的基本原理求解波動方程，將計算區(qū)域從三維空間轉(zhuǎn)換到一個二維的旋轉(zhuǎn)對稱面上，可以極大地節(jié)省計算資源和計算時間。

利用待分析結(jié)構在φ方向上的旋轉(zhuǎn)對稱性，將電場和磁場進行傅里葉展開：

(1)

(2)

(3)

(4)

進一步將式(3)和式(4)中的微分形式使用差分形式代替，可以得到差分形式的BOR-FDTD迭代公式。ρ方向的電場和磁場的迭代公式為：

(5)

(6)

式中，(i,j)為剖分網(wǎng)格的空間坐標，上標中的n代表時間步。同理可得φ和z方向上的電磁場迭代公式。

在波紋喇叭的分析中，端口采用主模TE11模式電場進行激勵[9]，利用PML吸收邊界模擬無限空間的電磁場傳播，經(jīng)過迭代計算得到計算區(qū)域每個網(wǎng)格的電磁場分量的數(shù)值，繼而由近遠場變換得到波紋喇叭的輻射方向圖[10]。

1.2 CMA-ES的基本原理

CMA-ES算法[11]與一般進化算法相比其特點為：采用協(xié)方差矩陣自適應地調(diào)整種群的分布，然后通過種群的分布情況利用多變量正態(tài)分布采點來產(chǎn)生算法種群，并且還引入了進化路徑累積的概念。下面對其基本原理和步驟進行簡要介紹。

1.2.1 參數(shù)初始化

在優(yōu)化開始前，首先需要設置種群的相關參數(shù)：均值m(0)，全局步長σ(0)，協(xié)方差矩陣C(0)，子代個體數(shù)λ，父代個體數(shù)μ，進化路徑Pσ(0)和Pc(0)，最大迭代次數(shù)，以及算法的一些自適應參數(shù)。

1.2.2 種群采樣

采樣公式如下：

xk(g+1)=m(g)+σk(g)Nk(0,C(g))=

m(g)+σk(g)B(g)D(g)Nk(0,I)

(k=1,2,3,...,λ),

(7)

1.2.3 種群的評價與選擇

算法通過對個體的適應度函數(shù)值進行評估，進行(μ,λ)截斷選擇，組成當前最優(yōu)子群。

1.2.4 均值移動

當前的最優(yōu)子群通過加權重組得到新的分布均值。

(8)

式中,xi:λ(g+1)為g+1代中排名在第i位的個體。

1.2.5 協(xié)方差矩陣自適應

先對協(xié)方差矩陣進化路徑Pc更新：

m(g))/σ(g),

(9)

協(xié)方差矩陣C的調(diào)整公式如下：

C(g+1)=(1-c1-cμ)C(g)+c1(Pc(g+1)Pc(g+1)T+

(10)

式中，cc為Pc的更新學習速率，hσ為Heaviside函數(shù)，用于控制||Pc||的過大增長，μeff為方差有效選擇質(zhì)量，且1≤μeff≤μ，c1和cμ分別為C的“秩1”和“秩μ”的更新學習速率。

1.2.6 步長控制

步長控制也稱為累積步長自適應調(diào)整，首先對步長進化路徑Pσ的更新如下：

(11)

步長σ的更新公式為：

(12)

式中，cσ為Pσ的更新學習率，dσ為接近于1的阻尼系數(shù)，E(||N(0,I)||)為歸一化進化路徑在隨機選擇下的期望長度。

在CMA-ES算法中以上步驟循環(huán)往復，引導種群收斂于全局最優(yōu)解。

2 基于BOR-FDTD和CMA-ES的波紋喇叭優(yōu)化設計

2.1 優(yōu)化設計流程

圖1給出了基于BOR-FDTD和CMA-ES的波紋喇叭優(yōu)化設計流程。首先對BOR-FDTD和CMA-ES進行參數(shù)初始化，定義結(jié)構變量，確定初始值。使用BOR-FDTD對建立的模型進行分析，得到照射電平、等化誤差、交叉極化電平和反射損耗等性能參數(shù)，進而得到目標函數(shù)值。再利用CMA-ES對目標函數(shù)進行優(yōu)化，直到滿足指標要求為止。

圖1 分析優(yōu)化設計流程圖

2.2 波紋喇叭的優(yōu)化模型

以SKA天線的band 4饋源為優(yōu)化實例，其性能要求為：工作頻帶為2.8～ 5.18 GHz，照射角為60°，邊緣照射電平控制在-12～ -17 dB，峰值交叉極化電平小于-20 dB，反射損耗小于-20 dB。

圖2為波紋喇叭結(jié)構示意圖，在此模型的設計中主要分為3部分結(jié)構：① 圓波導開口處的臺階結(jié)構，用于減少反射損耗，設置每個臺階長度為b(i)，高度為v(i)；② 4個環(huán)加載形式的徑向槽結(jié)構，每個槽設置槽深為d(i)，槽寬為w(i)；③ 在圓波導最外層的軸向槽結(jié)構用于減少漏失損耗，其寬度為h，深度為a。在優(yōu)化中將這些結(jié)構的尺寸作為優(yōu)化的參數(shù)，通過分析和優(yōu)化程序確定結(jié)構的尺寸，以最終滿足所預期的優(yōu)化目標。

圖2 波紋喇叭結(jié)構

波紋喇叭的設計目標是通過對其結(jié)構參數(shù)進行優(yōu)化設計，盡可能地提高天線效率ηf，然而若要精確計算SKA天線的效率費時費力，因此本文采用文獻[12]中給出的饋源效率因子計算公式來估算SKA天線的效率：

(13)

式中，ψ0為照射角，co(ψ)和xp(ψ)分別為波紋喇叭的45°面主極化和交叉極化輻射方向圖。

在優(yōu)化天線效率的同時要保證饋源工作頻帶內(nèi)反射系數(shù)低于RLmax，照射角內(nèi)峰值交叉極化電平(相對主極化最大值歸一)小于XPLmax。設M為工作頻帶內(nèi)頻率采樣點數(shù)，XPLm和RLm為第m個頻點的峰值交叉極化和端口反射系數(shù)，則該問題可以抽象為以下目標函數(shù)的最小化問題：

f=1-ηf，

(14)

同時，應滿足以下約束條件：

(15)

(16)

式中，RLmax和XPLmax均為-20 dB。采用精確罰函數(shù)法將原問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題，從而該優(yōu)化問題的目標函數(shù)為：

(17)

式中，M為一個處理約束的大數(shù)，從而保證不滿足約束的解的目標函數(shù)值一定大于滿足約束的解。

3 優(yōu)化設計結(jié)果

最終優(yōu)化得到的波紋喇叭開口處采用3個臺階結(jié)構，波紋槽數(shù)量為4個。如圖2所示，其長度L相當于2.8 GHz時波長的1.16倍，開口直徑D相當于2.64λ，優(yōu)化出的饋源結(jié)構緊湊。

圖3給出了優(yōu)化后的波紋喇叭在60°照射角內(nèi)的方向圖，可見喇叭輻射方向圖等化較好，交叉極化電平也能滿足指標要求。

圖4為2.8～5.18GHz頻帶內(nèi)的反射損耗，在2.8GHz時反射損耗為18.3dB，在大部分工作頻帶內(nèi)反射損耗小于-20dB。

將優(yōu)化后的饋源帶入到SKA賦形雙偏置格里高利天線[13]中計算出的口徑效率如圖5所示。可見工作頻帶內(nèi)天線口徑效率均大于86.5%，并且在工作頻帶內(nèi)天線效率波動較小，滿足設計要求。

圖3 60°照射角內(nèi)方向圖

圖4 工作頻帶內(nèi)反射損耗

圖5 工作頻帶內(nèi)天線口徑效率

4 結(jié)束語

基于BOR-FDTD和CMA-ES提出了一種波紋喇叭優(yōu)化設計技術，并成功應用于SKABand4 饋源的優(yōu)化設計。優(yōu)化結(jié)果表明，在工作頻帶內(nèi)反射損耗基本小于-20dB，天線口徑效率均優(yōu)于86.5%，并且口徑效率曲線波動較小。證明了該優(yōu)化設計方法的正確性和有效性。本文所提出的優(yōu)化設計技術可廣泛用于其他旋轉(zhuǎn)對稱結(jié)構饋源喇叭的優(yōu)化設計。

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Design and Optimization of Corrugated Horn Based on CMA-ES

MENG Ze-yu1,DU Biao1,2，XIE Lei1

(1.The 54th Research Institute of CETC,Shijiazhuang Hebei 050081，China；2.Joint Laboratory for Radio Astronomy Technology ,NAOC & CETC54,Shijianzhuang Hebei 050081，China)

Body-of-revolution finite-difference time-domain (BOR-FDTD) algorithm is presented,and the formula for iterative computation of electromagnetic field is obtained.The principle and procedures of covariance matrix adaptation evolution strategy (CMA-ES) is introduced to optimize the structure parameters of the corrugated horn.An optimization method of corrugated horn based on BOR-FDTD and CMA-ES is proposed and is applied to the design of Band 4 feed for the SKA Dish.Optimization results show that the reflection loss is less than -20 dB over the operating frequency range,the aperture efficiency is better than 86.5%,and the efficiency variation with the frequency is small.

SKA;Dish;corrugated horn;BOR-FDTD;CMA-ES

10.3969/j.issn.1003-3114.2017.01.17

孟則宇,杜 彪,解 磊.基于CMA-ES優(yōu)化方法的波紋喇叭優(yōu)化技術[J].無線電通信技術，2017，43(1):68-72.

2016-09-23

國家重點基礎研究發(fā)展計劃項目(2013CB837902)；國家高技術研究發(fā)展計劃(863計劃)項目(SS2014AA122001)；國家自然科學基金項目(11261140641)

孟則宇(1992—)，男，碩士研究生，主要研究方向：電磁場與微波技術。杜 彪(1962—)，男，博士，研究員，現(xiàn)任中國電子科技集團公司第五十四研究所首席專家、所副總工程師，主要研究方向：射電望遠鏡天線、衛(wèi)星通信地球站天線、微波天線、饋源系統(tǒng)和陣列天線等。

TN820

A

1003-3114(2017)01-68-5