瓦特型六桿機構(gòu)的簡化函數(shù)綜合法

孫永國　冀文雨　張庭　杜明偉　紀(jì)培國　王磊

摘要：針對瓦特型六桿機構(gòu)優(yōu)化困難的問題，基于六桿機構(gòu)簡化函數(shù)綜合原理，采用層疊目標(biāo)優(yōu)化算法，對瓦特型六桿機構(gòu)進行分析，建立數(shù)學(xué)模型，給出了優(yōu)化算法流程，并進行了實例計算、仿真分析，結(jié)果表明層疊優(yōu)化算法適用于求解瓦特型六桿機構(gòu)，將六桿機構(gòu)拆為四桿機構(gòu)和二桿機構(gòu)這種方法是可行的，仿真數(shù)據(jù)表明誤差控制在很0.4mm的范圍內(nèi)，證實了該方法正確有效，為研究對六桿機構(gòu)綜合提供了新的思路和方法。

關(guān)鍵詞：瓦特型六桿機構(gòu)；簡化函數(shù)綜合；四桿機構(gòu)；二桿機構(gòu)；層疊優(yōu)化算法

DOI：10.15938/j.jhust.2016.06.006

中圖分類號：THll2

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1007-2683（2016）06-0028-07

0.引言

瓦特型六桿機構(gòu)是平面六桿機構(gòu)的一個大類，在工程中具有重大的應(yīng)用價值.應(yīng)用瓦特型六桿機構(gòu)的游梁式抽油機，輸出桿的擺角是原抽油機的4倍，使抽油機沖程大為增加，提高了其性能，由于平面六桿機構(gòu)較四桿機構(gòu)可實現(xiàn)更多的精確點，從而更好的滿足實際設(shè)計的需要.國內(nèi)外許多學(xué)者對平面六桿機構(gòu)函數(shù)綜合做了大量研究。

連桿機構(gòu)簡化綜合的核心就是將多個設(shè)計參數(shù)分成少數(shù)的幾組分別進行綜合，借助計算機解算技術(shù)，將機構(gòu)運動綜合問題歸結(jié)為求解多變量約束優(yōu)化問題求解，目前國內(nèi)對六桿機構(gòu)的研究主要涉及的是史蒂芬森型六桿機構(gòu)的研究，而對于瓦特型六桿機構(gòu)的函數(shù)綜合的研究還不是很深入，康利君利用ADMAS仿真得到了瓦特型六連桿機構(gòu)的運動情況，同時應(yīng)用ANYSYS軟件對搖臂構(gòu)件進行了模態(tài)分析。

楊捷將Matlab和數(shù)值解法運用在平面機構(gòu)的設(shè)計及優(yōu)化當(dāng)中，提升了機構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的速度和精確程度，潘敏介紹了四桿機構(gòu)和六桿機構(gòu)在焊裝家具中的應(yīng)用，并簡化了夾具的結(jié)構(gòu)。

陳平詳細的研究了平面連桿機構(gòu)尺度綜合專家系統(tǒng)的主框架、知識庫和推理機，黃康對平面連桿機構(gòu)計算機輔助設(shè)計系統(tǒng)進行了開發(fā)，對常用的平面連桿機構(gòu)進行運動分析及綜合，張建軍將平面六桿機構(gòu)間歇函數(shù)綜合優(yōu)化模型的設(shè)計參數(shù)減少為4個，并建立了平面六桿機構(gòu)間歇函數(shù)綜合的優(yōu)化模型，并將求解問題轉(zhuǎn)化為鞍點規(guī)劃模型，利用BFGS方法和遺傳算法結(jié)合求解。

李景雷文提出的平面六桿雙間歇機構(gòu)近似函數(shù)綜合思想，編制了一套平面六桿雙間歇機構(gòu)近似函數(shù)綜合以及仿真軟件，并進行了實例計算，錢志良以主動曲柄和從動擺桿問的給定運動關(guān)系為基礎(chǔ)，通過引入二自由度五桿機構(gòu)及其連桿鉸接點曲線，提出函數(shù)插值輪換綜合法。

隆飛通過調(diào)節(jié)連桿的位置來實現(xiàn)多函數(shù)的平面六桿瓦特型可調(diào)機構(gòu)及其綜合方法，吳努提出了利用Roberts定理設(shè)計六連桿平動引導(dǎo)機構(gòu)的思路，介紹了幾何解析法確定引導(dǎo)機構(gòu)幾何尺寸的方法，傅偉成提出一種用于內(nèi)燃機的新型曲柄連桿機構(gòu)，建立了該機構(gòu)的運動學(xué)數(shù)學(xué)模型，并編制了計算機程序。

蘇和平分析了安裝角、偏轉(zhuǎn)角、偏距對一種瓦特Ⅱ型機構(gòu)的影響，韓建友給出了Watt-I型六桿機構(gòu)尺寸綜合的一種新方法，該方法對于剛體有限分離問題通過建立機構(gòu)解域，最終能夠得到滿足給定設(shè)計條件的全部可行解，但該方法求解復(fù)雜，計算時間較長。

本文將瓦特型六桿機構(gòu)拆分為四桿機構(gòu)和二桿機構(gòu)，建立數(shù)學(xué)模型，提出層疊目標(biāo)優(yōu)化算法，用于求解給定問運動的平面六桿機構(gòu)綜合問題，最終實現(xiàn)瓦特型六桿機構(gòu)的簡化函數(shù)綜合。

1.瓦特型六桿機構(gòu)綜合模型

1.1瓦特型六桿機構(gòu)的機構(gòu)類型

瓦特型六桿運動鏈?zhǔn)且环N具有相鄰的三副桿的六桿轉(zhuǎn)動副運動鏈，也稱為Watt鏈，Watt型六桿機構(gòu)的基本形式，如圖1示，以不同構(gòu)件作為機架，可以得到兩種watt型六桿機構(gòu)，即Watt-I型和watt-Ⅱ型，如圖2和3所示，限于篇幅，本文針對Watt-I型六桿機構(gòu)進行分析。

1.2瓦特型六桿機構(gòu)坐標(biāo)

標(biāo)定運動副節(jié)點的Watt-I型六桿機構(gòu)，如圖2所示，以G點為坐標(biāo)原點，建立x軸過A點的分析坐標(biāo)系，如圖4所示，其中8個桿的長度分別為l₁，l₂，l₃，l₄，l₄，l₅，l₆，l₇，各桿件的水平夾角分別為α，βy，ε，θ，ξ，η。

1.3瓦特型六桿機構(gòu)簡化模型

為建立瓦特型六桿機構(gòu)簡化函數(shù)模型，將六桿機構(gòu)拆分成一個四桿機構(gòu)和一個二桿機構(gòu)，如圖5（a）、（b）所示。

2.目標(biāo)優(yōu)化層疊算法

目標(biāo)優(yōu)化層疊算法是指針對一個系統(tǒng)問題，需要把系統(tǒng)問題拆分為多個部分求解，首先對第一次部分進行優(yōu)化，以第一部分的優(yōu)化結(jié)果為基礎(chǔ)再對系統(tǒng)問題的第二個部分進行優(yōu)化，以此類推，直到完成系統(tǒng)問題最后部分的優(yōu)化，最后判斷所有部分的優(yōu)化結(jié)果是否滿足系統(tǒng)問題，滿足則優(yōu)化結(jié)束，否則返回第一部分再次優(yōu)化，直到滿足系統(tǒng)問題，如圖6所示：為瓦特型六桿機構(gòu)的優(yōu)化算法流程圖。

步驟1：初定四桿機構(gòu)尺寸，設(shè)定其上、下限，通過E點實際值與計算值的函數(shù)關(guān)系建立目標(biāo)函數(shù)，確定約束條件，優(yōu)化四桿機構(gòu)機構(gòu)尺寸。

步驟2：由于ED桿長不變，D點運動軌跡與E點實際運動軌跡應(yīng)該滿足固定肋，建立目標(biāo)函數(shù)，確定約束條件，優(yōu)化二桿機構(gòu)尺寸。

步驟3：修訂六桿機構(gòu)尺寸，當(dāng)偏差足夠小，完成優(yōu)化，否則重復(fù)上述步驟。

3.計算實例

垂直攪拌器結(jié)構(gòu)，如圖7所示，為一鉸鏈六桿機構(gòu).當(dāng)安裝于攪拌頭（被引導(dǎo)件）7上的手柄H向下運動時，鉸鏈中心D和E的運動軌跡分別為K_n和K_e當(dāng)機構(gòu)尺寸設(shè)計適當(dāng)時，這兩軌跡在攪拌器工作范圍內(nèi)近似直線且相互平行，因此，攪拌頭7作近似直線平動，當(dāng)攪拌頭向下垂直運動到最下端，鉸鏈D、E、F分別到達D、E、F位置.彈簧用于手柄日上撤去外力后使攪拌頭回復(fù)至上端位置.構(gòu)件4為機架，構(gòu)件2和6均為連桿并分別與連桿1鉸接，連桿2還與連桿5鉸接，攪拌頭7分別與構(gòu)件6和8鉸接于點D和E。

垂直攪拌器簡化圖，如圖8所示，其中4、G與地面相連，依據(jù)A、B、c、D、E、F、G對應(yīng)位置關(guān)系以及各桿件之問的相對位置可知，該六桿機構(gòu)可以轉(zhuǎn)化為Watt-I型六桿機構(gòu)。

如圖4所示，為攪拌器轉(zhuǎn)化原理圖.以G點作為坐標(biāo)原點，建立坐標(biāo)系，由于點E、F、B在一個桿件上，桿EFB可以看作一個剛性構(gòu)建，轉(zhuǎn)化為圖4中的陰影三角形EFB，同理桿ABC轉(zhuǎn)化為圖4中的陰影三角形ABC，D點分別與E、C點相連接。

通過實際測量，可以獲得E、D兩點的實際坐標(biāo)值.如表1所示，為E點實際軌跡坐標(biāo)值，如表2所示，為D點實際軌跡坐標(biāo)值。

依據(jù)本文提供的方法，將六桿機構(gòu)拆分為四桿機構(gòu)和二桿機構(gòu)，采用目標(biāo)優(yōu)化層疊算法，首先對四桿機構(gòu)進行優(yōu)化，用Matlab編程，采用Matlab中fmincon函數(shù)。

[x，fval，exitflag，output]=fmincon（fun.X0，b，Aeq，beq，lb，ub）

其中fun為目標(biāo)函數(shù)；XO為初始值，4、b滿足線性不等式約束，Aeq、beq滿足等式約束，lb、ub滿足邊界約束。

將式（11）、（12）、（13）代入fmincon函數(shù)，其中式（11）為目標(biāo)函數(shù)，式（12）、（13）為約束條件。

編寫Matlab程序，并運行.優(yōu)化結(jié)束以后得到四桿機構(gòu)的初始桿長，以此為基礎(chǔ)對二桿機構(gòu)進行優(yōu)化，再次使用fmincon函數(shù)，將式（19）、（21）、（22）、（23）、（24）代入，fmincon函數(shù)中。

其中式（19）為目標(biāo)函數(shù)，式（21）、（22）、（23）、（24）為約束條件。

再次編寫Matlab程序，并運行.優(yōu)化后得到二桿機構(gòu)的桿長，以得到的六桿機構(gòu)的所有桿長為基礎(chǔ)對六桿機構(gòu)進行總體優(yōu)化。

最終優(yōu)化后得到的結(jié)果如表3、表4所示：

4.仿真分析

依據(jù)表3、表4得到的數(shù)據(jù)，運用proe繪制垂直攪拌機平面六桿機構(gòu)并進行裝配，裝配圖如圖10所示。

AG桿與地面固定，在A、B、C、D、E、F、G點處添加轉(zhuǎn)動副，在G點處添加伺服電動機，GF桿為驅(qū)動軸，定義運動周期為3s，對機構(gòu)進行運動學(xué)仿真，在E、D點處添加軌跡曲線，來測量E、D點的運動軌跡，分別測量E點x坐標(biāo)、y坐標(biāo)隨時問的變化曲線，D點x坐標(biāo)、y坐標(biāo)隨時問的變化曲線。

將E、D點的仿真數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)進行對比分析，可以得到圖13和圖14，由圖13、14可知D點仿真軌跡近似成一條直線，與實際軌跡近似平行，同時E點仿真軌跡近似成一條直線，與實際軌跡近似平行，由此可知六桿機構(gòu)肋桿近似作垂直往復(fù)運動，從而實現(xiàn)了垂直攪拌機六桿機構(gòu)的垂直往復(fù)運動。

由圖13、14可知E、D兩點在x軸方向存在擺動，最大擺動誤差為0.15mm.在Y軸方向與實際值變化趨勢一致，近似實現(xiàn)了E、D兩點的軌跡。

將E、D兩點的仿真值和實際值進行對比，建立表格，如表5、表6所示.在表5、表6中，△α（°）為桿1偏轉(zhuǎn)角度，△X和△y分別為D點在X軸和y軸方向的偏移誤差，（X_di，y_di）為D點的實際值，（X_Di，y_Di）為D點的仿真值.同理（X_ei，y_ei）為E點的仿真值，（X_ei，y_ei）為E點的實際值，△X和△y，分別為E點在x軸和y軸方向的偏移誤差。

由表5可知在一個運動周期內(nèi)，D點x軸方向產(chǎn)生的最大誤差為0.15mm，Y軸方向產(chǎn)生的最大誤差為0.30mm，誤差較小，隨著桿1偏轉(zhuǎn)角度的增大，D點的誤差呈增大的趨勢，在行程極限位置處最大。

由表6可知在一個運動周期內(nèi)，E點x軸方向產(chǎn)生的最大誤差為0.15mm，y軸方向產(chǎn)生的最大誤差為0.32mm，誤差較小，隨著桿1偏轉(zhuǎn)角度的增大，E點的誤差呈增大的趨勢，在行程極限位置處最大.由表5、表6可知，E點和D點的誤傳變化趨勢一致。

5.結(jié)論

1）本文提出層疊目標(biāo)優(yōu)化算法求解瓦特型六桿機構(gòu)的函數(shù)綜合算法，通過優(yōu)化結(jié)果和仿真數(shù)據(jù)的對比分析表明，層疊目標(biāo)優(yōu)化算法用于求解六桿機構(gòu)的函數(shù)綜合正確有效。

2）本文提出了將瓦特型六桿機構(gòu)拆分為四桿機構(gòu)和二桿機構(gòu)的方法，首先對四桿機構(gòu)進行優(yōu)化，在此類基礎(chǔ)上優(yōu)化二桿機構(gòu)，最終實現(xiàn)六桿機構(gòu)的優(yōu)化，該方法減少了了優(yōu)化過程中的未知變量，簡化了優(yōu)化過程，可以簡單快速的實現(xiàn)瓦特型六桿機構(gòu)的綜合。

3）實例仿真分析的誤差控制在0.4mm以內(nèi)，近似實現(xiàn)了E、D點的垂直往復(fù)運動，證明本文提出的方法適用于求解瓦特型六桿機構(gòu)優(yōu)化問題，拓寬了瓦特型六桿機構(gòu)函數(shù)綜合法。