鄢文俊
在解析幾何問題的繁難和靈活多變等方面,同學(xué)們通過努力學(xué)習(xí)都可以取得一些良好地突破,但在考試得分上又總是不太理想. 大多數(shù)人總以為是由一些偶然因素——粗心大意造成的,其實是因為一些沒引起注意的誤區(qū)而“必然”形成了這些失誤.
直線的傾斜角與斜率
對直線傾斜角的定義掌握不準確,因忽視斜率不存在的情況而導(dǎo)致誤判或漏解.
例1 直線[x+cosθ?y-1=0]的傾斜角[α]的取值范圍為________.
錯解 [θ∈[π4,π2)]
分析 (1)對直線傾斜角的定義、傾斜角的范圍掌握不準確;(2)遺漏斜率不存在的情況;(3)由斜率范圍推導(dǎo)傾斜角的范圍時出現(xiàn)錯誤.
正解 (1)當(dāng)[cosθ=0]時,[α=π2].
(2)當(dāng)[cosθ≠0]時,[k=-1cosθ].
由[k∈(-∞,-1]?[1,+∞)]得,[α∈[π4,π2)?(π2,3π4]].
綜上所述,傾斜角[α]的取值范圍為[[π4,3π4]].
例2 已知橢圓[C:(x-1)24+y23=1],點[F]為橢圓的右焦點,過原點的直線[l]交橢圓[C]于[A,B]兩點. 探究[FA?FB]是否存在最大值或最小值?若存在,求出最值;若不存在,請說明理由.
錯解 設(shè)[A,B]兩點坐標分別為[(xA,yA),(xB,yB)].
由題意得,橢圓的右準線方程為[x=5].
由橢圓的第二定義得,
[FA=12(5-xA),F(xiàn)B=12(5-xB)].
所以[FA?FB=14[25-5(xA+xB)+xA?xB]].(*)
設(shè)直線[l]的方程為[y=kx],代入橢圓方程消去[y]整理得,[(3+4k2)x2-6x-9=0].
所以[xA+xB=63+4k2,xA?xB=-93+4k2].
代入(*)式得,[FA?FB=14(25-393+4k2)∈[3,254)].
所以[FA?FB]的最小值為3,無最大值.
分析 設(shè)過原點的直線方程時忽視了斜率不存在(即[y]軸)的情況.
正解 (1)當(dāng)[l]的斜率不存在時,即有[FA?FB=254.]
(2)同上述錯解中的步驟.
所以[FA?FB]的最小值為[3],最大值為[254].
點撥 解有關(guān)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題時,往往易遺漏直線斜率不存在的情況. 而這種情況因其位置或方程式的特殊性很容易作答與得分,要優(yōu)先考慮且優(yōu)先作答.
圓的方程
圓的標準方程的“標準性”與一般方程中的“必要條件”容易被忽視.
例3 已知圓[x2+y2+mx+2my+2m2+m-1=0]的圓心在直線[y=4mx+1]上,則[m=] .
錯解 圓[x2+y2+mx+2my+2m2+m-1=0]的圓心坐標為[(-m2,-m)],
由[-m=4m×-m2+1]得,[2m2-m-1=0].
所以[m=-12],或[m=1].
分析 圓的一般方程形式下[D2+E2-4F>0]為其必要條件,否則該方程不能表達為圓.
正解 由[m2+(2m)2-4(2m2+m-1)>0]得,
[-2 又圓[x2+y2+mx+2my+2m2+m-1=0]的圓心[(-m2,-m)]在直線[y=4mx+1]上, 即[-m=4m×-m2+1],即[2m2-m-1=0],于是[m=-12],或[m=1](舍). 故[m=-12]. 點撥 若題中給定的圓是一般方程的形式并且含有參數(shù)時,要留意[D2+E2-4F>0]這一必要條件,或在轉(zhuǎn)化不煩瑣的情況下,先化成標準形式. 例4 已知點[A-3,1,B-4,3],圓[C: x2+y2=m2],當(dāng)圓與線段[AB]沒有公共點時,求[m]的取值范圍. 錯解 將題中的實數(shù)[m]當(dāng)成了圓的半徑,誤認為[m>0]. 分析 在表示圓的標準方程時,雖沒“約定”半徑一定得用字母[r],但用字母[r]卻成了習(xí)慣,若利用其他字母表示時,就要標識其取值范圍了. 正解 設(shè)[f(x,y)=x2+y2-m2],由題意得, [f(-3,1)?f(-4,3)<0],即[4-m225-m2<0]. 所以[m∈-5,-2?2,5]. 點撥 堅守“約定俗成”的表達方式,在表達方式中出現(xiàn)另類模式時,應(yīng)注意可能產(chǎn)生的陷阱:如圓的標準方程中原本是[r2],而改變成了[m2];又如拋物線標準方程[y2=2px]中的“[p]”改寫成“[a]”等. 圓錐曲線問題 注重對橢圓、雙曲線及拋物線定義的理解. 在使用曲線與直線方程聯(lián)立解題時,運算一定要“細致”,同時要巧妙使用韋達定理,并適時利用判別式加以檢驗. 例5 拋物線[y=4x2]的準線方程為( ) A. [x=-1] B. [y=-1] C. [x=-116] D. [y=-116] 錯解 B 分析 把方程錯當(dāng)成標準方程. 正解 D 點撥 二次函數(shù)的圖象為拋物線,在學(xué)習(xí)二次函數(shù)時的側(cè)重點是函數(shù)知識,其解析式為[y=ax2+bx+c][(a≠0)](僅因變量在等式左邊). 而圓錐曲線中的拋物線的標準方程為[y2=2px],或[x2=2py(p>0)](僅二次項在等式左邊). 對拋物線[y2=ax]來說,其焦點坐標為[(a4,0)],準線方程為[x=-a4];對拋物線[x2=ay]來說,其焦點坐標為[(0,a4)],準線方程為[y=-a4].
例6 求經(jīng)過點[(12,2)],且與雙曲線[4x2-y2=1]僅有一個公共點的直線方程.
錯解 (1)當(dāng)[k]不存在時,直線[x=12]滿足題意.
(2)當(dāng)[k]存在時,設(shè)所求的直線方程為[y-2=k(x-12)],代入雙曲線方程[4x2-y2=1]得,[(4-k2)x2-2k(2-12k)x-(14k2-2k+5)=0].
由[Δ=0]得,[k=52]. 故直線方程為[y=52x+34].
綜上所述,所求的直線方程為[x=12],或[y=52x+34].
分析 在錯解的(2)中,利用判別式的前提是要明確方程是一元二次方程,否則會產(chǎn)生漏解.
正解 (1)當(dāng)[k]不存在時,直線[x=12]滿足題意.
(2)當(dāng)[k]存在時,設(shè)所求直線方程為[y-2=k(x-12)],代入雙曲線方程[4x2-y2=1]得,[(4-k2)x2-2k(2-12k)x-(14k2-2k+5)=0].
①當(dāng)[k=2]時,直線方程為[y=-2x+1],與雙曲線只有一個公共點.
②當(dāng)[k=-2]時,直線方程為[y=-2x+3],與雙曲線只有一個公共點.
③當(dāng)直線和雙曲線相切時,由[4-k2≠0,Δ=0]得,[k=52],直線方程為[y=52x+34.]
綜上所述,經(jīng)過點[(12,2)]且與雙曲線[4x2-y2=1]僅有一個公共點的直線方程有四條,它們分別為:[y=-2x+1],[y=-2x+3],[y=52x+34],[x=12].
點撥 錯解中遺漏了的兩條直線[y=-2x+1],[y=-2x+3],實際上是過點[(12,2)]且與該雙曲線的兩條漸近線分別平行的直線. 很顯然,這樣的直線與雙曲線一定只存在一個交點.
例7 已知雙曲線[x2-y22=1],過點[P(1,1)]且被其平分的弦所在直線方程是( )
A. [2x-y-1=0] B. [2x+y-1=0]
C. [2x+y+1=0] D. 不存在
錯解 設(shè)所求弦所在的直線為[l],它與雙曲線交于[A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)]兩點.
因為點[P]為線段[AB]的中點,
于是有[x1+x2=2,y1+y2=2].
則[x12-y122=1, ①x22-y222=1. ②]
①-②,并整理得,[kAB=y2-y1x2-x1=2(x2+x1)(y2+y1)=2. ③]
由點斜式方程得,所求的直線方程為:[y-1=2(x-1)],即[2x-y-1=0],故選A.
分析 錯解中,由①②兩式可推出③式,但由③式不能反推出①②兩式,因此在運算中可能會出現(xiàn)不等價. 事實上,命題涉及的范圍有被放大的可能,故應(yīng)對所求直線進行相關(guān)檢驗,采取必要的補救措施.
正解 同錯解中的步驟. 再由[2x-y-1=0,x2-y22=1]得,[2x2-4x+3=0],而此方程無解. 說明此直線與雙曲線無交點,屬增解,應(yīng)舍去. 故應(yīng)選D.
點撥 在解析幾何的代數(shù)運算中,常常要利用常規(guī)的變形或運算,因此時刻要留意前后變形的等價性——充要關(guān)系. 若需要利用不等價變形,在不等價運算后,應(yīng)及時采取補救措施,把遺漏的補全,把增加的舍掉.
例8 已知圓[O1:x2+y2=1],圓[O2:x2+y2-10x+9]=0都內(nèi)切于動圓,試求動圓[M]的圓心的軌跡方程.
錯解 設(shè)動圓的圓心坐標為[Mx,y],半徑為[r],由題意得,兩圓的圓心坐標、半徑分別為[O1(0,0),O2(5,0)],[r1=1,r2=4],且有[r=O1M+1,r=O2M+4].
不難得到,[O1M-O2M=3].
即[x2+y2-(x-5)2+y2=3],
化簡得,[16x2-80x-9y2+64=0].
即[(x-52)294-y24=1]為所求動圓圓心的軌跡方程.
分析 錯解中將[O1M-O2M=3]看成[O1M-O2M=3],把動圓圓心的軌跡錯誤地認為是整條雙曲線,這是對雙曲線定義的理解不清導(dǎo)致的.
正解 事實上,[O1M-O2M=3]只能表示其雙曲線右支,即所求的方程中應(yīng)增加[x≥4].
點撥 在解析幾何中,與直線或與圓相切(內(nèi)切,外切)而引起的軌跡問題,經(jīng)??梢杂脠A錐曲線的定義直接解題,但需注意正確運用,防止出現(xiàn)遺漏或增加.
例9 在[Rt△ABC]中,[∠CAB=90°],[AB=2,AC=][22],點[D]是線段[AB]的垂直平分線上的一點,且點[D]到線段[AB]的距離為2,過點[C]的曲線[E]上任意一點[P]滿足[|PA|+|PB|]為常數(shù).
(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼?,并求出曲線[E]的方程.
(2)過點[D]的直線[l]與曲線[E]相交于不同的兩點[M,N],且點[M]在[D,N]之間,若[DM=λDN],求[λ]的取值范圍.
正解 (1)[x22+y2=1](過程略).
(2)①當(dāng)[l]與[y]軸重合時,
[DM=1,DN=3,λ=DMDN=13].
②當(dāng)[l]與[y]軸不重合時,設(shè)過[D(0,2)]的直線[MN]的方程為:[y=kx+2.]
由[y=kx+2,x22+y2=1]得,[(1+2k2)x2+8kx+6=0.](易錯點)
[∴x1+x2=-8k1+2k2],[x1x2=61+2k2>0],
[Δ=64k2-24(1+2k2)>0.](易漏點)
∴[k2>32],即[k<-62],或[k>62.](暫不必細求,視后面情況而定——盲目點)
又由[DM=λDN]得,[λ=x1x2.](如何變?yōu)榍骩λ]的范圍——難點)
[λ+1λ=x1x2+x2x1=(x1+x2)2x1x2-2]
[=20k2-63(1+2k2)=103-163(1+2k2).](易錯點)
∴[2<λ+1λ<103],∴[13<λ<3].
∵[0<λ<1,](易漏點)∴[13<λ<1].
綜上所述,[13≤λ<1.](易忘點)
點撥 在解答這一類解析幾何題時,發(fā)現(xiàn)其思路大致成了一些固定的模式,如“點差法”“相關(guān)點法”“韋達定理法”等,但看似會處理的問題往往得分不盡人意,需要在類似上題解答中的一些易錯、易漏點上引起警惕,并應(yīng)避免因盲目計算而浪費寶貴的時間,避免在會做的題上失分.