利用弦鏈系統(tǒng)模擬量子力學(xué)中的Dirac梳

劉 尚,姚文杰,荀 坤

(北京大學(xué) 物理學(xué)院，北京 100871)

利用弦鏈系統(tǒng)模擬量子力學(xué)中的Dirac梳

劉 尚,姚文杰,荀 坤

(北京大學(xué) 物理學(xué)院，北京 100871)

利用弦鏈系統(tǒng)模擬Dirac梳，將力學(xué)系統(tǒng)中的一維弦鏈的振動(dòng)與量子力學(xué)一維周期性勢(shì)場(chǎng)中的電子波函數(shù)進(jìn)行類比，這2個(gè)系統(tǒng)具有等價(jià)的本征方程，因此其本征譜也應(yīng)該具有相同的特性，例如具有能帶結(jié)構(gòu). 通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量和數(shù)值計(jì)算研究了弦鏈系統(tǒng)的本征譜分布，發(fā)現(xiàn)結(jié)果有一定偏差，這種偏差可能來(lái)源于非零的副弦質(zhì)量、主弦的彈性以及主弦和副弦之間非零的接觸點(diǎn)尺寸，適當(dāng)修正之后得到了與實(shí)驗(yàn)相符的計(jì)算結(jié)果.

Dirac梳;弦鏈系統(tǒng);動(dòng)力學(xué)模擬

Dirac梳在量子力學(xué)中是一個(gè)非常有名的例子,它說(shuō)明了電子在周期性的勢(shì)場(chǎng)中會(huì)存在能帶結(jié)構(gòu)[1], 這是固體物理當(dāng)中一個(gè)普遍而重要的結(jié)論[2]. 不過(guò), 由于勢(shì)能函數(shù)的特殊性, 要從實(shí)驗(yàn)上研究電子Dirac梳幾乎不可能. 而許多研究已經(jīng)表明：不同物理系統(tǒng)中的波(如機(jī)械波、光波、電子波等)往往具有相似的性質(zhì)[3-7]，為此嘗試將復(fù)雜的量子力學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)化為經(jīng)典力學(xué)中的問(wèn)題, 從而更方便地理解電子波函數(shù)在一維Driac梳中的行為. 賀卓然等人曾借助于對(duì)弦質(zhì)量密度分布具有周期性的弦鏈系統(tǒng)的振動(dòng)模測(cè)量,間接得到了電子Dirac梳的能譜[8]. 本文進(jìn)一步建立弦鏈系統(tǒng),其滿足的本征波動(dòng)方程與Dirac梳的定態(tài)薛定諤方程在數(shù)學(xué)上完全等價(jià). 測(cè)量了該弦鏈系統(tǒng)的振動(dòng)譜，并與數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較,發(fā)現(xiàn)由于實(shí)驗(yàn)條件并非理想,實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理想的Dirac梳還是存在一定的差別. 通過(guò)分析指出了差別的來(lái)源并進(jìn)一步修正,計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較好地吻合.

1 理論基礎(chǔ)

1.1 Dirac梳

圖1 Dirac梳示意圖

Dirac梳是量子力學(xué)中描述一維周期性勢(shì)場(chǎng)非常常用的例子之一,它所描述的勢(shì)場(chǎng)是δ函數(shù)型的一維周期性勢(shì)場(chǎng),如圖1所示. 其勢(shì)能函數(shù)可寫為

V(x)=∑nV0δ(x-na) ,

(1)

其中a為勢(shì)場(chǎng)的周期. 根據(jù)量子力學(xué)的Bloch定理,在周期性的勢(shì)場(chǎng)中波函數(shù)一定可以寫為Bloch函數(shù)的形式:

ψ(x+a)=eiκaφκ(x),

(2)

其中κ為待定的波數(shù). 而定態(tài)薛定諤方程為

-22md2dx2+V(x)ψ=Eψ.

(3)

將勢(shì)場(chǎng)V(x)的表達(dá)式(1)代入方程(3),可以看到在x≠na時(shí),方程解可以很簡(jiǎn)單地表示為

ψ(x)=Aeikx+Be-ikx,

(4)

其中k為波函數(shù)的波失,A和B是待定常量. 利用x=na時(shí)的銜接條件可以得到波函數(shù)所滿足的方程為

cos (κa)=cos (ka)+mV0k2sin (ka).

(5)

通過(guò)方程(5)可以看到,方程左側(cè)的值只能位于-1和+1之間,而方程右側(cè)的值根據(jù)不同的k值,在某些特定的取值下會(huì)出現(xiàn)絕對(duì)值大于1的情況,此時(shí)方程無(wú)解,也就是說(shuō)這些k值不能取,出現(xiàn)所謂的能隙.

上面的討論是無(wú)限的周期性的Dirac梳,然而在現(xiàn)實(shí)中只能考察有限的情況,進(jìn)一步的理論分析表明有限的周期性勢(shì)場(chǎng)下,能帶結(jié)構(gòu)依然存在, 但是每個(gè)能帶內(nèi)的能級(jí)都是分裂的.

1.2 弦鏈系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

設(shè)主弦線密度為μ,主弦張力為T,弦上某點(diǎn)橫向位移為ψ(x),單位弦長(zhǎng)受到的橫向力為f(x,ψ,t),則弦的動(dòng)力學(xué)方程可以寫為

μdx?2ψ?t2=T?2ψ?x2dx+f(x,ψ,t)dx.

(6)

這是弦鏈系統(tǒng)普遍適應(yīng)的方程. 由于所考察的弦鏈系統(tǒng)意在和Dirac梳進(jìn)行對(duì)比,所施加的單位弦長(zhǎng)受到的橫向力為周期性δ函數(shù)形式的線性回復(fù)力:

f(x,ψ,t)=-∑ifδ(x-xi)ψ,

(7)

其中xi=ia(i=1,2,…,n). 將式(7)代入式(6)并通過(guò)分離變量簡(jiǎn)化可以得到:

-d2dx2+∑ifδ(x-xi)ψ=k2ψ,

(8)

其中k=2πf/v為所求振動(dòng)模的波數(shù),v=T/μ為弦上波速. 可以看到,上述弦的動(dòng)力學(xué)方程(8)和Dirac梳中電子運(yùn)動(dòng)的薛定諤方程(3)在形式上是完全一致的,它們唯一的區(qū)別在于(3)式中的E可以小于0,而(8)式中的k2不能小于0,因此弦鏈系統(tǒng)同樣存在“能帶”結(jié)構(gòu).

2 實(shí) 驗(yàn)

2.1 實(shí)驗(yàn)裝置

圖2為實(shí)驗(yàn)裝置的簡(jiǎn)要示意圖,通過(guò)定滑輪給主弦掛上砝碼來(lái)產(chǎn)生主弦張力T,掛上砝碼后將主弦兩端固定作為固定邊界條件. 采用鎳質(zhì)的琴弦作為主弦,0.4號(hào)釣魚線作為副弦,與主弦垂直提供等效線性回復(fù)力. 副弦的張力通過(guò)掛砝碼的杠桿提供,可以通過(guò)調(diào)節(jié)砝碼掛在杠桿上的位置來(lái)調(diào)節(jié)副弦中的張力.

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

考慮到副弦中張力太大容易被拉斷,為此使用了2根釣魚線作為1根副弦并以如圖3的方式搭在主弦上,這樣保證了對(duì)稱性. 最后,實(shí)驗(yàn)中弦振動(dòng)源起振的簡(jiǎn)諧信號(hào)和主弦的響應(yīng)信號(hào)用SR785動(dòng)態(tài)分析儀來(lái)分別實(shí)現(xiàn)輸出和收集:動(dòng)態(tài)分析儀和弦鏈系統(tǒng)通過(guò)起振器和接收器聯(lián)系起來(lái). 起振器將分析儀輸出的電子信號(hào)轉(zhuǎn)化為交變磁場(chǎng),以此驅(qū)動(dòng)鐵質(zhì)的主弦產(chǎn)生振動(dòng)(需要另外使用永磁體提供偏置磁場(chǎng)，否則主弦的振動(dòng)信號(hào)將只含有二倍頻和更高頻的信號(hào)),而接收器可以記錄下主弦在若干個(gè)基頻周期內(nèi)的振動(dòng)信號(hào),然后在分析儀中通過(guò)傅里葉變換求得所需頻率的振幅. 若使輸出頻率在一定范圍內(nèi)進(jìn)行掃描,則可以得到主弦振動(dòng)關(guān)于頻率的響應(yīng)曲線,曲線的峰值處即為所需的本征頻率.

圖3 副弦搭載示意圖

需要注意的是,裝載副弦時(shí)考慮到整體的周期性,對(duì)于副弦以1根、3根、7根的方式加載,分別將主弦分割成2,4,8等分. 另外,起振器和接收器的位置要避免放在波函數(shù)的波節(jié)處,否則會(huì)出現(xiàn)所謂的“缺級(jí)”現(xiàn)象,即本來(lái)應(yīng)該有共振峰處突然間變成波谷. 因此,實(shí)驗(yàn)中需要調(diào)節(jié)起振器和接收器的位置xs和xr,直到所有的峰都能被探測(cè)到為止. 另外，實(shí)驗(yàn)時(shí)起振器上需放小磁鐵用以減弱二倍頻帶來(lái)的影響.

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)采用的參量如下:

1)起振器和接收器位置xs=190 mm,xr=1 410 mm.

2)主弦參量:μ=0.696 g/m,T=10.94 N,L=1 800 mm.

3)副弦參量:μf=0.081 8 g/m,F=23.8 N,Lf=157 mm.

其中主弦線密度μ和副弦線密度μf由分析天平測(cè)得,主弦張力T和副弦張力F由測(cè)力計(jì)直接測(cè)得,主弦長(zhǎng)度L、副弦長(zhǎng)度Lf以及起振器和接收器的位置xs和xr由米尺測(cè)得.

可以利用Matlab對(duì)此弦鏈系統(tǒng)進(jìn)行模擬. 將f=2FTLf代入方程(8)可得:

-d2dx2+∑i2FTLfδ(x-xi)ψ=k2ψ,

(9)

其中ψ所滿足的邊界條件為ψ(0)=ψ(L)=0. 離散化后,方程(9)可方便地?cái)?shù)值求解. 在實(shí)際計(jì)算時(shí),通過(guò)比較不同離散化精度下的計(jì)算結(jié)果來(lái)判斷所求得的數(shù)值解是否在所需精度下收斂.

考察每種實(shí)驗(yàn)條件下的前3個(gè)能帶, 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論預(yù)期的對(duì)照如圖4所示, 藍(lán)色實(shí)線為實(shí)驗(yàn)測(cè)得的響應(yīng)曲線,黑色虛線為理論預(yù)測(cè)值.

(a)n=0

(b)n=1

(c)n=3

(d)n=7圖4 實(shí)驗(yàn)測(cè)量響應(yīng)曲線及理論預(yù)測(cè)值

從圖4(a)可以看到,裸弦(n=0)沒(méi)有能帶結(jié)構(gòu),理論的本征頻率和實(shí)驗(yàn)測(cè)得的共振峰基本是吻合的,這證明了測(cè)量的主弦參量基本上沒(méi)有問(wèn)題. 加了1根副弦的情況(n=1)如圖4(b)所示,可以比較清晰地看到3個(gè)能帶,每個(gè)能帶內(nèi)有2個(gè)峰值,這與理論預(yù)期相符. 加了3根副弦的情況(n=3)如圖4(c) 所示,同樣是3個(gè)能帶,此時(shí)每個(gè)能帶內(nèi)有4個(gè)峰,理論預(yù)測(cè)值和實(shí)驗(yàn)測(cè)得的共振峰有一定的偏差. 加了7根副弦的情況(n=7)如圖4(d)所示,能帶結(jié)構(gòu)依舊比較明顯,此時(shí)每個(gè)能帶內(nèi)有7個(gè)峰,理論預(yù)測(cè)值和實(shí)驗(yàn)測(cè)得的共振峰偏差已經(jīng)非常大了,說(shuō)明理論模型存在問(wèn)題,需要進(jìn)行修正.

2.3 理論修正

為了分析偏差的來(lái)源,一方面,考慮到副弦有質(zhì)量,副弦的振動(dòng)肯定會(huì)對(duì)主弦的振動(dòng)帶來(lái)一定的影響;另一方面,圖4(d)中每個(gè)能帶的最后共振峰和理論值相差較多,而從理論上講,每個(gè)能帶的最后峰應(yīng)該是副弦所處的位置，正好是波函數(shù)的節(jié)點(diǎn)處,也就是說(shuō)副弦不會(huì)對(duì)主弦的振動(dòng)帶來(lái)影響, 因此對(duì)于主弦本身也需要進(jìn)行修正.

根據(jù)上述分析,首先對(duì)主弦進(jìn)行修正. 由于圖4(a)只測(cè)量了前6個(gè)本征頻率,而圖4(d)中出現(xiàn)了24個(gè)頻率,首先對(duì)裸線的24個(gè)本征頻率進(jìn)行測(cè)量,測(cè)量結(jié)果如圖5(a) 所示. 可以看到,本征頻率隨著序號(hào)的增加基本呈線性增加,如果對(duì)于每個(gè)本征頻率處做相對(duì)偏差繪圖Δf=fexp-ftheory,如圖5(b)所示,可以看到實(shí)驗(yàn)值隨著序號(hào)增加總體比理論值進(jìn)一步偏高.

(a)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的本征頻率

(b)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的本征頻率和理論值之差圖5 裸弦的本征頻率

表1 主弦等效線密度μeff

接下來(lái)對(duì)副弦進(jìn)入修正. 在理想情況的方程中,2Fψ/Lf是主弦在節(jié)點(diǎn)處受到副弦施加的作用力,它假設(shè)副弦在主弦一側(cè)的形態(tài)總是1條直線,現(xiàn)在應(yīng)當(dāng)改成某個(gè)未知的參量Ii,其中下標(biāo)i用于表示不同的節(jié)點(diǎn). 再考慮到副弦的振動(dòng)方程,結(jié)合牛頓第三定律,得到系統(tǒng)的振動(dòng)方程組:

-d2dx2ψ+1T∑iIiδ(x-xi)=ω2v2ψ,

(10a)

(10b)

其中yi和ui(yi)分別為第i根副弦的坐標(biāo)和振動(dòng)橫向位移,vf為副弦波速. 取副弦坐標(biāo)范圍為yi∈[-Lf,Lf], 則yi=0處為主弦和副弦的相交節(jié)點(diǎn). 顯然我們只關(guān)心滿足ui(y)=ui(-y)的對(duì)稱解,所以可以把求解范圍縮減一半. 對(duì)(10b)式在yi∈[-ε,ε]的范圍內(nèi)積分,并取ε→0的極限,可以得到:

-2duidyi0+-1FIi=0,

(11)

則

Ii=-2Fduidyi0+.

(12)

這樣解出了節(jié)點(diǎn)耦合力的顯式表達(dá)式,這和直接對(duì)節(jié)點(diǎn)處進(jìn)行受力分析得到的結(jié)果一致. 最終得到可以離散化求解的方程組:

-d2dx2ψ(x)+1T∑iIiδ(x-xi)=ω2v2ψ(x),

ψ(0)=ψ(L)=0,

ui(0)=ψ(xi),ui(Lf)=0.

(13)

(a)n=0

(b)n=1

(c)n=3

(d)n=7圖6 修正后的理論值和實(shí)驗(yàn)值比較

在考慮了對(duì)主弦和副弦的理論修正以后,修正后的理論預(yù)測(cè)值和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較如圖6所示,修正后的理論預(yù)測(cè)值用紅色的虛線表示，藍(lán)色實(shí)線為實(shí)驗(yàn)結(jié)果. 可以看到,對(duì)于n=0的情況,修正前后的理論值一致,如圖6(a)所示;對(duì)n=1的情況,修正前后的差別不大,都和實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合得較好,如圖6(b)所示;對(duì)n=3的情況,修正后的結(jié)果比原來(lái)更接近實(shí)驗(yàn)結(jié)果,如圖6(c)所示;對(duì)n=7的情況,在不修正時(shí)理論預(yù)測(cè)值和實(shí)驗(yàn)結(jié)果有很大偏差,修正后可以基本吻合,見圖6(d).

總之,由于副弦質(zhì)量帶來(lái)的影響,把原來(lái)的1個(gè)能帶內(nèi)帶寬給拉大了,這樣的結(jié)果是不同能帶間的能隙變小了,這對(duì)于觀察能帶結(jié)構(gòu)不利. 為了實(shí)驗(yàn)中清楚地看到能帶結(jié)構(gòu),可以采取減小主弦張力或者增大副弦張力的辦法,但是這樣做可能會(huì)引入主弦被副弦扭曲的形變,在具體操作時(shí)需要折中考慮.

3 結(jié)束語(yǔ)

本實(shí)驗(yàn)通過(guò)弦鏈系統(tǒng)成功地模擬了Dirac梳,觀察到了能帶結(jié)構(gòu),并對(duì)n=1,3,7的3種情況做了比較詳細(xì)的探討. 同時(shí),對(duì)一般的弦動(dòng)力學(xué)方程的理論進(jìn)行了主弦和副弦的修正, 通過(guò)修正后的理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合得較好.

致謝：感謝隋靖揚(yáng)與我們分享在此實(shí)驗(yàn)上得到的結(jié)果和經(jīng)驗(yàn).

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[責(zé)任編輯：任德香]

Simulating the Dirac comb with a string chain system

LIU Shang, YAO Wen-jie, XUN Kun

(School of Physics, Peking University, Beijing 100871, China)

The Dirac comb was simulated using a string chain system. The classical mechanical vibration of this one-dimensional string chain and the electron wave function in a one-dimensional periodic potential had equivalent eigenvalue equations and their eigen-spectra should share the same properties, such as the existence of band structure. The eigen-spectrum distribution of the string chain system was studied by experiment as well as numerical computation, and the results from those two methods did not coincide with each other. Such discrepancy might come from the nonzero mass of the associated strings, the elasticity of the main string and the non-vanishing area of the touching points between the main string and associated strings. By introducing suitable corrections, numerical results finally recovered the experimental ones.

Dirac comb; string chain system; dynamical simulation

2016-05-30；修改日期：2016-09-10

劉 尚(1994-),男,河北石家莊人,北京大學(xué)物理學(xué)院2012級(jí)本科生.

指導(dǎo)教師：荀 坤(1961-),男,貴州興義人,北京大學(xué)物理學(xué)院副教授,博士,研究方向?yàn)榇判员∧?

O413,1;O32

A

1005-4642(2017)01-0007-06

“第9屆全國(guó)高等學(xué)校物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)研討會(huì)”論文