基于DFT及諧波群泄露能量最小的電力諧波/間諧波分析方法

慕昆+馬小雨+何國(guó)鋒

摘 要： DFT在電力系統(tǒng)諧波分析中得到廣泛應(yīng)用，但是非整周期采樣會(huì)導(dǎo)致頻譜泄露、混疊及柵欄效應(yīng)?；谀芰渴睾阍?，當(dāng)整周期采樣時(shí)能量主要集中在主頻上，泄露很小。IEC61000?4?7對(duì)群諧波均方根值（RMS）做了定義，因此采用增加或減少采樣點(diǎn)數(shù)并遞歸運(yùn)用DFT的方法，計(jì)算基波群諧波的泄露能量并使其最小，可達(dá)到最接近整周期采樣的效果，通過(guò)DFT可直接得到各次諧波信息。數(shù)值仿真結(jié)果表明該方法可準(zhǔn)確計(jì)算基波及諧波頻率、幅值和相位，在信號(hào)存在白噪聲時(shí)依然有效。

關(guān)鍵詞： 諧波分析； 遞歸DFT； 泄露能量最小； 頻譜泄露

中圖分類號(hào)： TN911.6?34； TP273 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2017）01?0111?04

Abstract： The discrete Fourier transform （DFT） is widely used in the harmonic analysis of the power system， in which the non?complete?period sampling will lead to the spectrum leakage， aliasing and picket?fence effect. On the basis of energy conservation principle， when the energy of the complete period is focused on the main frequency， the leakage will be small. The RMS of group harmonic was defined by IEC61000?4?7. The method of using the variety of sampling points and recursive DFT is adop?ted to calculate the leakage energy of the fundamental?wave group harmonic and make it to the minimum， and obtain the sampling effect nearest to the complete period. The information of each harmonic is obtained by means of DFT. The numerical simulation results show that the method can calculate the fundamental wave， harmonic frequency， amplitude and phase accurately， and is still effective while the white noise exiting in the signal.

Keywords： harmonic analysis； recursive DFT； least leakage energy； spectrum leakage

0 引 言

隨著電力電子技術(shù)的發(fā)展，各種非線性負(fù)載的加入使電力系統(tǒng)收到諧波、間諧波污染。如何在有限長(zhǎng)的采樣窗口長(zhǎng)度下準(zhǔn)確提取信號(hào)中各頻率成分，有利于對(duì)諧波和間諧波污染進(jìn)行進(jìn)一步評(píng)估。

諧波分析的方法有很多種，由于離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform，DFT）具有算法成熟，易于DSP工程實(shí)現(xiàn)，成為分析諧波和間諧波的最常用工具。但是由于采樣數(shù)據(jù)長(zhǎng)度和采樣的非同步化，產(chǎn)生了頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)[1]，各頻率成分之間還會(huì)產(chǎn)生頻譜干擾，影響分析效果。針對(duì)上述問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量研究，提出了多種改進(jìn)措施。

在時(shí)域，若采樣對(duì)于信號(hào)中各成分都是同步的，那么理論上DFT/FFT計(jì)算結(jié)果不存在誤差。文獻(xiàn)[2]通過(guò)采樣長(zhǎng)度的自適應(yīng)計(jì)算使信號(hào)各成分與采樣窗口近似同步，再用DFT計(jì)算各諧波、間諧波參數(shù)。若信號(hào)基頻已知，則可通過(guò)多項(xiàng)式插值對(duì)信號(hào)重采樣使采樣對(duì)諧波同步，但對(duì)間諧波而言，頻譜泄漏依然存在。在頻域，解決柵欄效應(yīng)的方法有線性調(diào)頻Z變換的頻譜細(xì)化法[3]、補(bǔ)零法[4]和各種插值法[5?10]。前兩種方法對(duì)信號(hào)DFT值的進(jìn)一步密化，并未考慮信號(hào)各成分間的頻譜干擾。插值法通過(guò)插值求得信號(hào)各成分實(shí)際頻率與對(duì)應(yīng)離散頻點(diǎn)的偏差解決柵欄效應(yīng)，其抑制頻譜干擾的手段為時(shí)域加窗。

本文在國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)[11?12]諧波子群定義的基礎(chǔ)上給出了一種基于遞歸DFT的諧波分析方法，該方法通過(guò)檢測(cè)諧波子群的最小泄露能量值來(lái)獲得近似的整周期采樣，從而得到諧波信息。

1 IEC諧波檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)

IEC61000?4?7：2008標(biāo)準(zhǔn)[11]規(guī)定了實(shí)際供電系統(tǒng)中電流和電壓諧波和間諧波測(cè)量?jī)x器的架構(gòu)。測(cè)量?jī)x器的結(jié)構(gòu)由主要部分和后續(xù)處理部分組成。檢測(cè)儀器主要部分包括：帶有抗混疊濾波器的輸入回路、具有采樣/保持單元的模/數(shù)轉(zhuǎn)換器、同步和窗口單元（如需要）、DFT處理器。

新的IEC標(biāo)準(zhǔn)推薦采用加矩形窗的DFT算法。為滿足標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量要求，窗口寬度應(yīng)選為10個(gè)（50 Hz系統(tǒng)）或12個(gè)（60 Hz系統(tǒng)）周期。同時(shí)，時(shí)間窗應(yīng)與電力系統(tǒng)50 Hz（60 Hz）頻率對(duì)應(yīng)的10（12）個(gè)周期同步。

新標(biāo)準(zhǔn)定義諧波群的有效值為：某一個(gè)諧波有效值以及它鄰近頻譜分量有效值的方和根，如式（1）和圖1所示（只考慮50 Hz系統(tǒng)）。

當(dāng)信號(hào)中為穩(wěn)態(tài)的基波和諧波，且采樣為同步采樣（同步誤差在 IEC標(biāo)準(zhǔn)要求范圍內(nèi)）時(shí)，通過(guò)DFT單頻譜譜線可以較精確地估計(jì)信號(hào)的基波或各次諧波分量。

當(dāng)信號(hào)含幅值波動(dòng)的基波和（或）諧波時(shí)，波動(dòng)的基波和諧波分量會(huì)將其能量擴(kuò)散到鄰近的間諧波頻率分量中去。這時(shí)可以利用IEC方法的諧波群或諧波子群參數(shù)估計(jì)基波和諧波，但該方法不能提供相位信息。

IEC 方法對(duì)間諧波測(cè)量問(wèn)題做了很大的簡(jiǎn)化，采用間諧波群和間諧波子群估計(jì)間諧波，即用兩個(gè)連續(xù)諧波頻率之間的 DFT 頻譜譜線估計(jì)頻率之間的所有間諧波，不給出間諧波的具體頻率和相位。

2 諧波群有效值最小方法

式中：離散頻率的諧波幅值為。由于頻譜泄露，頻率的能量會(huì)泄露到周圍的頻域內(nèi)，因此周圍總的諧波能量構(gòu)成了“群能量”[12]，每一個(gè)群能量包含頻段內(nèi)的能量這里為整數(shù)，表示群的寬度。這樣每次諧波幅值可表示為。由DFT可知，主要的頻譜泄露集中在主諧波周圍，這樣間諧波（子諧波）可以識(shí)別出來(lái)。

以采樣頻率對(duì)電力信號(hào)（電壓和電流）進(jìn)行點(diǎn)采樣，對(duì)這點(diǎn)采樣值進(jìn)行DFT運(yùn)算，DFT運(yùn)算后，主頻頻譜密度幅值最大，幅值在主頻的左右兩側(cè)逐漸衰減，次大的頻譜出現(xiàn)在緊鄰主頻左右兩側(cè)位置?；诮?jīng)驗(yàn)觀察，當(dāng)信號(hào)過(guò)采樣時(shí)，主頻右側(cè)幅值大于左側(cè)幅值，即；相反的信號(hào)欠采樣時(shí)，主頻右側(cè)幅值小于左側(cè)幅值即。這樣，根據(jù)分散能量的情形適當(dāng)調(diào)整采樣窗的寬度使之滿足接近整周期采樣，則可消除得到接近整周期采樣的采樣數(shù)據(jù)，然后進(jìn)行DFT即可得到很少泄露的頻譜分析。

該能量?jī)H是擴(kuò)散到基波周圍的能量，不包括基波能量。根據(jù)能量守恒定理，時(shí)域能量等于頻域能量，又由采樣定理可知當(dāng)信號(hào)被整周期采樣時(shí)，頻譜不會(huì)發(fā)生泄露，全部集中在主頻上，泄露能量基本為零。因此根據(jù)頻譜幅值的大小調(diào)整采樣窗寬度，使之接近滿足整周期采樣，則可得到極小的能量泄露。當(dāng)時(shí)過(guò)采樣，可減少一個(gè)采樣點(diǎn)；當(dāng)時(shí)欠采樣，可增加一個(gè)采樣點(diǎn)，該過(guò)程重復(fù)進(jìn)行直到泄露能量最小時(shí)停止。

該過(guò)程如下：

（1） 設(shè)定采樣頻率，對(duì)信號(hào)進(jìn)行10周期采樣；

（2） 對(duì)采樣信號(hào)進(jìn)行DFT，找出幅值最大點(diǎn)處的頻率

（3） 如果，。反之，進(jìn)行下一步；

（4） 如果，。反之，進(jìn)行下一步；

（5） 判斷分散能量是否滿足如果滿足停止迭代，確定此時(shí)值；反之返回第（2）步，重復(fù)該過(guò)程直到

（6） 由點(diǎn)采樣值可確定基波頻率、幅值及相角以及諧波頻率、幅值及相角

（7） 如果有間諧波，則采用頻域插值方法獲得間諧波信息。

當(dāng)進(jìn)行DFT時(shí)，由于頻譜泄露，第次諧波能量可擴(kuò)展到周圍很寬的頻帶內(nèi)，但是每一組群諧波能量必須在和范圍內(nèi)進(jìn)行計(jì)算。如果頻帶越寬，泄露能量越接近真實(shí)值。但是頻帶寬度增加后可能會(huì)包含臨近諧波引起的泄露，另外，由于臨近諧波成分的影響，較寬的帶寬會(huì)引起計(jì)算頻率偏離實(shí)際頻率，因此為了獲得準(zhǔn)確的幅值希望選取較大的而為了避免混疊希望較小的寬度?；贗EC標(biāo)準(zhǔn)頻帶寬度可選取5個(gè)。

另外，最小能量是該算法停止迭代的一個(gè)關(guān)鍵因素，理論上為了獲得準(zhǔn)確結(jié)果，最小能量越小越好，但是迭代次數(shù)增加，為了降低運(yùn)算時(shí)間，最小能量可選為1‰倍的基波幅值。

該算法的流程圖如圖2所示，當(dāng)基波群諧波RMS最小時(shí)，對(duì)應(yīng)泄露能量最小，表明基本沒(méi)有出現(xiàn)能量泄露，采樣基本達(dá)到整周期采樣。此時(shí)DFT分析結(jié)果為整周期采樣結(jié)果，基波及各次諧波頻率、幅值及相位都可以由DFT輸出直接得到，且基本接近真實(shí)值。如果檢測(cè)到間諧波，由于間諧波不可能是整周期采樣，肯定發(fā)生頻譜泄露，因此可以采用頻域插值的方法得到間諧波的幅值、頻率及相位信息。

3 數(shù)值仿真

為驗(yàn)證該方法的有效性，分別選取含諧波正弦信號(hào)及間諧波信號(hào)進(jìn)行仿真。

（1） 諧波信號(hào)

假設(shè)輸入信號(hào)為：

式中：為相對(duì)于基波40 dB的白噪聲；基波頻率?；谏鲜龅姆治龇椒▽?duì)該信號(hào)進(jìn)行仿真，經(jīng)過(guò)6次迭代，得到的結(jié)果如表1所示，從表1中的數(shù)據(jù)可以看出，采用這種遞歸的方法可以很準(zhǔn)確地測(cè)量出各次諧波信息。

該例中，基波頻率為相比上例，添加了93.5 Hz的間諧波信號(hào)。諧波分析按照泄露能量最小的方法進(jìn)行仿真，由于間諧波無(wú)法采用該方法計(jì)算，可以利用Hanning窗插值函數(shù)[7]對(duì)間諧波進(jìn)行計(jì)算，仿真結(jié)果如表2所示。

從表2中的數(shù)據(jù)可以看出，由于間諧波的原因，臨近的三次諧波的仿真結(jié)果相比表1結(jié)果誤差更大，但是誤差還是在合理的范圍內(nèi)。

從兩種仿真結(jié)果可以看出，基于諧波群泄露能量最小的方法能夠準(zhǔn)確檢測(cè)出各次諧波的頻率、幅值和相位信息，對(duì)于間諧波則采用頻域插值的方法也可得到較為滿意的結(jié)果。

4 結(jié) 論

整周期采樣時(shí)DFT不會(huì)發(fā)生頻譜泄露，可準(zhǔn)確測(cè)量基波及諧波參數(shù)?；贗EC標(biāo)準(zhǔn)定義的諧波均方根值，通過(guò)增加或減少采樣點(diǎn)數(shù)，遞歸使用FFT算法，使其達(dá)到最小，則可以得到接近于整周期的采樣效果。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法能夠準(zhǔn)確地計(jì)量各次諧波頻率、幅值及相位。該方法只需遞歸調(diào)用DFT，便于植入基于微處理器的電力系統(tǒng)監(jiān)控設(shè)備中。

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