路徑的選擇問題
——從費(fèi)馬原理看聰明的光

任雨萌

(西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué) 陜西 西安 710071)

李艷輝

(西安電子科技大學(xué)物理與光電工程學(xué)院 陜西 西安 710071)

路徑的選擇問題
——從費(fèi)馬原理看聰明的光

任雨萌

(西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué) 陜西 西安 710071)

李艷輝

(西安電子科技大學(xué)物理與光電工程學(xué)院 陜西 西安 710071)

利用折算的路程，分析了運(yùn)動(dòng)學(xué)中的路徑選擇問題.結(jié)合費(fèi)馬原理在折射定律中的應(yīng)用，建立了光學(xué)及運(yùn)動(dòng)學(xué)中物理描述的對(duì)應(yīng)類比關(guān)系.該類比方法為深入理解物理光學(xué)的光程等概念提供了新的思路.

費(fèi)馬原理 最值問題 路徑 光程 折射率

兩點(diǎn)之間沿直線行進(jìn)最快，這好像是天經(jīng)地義的常識(shí)，但有時(shí)候，情況卻并不那么簡單.騎兵從A點(diǎn)出發(fā)要將情報(bào)送至C點(diǎn)的首長帳篷，行進(jìn)路徑需要經(jīng)過沙地和草地，如圖1所示.馬在沙地跑得慢，在草地跑得快，騎兵應(yīng)該怎樣選擇路徑從而由A經(jīng)最短時(shí)間到達(dá)帳篷C呢？

圖1 騎兵最速送信問題示意圖

設(shè)E為草地與沙地分界面上的任意一點(diǎn)，從A到C在沙地中經(jīng)過的路徑為AE，運(yùn)動(dòng)速度是v1，在草地中經(jīng)過的路徑為EC，速度是v2.那么最快到達(dá)即要求時(shí)間

(1)

最短.

可以分情況討論：

(1)先考慮最特殊情況，如果路徑上經(jīng)過的區(qū)域是均勻的，即馬在沙地和草地上行進(jìn)的速度相等，v1=v2.這時(shí)A與C兩點(diǎn)之間直線距離最短.顯然，沿直線AC行進(jìn)最快.

(2)如果v1

那么，采用什么物理量作為衡量標(biāo)準(zhǔn)呢？假設(shè)一種馬可以跑得最快的路面，比如柏油馬路，在這種路面上，馬行進(jìn)的速度可用常量表示.則馬在不同的路面：沙地及草地的行進(jìn)距離都可以等效地“折算”到馬在柏油馬路上行進(jìn)的距離.

設(shè)馬在沙土路面上的行進(jìn)時(shí)間

用該時(shí)間乘以馬在柏油馬路上行進(jìn)的速度c,即可得到“折算”到馬在柏油馬路上的行進(jìn)距離

同理，把馬在草地上的行進(jìn)距離也折算到其在柏油馬路上的行進(jìn)距離l2，最終可得

(2)

顯然，既然都已“折算”到馬在柏油馬路上的行進(jìn)距離L折算，則如果這個(gè)距離越小，那么騎兵將到達(dá)的越快.這樣折算后的好處在于,雖然馬在沙地及草地中行進(jìn)的速度不相同，行進(jìn)的時(shí)間也各異，但是，都“折算”到馬在柏油馬路上運(yùn)動(dòng)的距離后，可以方便地比較由A到C馬沿不同的路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)的行進(jìn)距離，進(jìn)而可以方便地比較諸如最短用時(shí)等物理量.

其實(shí)，馬在不同的路面上行進(jìn)的速度是一定的，因此馬在諸如沙地、草地的行進(jìn)速度與其在行進(jìn)最快的柏油路上的行進(jìn)速度的比值，就反映了這種路面的某種屬性.干脆可以用常數(shù)n1，n2來表示這種反映路面自身屬性的物理量，它是無量綱量，即

(3)

結(jié)合式(2)、式(3)，L折算可表示為

L折算=n1AE+n2EC=

(4)

因?yàn)锳點(diǎn)與C點(diǎn)在x軸方向上的間距是固定的,設(shè)為l，如圖1所示.令A(yù)P=x，則EN=l-x.且當(dāng)A點(diǎn)與C點(diǎn)確定之后，這兩個(gè)點(diǎn)投影到y(tǒng)軸方向上的距離是確定的，不會(huì)因?yàn)镋點(diǎn)的選取而改變.因此，在式(4)中以x為一變量，其最值條件將滿足

時(shí)所需時(shí)間最短.即

(5)

化簡得

(6)

如果定義AE及EC與兩種界面的法線方向之間的夾角分別為α及β，則有

n1sinα=n2sinβ

(7)

其中

可以看出，因?yàn)関1E′C，這不正是我們剛一開始所猜測(cè)的——若馬在行進(jìn)速度慢的沙地上“少”走一定的路程，而在行進(jìn)速度快的草地“多”走一定的路程，將使得由A到C更快.有意思的是，這時(shí)明顯走了“折線”而非通常意義上的“直線”，但是到達(dá)的卻更快了.

(3)如果v1>v2,則采用類似的方法，容易分析出這時(shí)使得由A到C用時(shí)最短的兩種界面分界線上的轉(zhuǎn)折點(diǎn)E″一定在E′點(diǎn)的右側(cè).這樣可以使得馬在行進(jìn)速度快的路面上“多”走一定的路程，而在行進(jìn)速度慢的路面上“少”走一定的路程，從而使得用時(shí)比沿AC直線行進(jìn)更短.

這是一個(gè)非常有趣的現(xiàn)象，其實(shí)如果了解光，你會(huì)敬仰地發(fā)現(xiàn)“聰明”的光的計(jì)算及分析能力.

我們把圖1中的問題更換為光從一點(diǎn)A出發(fā)到達(dá)另一點(diǎn)C，光沿哪一條路徑行進(jìn)將用時(shí)最短.

還是設(shè)E為兩種介質(zhì)分界面上的任意一點(diǎn).光在真空中的運(yùn)動(dòng)速度最快，等效于馬在柏油馬路上的運(yùn)動(dòng)速度c.只是對(duì)光而言，這個(gè)速度是c=3×108m/s,光在不同介質(zhì)中的傳播速度不同，分別是v1,v2.仍可用式(3)定義的無量綱量來表示不同介質(zhì)對(duì)光傳播的某種屬性，即這時(shí)的n1,n2分別表示兩種介質(zhì)的“相對(duì)折射率”.式(4)中的L折算表示“光程”.它其實(shí)也是將光在各個(gè)介質(zhì)中走過的幾何路徑與相對(duì)折射率的乘積，“折算”到光在真空中所走過的路程，用這種方法可以方便地將在不同介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)速度不同、運(yùn)動(dòng)時(shí)間不同所通過的距離，“折算”到光在真空中所走過的距離，以便于問題的研究.因此，光從一點(diǎn)A傳播到另一點(diǎn)C時(shí)，將沿所需時(shí)間最短的路徑傳播，這是幾何光學(xué)中的一條重要的原理，也稱最小時(shí)間原理，或最短光程原理，是法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬于1657年首先提出的，即著名的“費(fèi)馬原理”.簡單地說，費(fèi)馬原理可以理解為：光從空間的一點(diǎn)傳到另一點(diǎn)是沿著光程為極值的路徑傳播的.

如此可見，光在傳輸過程中總是非常的聰明，它的思考實(shí)在是又快又準(zhǔn)，令人佩服啊.

1 姚啟鈞. 光學(xué)教程. 北京:高等教育出版社,2002

2 石順祥, 張海興, 劉勁松. 物理學(xué)與應(yīng)用光學(xué). 西安:西安電子科技大學(xué)出版社,2003

3 Born M , Wolf E. Principles of optics oxford (England).Pergamon Press,19754 竹錦霞.費(fèi)馬原理與運(yùn)動(dòng)性最值問題探討.四川文理學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)),2007,17(2):30～31

5 趙凱華, 鐘錫華.光學(xué).北京:北京大學(xué)出版社, 1984

PathSelectionQuesition—SeeingtheSmartLightfromFermatPrinciple

RenYumeng

(TheMiddleSchoolAttachedtoNorthwesternPolytechnicalUniversity，Xi′an，Shaanxi710071)

LiYanhui

(SchoolofPhysicsandOptoelectronicEngineering,XidianUniversity,Xi′an,Shaanxi710071)

Using the equivalent distance, we analyzed the choice of a path in kinematics problem. Combining the application of Fermat principle in the law of refraction, we established the corresponding analogy relationships of optical and kinematics physical description. The analogy method presented in this paper would be helpful for deep understanding of optical concepts such as: optical path etc.

Fermat principle; extreme value of problems; path; optical path; refractive index

任雨萌(2000- )，女，在讀高中生.

指導(dǎo)教師：李艷輝(1979- )，女，博士，副教授，主要從事光散射與傳播的科研與教學(xué)工作.

2016-07-04)