數(shù)學(xué)課堂研究的多重視角
——ICME-13中卡爾教授的報(bào)告及其對(duì)我國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

◇劉付茵 江春蓮

數(shù)學(xué)課堂研究的多重視角
——ICME-13中卡爾教授的報(bào)告及其對(duì)我國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

◇劉付茵 江春蓮

2016年7月24—31日，第13屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME-13）在德國(guó)漢堡召開(kāi)。本文主要介紹來(lái)自新加坡南洋理工大學(xué)的柏林德杰特·卡爾（Berinderjeet Kaur）教授的大會(huì)報(bào)告“數(shù)學(xué)課堂研究——多重視角”的內(nèi)容。作為本文的結(jié)尾，我們將結(jié)合我國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際情況作出反思。

一 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究的背景

1．1995 年 TIMSS（簡(jiǎn)稱(chēng) TIMSS1995）的視頻研究。

1995年，作為T(mén)IMSS（國(guó)際數(shù)學(xué)與科學(xué)評(píng)測(cè)趨勢(shì)的簡(jiǎn)稱(chēng)）組織者的國(guó)際教育成就評(píng)價(jià)協(xié)會(huì)（IEA）首次關(guān)注數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，對(duì)德國(guó)、日本和美國(guó)三個(gè)國(guó)家的八年級(jí)數(shù)學(xué)教師調(diào)查取樣，對(duì)樣本中的每位教師的一節(jié)課進(jìn)行教學(xué)錄像，共錄制教學(xué)錄像課德國(guó)100節(jié)，日本50節(jié)，美國(guó)81節(jié)。分析結(jié)果最后呈現(xiàn)在《教學(xué)的差異：世界教師的改進(jìn)課堂教學(xué)的精彩觀點(diǎn)》[1]（簡(jiǎn)稱(chēng)《教學(xué)差異》）一書(shū)中。

從《教學(xué)差異》一書(shū)中，卡爾教授得到一個(gè)重要的啟示：教學(xué)是一項(xiàng)文化活動(dòng)。她引用該書(shū)中的兩段文字進(jìn)行說(shuō)明：

“簡(jiǎn)單地說(shuō)，我們很驚訝地發(fā)現(xiàn)，不同文化之間的教學(xué)差異特別明顯，而在同一文化內(nèi)的教學(xué)差異則比較小?！?/p>

“年復(fù)一年，我們?cè)诮淌抑袑W(xué)習(xí)，于是間接地學(xué)習(xí)到如何教學(xué)。但是我們幾乎沒(méi)有意識(shí)到，在我們自己的文化里，我們的教學(xué)有一些共通的特點(diǎn)?！?/p>

卡爾教授指出，TIMSS1995的視頻研究從宏觀的角度（即用廣角鏡頭）來(lái)分析不同國(guó)家的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式，如美國(guó)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)一般由如下四個(gè)教學(xué)部分組成：復(fù)習(xí)先前的知識(shí)、教師演示如何解決當(dāng)天要學(xué)習(xí)的問(wèn)題、學(xué)生練習(xí)、檢查錯(cuò)誤并布置家庭作業(yè)。卡爾教授強(qiáng)調(diào)三個(gè)國(guó)家的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)都圍繞數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決進(jìn)行，學(xué)習(xí)解決問(wèn)題的過(guò)程或方法，但各個(gè)國(guó)家的處理方法則有較大的不同。如日本教師在展示問(wèn)題后，學(xué)生先分小組或獨(dú)立地解決問(wèn)題，再在全班分享、討論解題方法，最后教師進(jìn)行總結(jié)、強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)；美國(guó)教師直接演示解題方法，然后讓學(xué)生做練習(xí)；德國(guó)教師在展示問(wèn)題后，師生討論，形成解決問(wèn)題的過(guò)程。

2．1999 年 TIMSS（簡(jiǎn)稱(chēng) TIMSS1999）的視頻研究。

TIMSS1999重復(fù)了TIMSS1995的研究，但在TIMSS1999的視頻研究中，參與國(guó)家和地區(qū)增加到了七個(gè)，即澳大利亞、捷克、中國(guó)香港、日本、荷蘭、瑞士和美國(guó)，其研究報(bào)告由美國(guó)教育部教育科學(xué)研究院發(fā)布，題目是“七個(gè)國(guó)家的數(shù)學(xué)教學(xué)：TIMSS1999 視頻 研究結(jié)果”[2]。TIMSS1999 的視 頻研究突破了用廣角鏡頭研究課堂教學(xué)所帶來(lái)的局限，主張用特寫(xiě)鏡頭研究課堂，以便得到對(duì)研究結(jié)果有意義的解釋?zhuān)虼薚IMSS1999改進(jìn)了TIMSS1995的編碼系統(tǒng)。該報(bào)告也提出了許多有意義的繼續(xù)研究方向，將數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的國(guó)際比較引向深入。

二 20世紀(jì)90年代新加坡的數(shù)學(xué)課堂研究

在TIMSS1995中，新加坡學(xué)生第一次參加IEA的國(guó)際數(shù)學(xué)研究，其四年級(jí)和八年級(jí)的學(xué)生表現(xiàn)都很好，這引起國(guó)際社會(huì)對(duì)新加坡數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的關(guān)注。新加坡的教育工作者也對(duì)自己國(guó)家的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)越來(lái)越好奇，在20世紀(jì)90年代，新加坡在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究方面的課題有兩項(xiàng)，分別是 1995—1996年間參與的開(kāi)賽爾項(xiàng)目(Kassel Project)和1998—1999年間的五年級(jí)數(shù)學(xué)課堂研究。其中，開(kāi)賽爾項(xiàng)目是一項(xiàng)國(guó)際比較研究，由英國(guó)普利茅斯大學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)創(chuàng)新中心主辦。卡爾教授與葉淑菲 (Sook-Fe Yap)博士在1995年和1996年分別觀察了新加坡21節(jié)八年級(jí)的數(shù)學(xué)課和22節(jié)九年級(jí)的數(shù)學(xué)課，并用課堂教學(xué)評(píng)估表進(jìn)行記錄。

1．開(kāi)賽爾項(xiàng)目1995年的數(shù)據(jù)。

開(kāi)賽爾項(xiàng)目1995年觀察的21節(jié)八年級(jí)的數(shù)學(xué)課來(lái)自七所學(xué)校。該項(xiàng)研究不僅記錄了不同的教學(xué)方法和教學(xué)資源使用的頻次，而且對(duì)教師的教學(xué)和班級(jí)的特點(diǎn)進(jìn)行了評(píng)分。

該研究發(fā)現(xiàn)，新加坡的數(shù)學(xué)課堂有如下特點(diǎn)：數(shù)學(xué)教學(xué)是任務(wù)導(dǎo)向的；教師通過(guò)講解來(lái)展示知識(shí)；教師常常示范如何解題，不僅示范解題的每一個(gè)步驟，而且更強(qiáng)調(diào)解題過(guò)程、答案和準(zhǔn)確性，但忽略了概念和過(guò)程；教師對(duì)教學(xué)有熱情、對(duì)學(xué)生抱有較高的期望；教師能自信地處理數(shù)學(xué)問(wèn)題；教學(xué)明確清晰；教師圍繞可實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)組織課堂教學(xué)活動(dòng)；教師幾乎會(huì)批改每次的作業(yè)并給出評(píng)分；經(jīng)常使用黑板、課本和投影儀。新加坡學(xué)生的特點(diǎn)是：安靜、注意力集中、看起來(lái)很開(kāi)心，但是很少主動(dòng)回答或提問(wèn)，對(duì)教學(xué)是接受式的和任務(wù)導(dǎo)向式的。

2．五年級(jí)數(shù)學(xué)課堂研究。

這是一個(gè)小型的研究，也是新加坡第一個(gè)數(shù)學(xué)課堂視頻研究，著重調(diào)查新加坡在提出“思考的學(xué)校 學(xué)習(xí)的國(guó)家”和信息技術(shù)掌握第一個(gè)五年計(jì)劃等改革措施后，五年級(jí)數(shù)學(xué)教師的課堂教學(xué)實(shí)踐情況。該研究選取了兩所學(xué)校的四名教師，他們所教學(xué)生的能力水平各不相同。該項(xiàng)研究共記錄了5節(jié)時(shí)長(zhǎng)均為一小時(shí)的課，事后對(duì)相關(guān)教師作了訪談。

這項(xiàng)研究的數(shù)據(jù)分析采用的是廣角鏡頭，關(guān)注的是宏觀層面的兩個(gè)問(wèn)題：一是兩所學(xué)校數(shù)學(xué)課堂的相似與不同之處，二是上述兩個(gè)改革措施對(duì)教師教學(xué)的影響。對(duì)前一個(gè)問(wèn)題的研究結(jié)論有以下兩方面。（1）兩所學(xué)校的數(shù)學(xué)課堂有很多相似之處，如：都是教師主導(dǎo)型的；課堂上三分之二的時(shí)間都是教師在講，余下的時(shí)間則是學(xué)生獨(dú)立或以小組合作的方式完成課堂任務(wù)；學(xué)生發(fā)言主要是回答教師提出的問(wèn)題或要求教師作更清晰的說(shuō)明；課堂任務(wù)主要是幫助學(xué)生理解和運(yùn)用知識(shí)；課堂和課后作業(yè)更多的是訓(xùn)練解題技巧、運(yùn)用知識(shí)解決常規(guī)性的問(wèn)題和為考試作準(zhǔn)備。（2）兩所學(xué)校的數(shù)學(xué)課堂的不同之處在于：其中一所學(xué)校為學(xué)生提供了更豐富的教學(xué)活動(dòng)，但是這些活動(dòng)并不能幫助學(xué)生提高任何特定的思維策略或技巧。對(duì)后一個(gè)問(wèn)題的研究結(jié)論是：兩所學(xué)校的課堂都沒(méi)有證據(jù)顯示其課堂教學(xué)活動(dòng)有助于學(xué)生發(fā)展思維策略或技巧，信息技術(shù)對(duì)教學(xué)的影響也不明顯。

三 新加坡參與學(xué)習(xí)者視角的視頻研究

新加坡從2004年開(kāi)始參與學(xué)習(xí)者視角的研究（Learner′s perspective Study，簡(jiǎn)稱(chēng) LPS）。LPS 是由澳大利亞墨爾本大學(xué)大衛(wèi)·克拉克（David Clarke）領(lǐng)導(dǎo)的研究，其主要目的是更全面、深入地研究各國(guó)八年級(jí)被公認(rèn)為教學(xué)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師的教學(xué)，迄今為止，參與國(guó)家和地區(qū)達(dá)15個(gè)，中國(guó)香港和內(nèi)地都參加了。

卡爾教授認(rèn)為新加坡參與這項(xiàng)研究的主要目的是：記錄八年級(jí)優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師的課堂；從學(xué)生的角度研究教材和課后作業(yè)的作用，以及好的數(shù)學(xué)課堂的構(gòu)成要素；從教師和學(xué)生兩個(gè)角度來(lái)分析提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生學(xué)習(xí)效果的課堂教學(xué)方法。參與該研究的三名新加坡的優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師來(lái)自三所不同的學(xué)校，教師A和教師B均為女教師，所教學(xué)生水平中等偏上，A的教齡為21年，B的教齡為27年；教師C是男教師，所教學(xué)生水平中等偏下，有15年的教齡。該研究對(duì)每位教師錄制了連續(xù)的10節(jié)課，并運(yùn)用扎根理論進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。

在這些課堂里，總共出現(xiàn)了如下六種教學(xué)活動(dòng)：（1）全班演示（Demonstration，簡(jiǎn)寫(xiě)為 D），通過(guò)對(duì)全班學(xué)生的教學(xué)幫助學(xué)生形成對(duì)數(shù)學(xué)概念和技能的理解；（2）課堂作業(yè)（Seatwork，簡(jiǎn)寫(xiě)為 S），教師讓學(xué)生獨(dú)立或以小組合作的形式完成課堂作業(yè)；（3）教師對(duì)全班評(píng)講作業(yè)（Review，簡(jiǎn)寫(xiě)為 R），特別是剛剛完成的課堂作業(yè)；（4）各種管理方面的雜項(xiàng)，包括各種形式的活動(dòng)安排過(guò)程、課堂紀(jì)律管理等；（5）小組測(cè)驗(yàn)，這種活動(dòng)只在教師B的課堂上出現(xiàn)過(guò)，學(xué)生分組后以競(jìng)爭(zhēng)的形式解決問(wèn)題；（6）課上測(cè)驗(yàn)，這種活動(dòng)在教師A和教師C的課堂上出現(xiàn)過(guò)。研究者用以上六種教學(xué)編碼記錄每節(jié)課的課堂結(jié)構(gòu)，還記錄了每個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目的。研究發(fā)現(xiàn)，每節(jié)課不僅有一些大的教學(xué)目的，而且在每個(gè)環(huán)節(jié)都有更加具體的逐步遞進(jìn)的更細(xì)的教學(xué)目標(biāo)。通過(guò)對(duì)教師每節(jié)課教學(xué)結(jié)構(gòu)的分析發(fā)現(xiàn)，教師A和B的課堂常以D—S—R的形式循環(huán)，而教師C的課堂特點(diǎn)則不十分明顯。從三名教師的各項(xiàng)教學(xué)活動(dòng)所占時(shí)間的長(zhǎng)短和出現(xiàn)頻次來(lái)看，大部分的課堂教學(xué)時(shí)間也是做這三種類(lèi)型的活動(dòng)。

卡爾教授指出：這種對(duì)課堂結(jié)構(gòu)的分析仍然是比較粗略的，我們還需對(duì)課堂對(duì)話的本質(zhì)作更細(xì)致的分析。如全班演示部分，占課堂教學(xué)時(shí)間的比例通常超過(guò)了20%，但不超過(guò)33%；教師主要運(yùn)用例子（包括數(shù)學(xué)概念的例子和典型的數(shù)學(xué)問(wèn)題）作為教學(xué)工具，解釋數(shù)學(xué)概念和問(wèn)題解決的技巧，教師在其中起著最積極的作用；教師使用的例子是基于問(wèn)題的復(fù)雜性遞進(jìn)的方式精心挑選的。再看全班演示過(guò)程中的師生對(duì)話，它常以“教師提問(wèn)—學(xué)生回答—教師反饋”的形式循環(huán)。有經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)教師的提問(wèn)，常常不局限于讓學(xué)生知道是什么（如正弦、余弦的值總是不超過(guò)1），而且讓學(xué)生明白為什么（因?yàn)槿切蔚男边叴笥谥苯沁叄?/p>

作業(yè)講評(píng)是緊跟著學(xué)生的獨(dú)立作業(yè)（包括課堂作業(yè)和家庭作業(yè)）、小組作業(yè)和測(cè)驗(yàn)的一個(gè)環(huán)節(jié)。教師A和B花在這種教學(xué)活動(dòng)上的時(shí)間占整個(gè)課堂教學(xué)時(shí)間的25%左右，教師C則達(dá)40%，這可能是因?yàn)榻處烠所教學(xué)生屬于中下水平，所以需要更多的時(shí)間督促學(xué)生訂正錯(cuò)誤。這種教學(xué)活動(dòng)看起來(lái)也是教師主導(dǎo)的，但是討論的內(nèi)容圍繞學(xué)生作業(yè)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，幫助學(xué)生從錯(cuò)誤中學(xué)習(xí)，而且常常展示問(wèn)題的詳細(xì)解答過(guò)程和多種解法；講評(píng)的目的并不是最終的正確答案，而是幫助訂正學(xué)生解題步驟中的錯(cuò)誤概念和過(guò)程。

卡爾教授對(duì)三名教師的課堂教學(xué)研究總結(jié)如下。（1）廣角鏡頭式：課堂結(jié)構(gòu)很類(lèi)似，基本上是先設(shè)置教學(xué)情境，將舊知識(shí)與新的教學(xué)內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)；然后老師解釋概念或展示解決問(wèn)題的步驟；接著布置課堂作業(yè)；最后講評(píng)課堂作業(yè)。這樣的課堂看起來(lái)是以教師為中心的，主要由教師的揭示和學(xué)生的練習(xí)組成，可能會(huì)被誤解為灌輸和機(jī)械練習(xí)。（2）特寫(xiě)鏡頭式：這些課常由緊密安排的D—S—R循環(huán)組成；每一個(gè)循環(huán)都有特定的教學(xué)目標(biāo)，各個(gè)循環(huán)又是根據(jù)知識(shí)內(nèi)容循序推進(jìn)的；用于全班演示的例題常常是精心挑選的、按從易到難的順序呈現(xiàn)的；學(xué)生完成課堂作業(yè)時(shí)，教師在教室巡視，給有困難的學(xué)生提供即時(shí)的指導(dǎo)，選擇合適的學(xué)生作業(yè)用于后續(xù)的課堂討論，所以教師通過(guò)課堂作業(yè)了解學(xué)生對(duì)課程內(nèi)容的理解，生成形成性評(píng)價(jià)，并對(duì)自己的教學(xué)進(jìn)行主動(dòng)調(diào)整；通過(guò)針對(duì)學(xué)生課堂作業(yè)和家庭作業(yè)進(jìn)行的全班形式的講評(píng)幫助學(xué)生深化對(duì)相關(guān)學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解。所以看似是以教師為中心的課堂，實(shí)則既是以教師為中心的，更是以學(xué)生為中心的。

該研究還調(diào)查了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的看法，數(shù)據(jù)來(lái)源于課后對(duì)學(xué)生的訪談。對(duì)學(xué)生的訪談，除了讓學(xué)生說(shuō)出課堂上哪部分的內(nèi)容對(duì)他們是有意義的，還以如下兩個(gè)問(wèn)題進(jìn)行結(jié)構(gòu)性訪談：（1）對(duì)你來(lái)說(shuō)，這節(jié)課好嗎？（2）如果不好，要怎么改變才會(huì)讓你覺(jué)得它是一節(jié)好的數(shù)學(xué)課呢？通過(guò)對(duì)重點(diǎn)聚焦組學(xué)生的訪談發(fā)現(xiàn)，D、S、R這些教學(xué)活動(dòng)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)都是有意義的，而且學(xué)生認(rèn)為如果一節(jié)課包括下列特點(diǎn)中的一部分就是好的數(shù)學(xué)課：（1）教師能清晰地解釋概念和解題過(guò)程；（2）教師能通過(guò)示范、使用教具和現(xiàn)實(shí)生活中的例子將復(fù)雜的知識(shí)變得容易消化；（3）教師能回顧舊知識(shí)；（4）教師講解新知識(shí)；（5）教師能通過(guò)對(duì)學(xué)生的作業(yè)和小組報(bào)告給個(gè)人和全班學(xué)生以反饋；（6）對(duì)課內(nèi)外的數(shù)學(xué)活動(dòng)，教師能給出明確的指示；（7）教師能提供有趣的活動(dòng)作為個(gè)人或小組作業(yè)；（8）教師能提供足夠的練習(xí)幫助學(xué)生為考試作準(zhǔn)備。

綜合三名教師的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究和學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的看法，可以得到提高教師的課堂教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量的教學(xué)活動(dòng)有：（1）全班演示，具體包括教師清晰地解釋概念和解題過(guò)程，通過(guò)示范、使用教具和現(xiàn)實(shí)生活中的例子將復(fù)雜的知識(shí)變得容易消化，講解新知識(shí)等3項(xiàng)；（2）課堂作業(yè)，具體包括教師對(duì)課內(nèi)外的數(shù)學(xué)活動(dòng)能給出明確的指示，提供有趣的活動(dòng)作為個(gè)人或小組作業(yè)，提供足夠的練習(xí)幫助學(xué)生為考試作準(zhǔn)備等3項(xiàng)；（3）回顧和反饋，具體包括教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧先前的知識(shí)，和教師通過(guò)對(duì)學(xué)生的作業(yè)和小組報(bào)告給個(gè)別學(xué)生或全班以反饋等2項(xiàng)。

四 傳統(tǒng)教學(xué)與東亞國(guó)家學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

卡爾教授引用了兩段文字說(shuō)明數(shù)學(xué)教育界對(duì)東亞國(guó)家數(shù)學(xué)教學(xué)的看法：

“一般認(rèn)為，東亞的教學(xué)是很傳統(tǒng)的，這也是東亞國(guó)家的學(xué)生能在TIMSS和PISA（國(guó)際學(xué)生評(píng)估項(xiàng)目的簡(jiǎn)稱(chēng)）中表現(xiàn)優(yōu)異的主要原因。”[3]

“東亞的數(shù)學(xué)教學(xué)，主要是內(nèi)容導(dǎo)向的，并且是為考試作準(zhǔn)備的。教學(xué)主要是教師控制的，學(xué)生參與極少。教學(xué)通常是全班式的，班級(jí)通常較大，幾乎沒(méi)有小組活動(dòng)，強(qiáng)調(diào)死記硬背，學(xué)生需要做大量的練習(xí)，以培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)技能，而不是發(fā)展透徹的理解。”[4]

那么東亞的教學(xué)能否作為新加坡學(xué)校的數(shù)學(xué)教學(xué)的準(zhǔn)確指南呢？新加坡的被稱(chēng)為核心2的研究（The CORE 2 Study）結(jié)果可以部分回答該問(wèn)題。核心2的研究關(guān)注的是九年級(jí)的數(shù)學(xué)和英語(yǔ)教學(xué)實(shí)踐，數(shù)據(jù)來(lái)自新加坡32所有代表性的中學(xué)約120個(gè)班級(jí)，涉及學(xué)生超過(guò)4000名，數(shù)據(jù)收集工作在2010年完成。

該研究運(yùn)用結(jié)構(gòu)方程模型(Structural Equation Modeling,簡(jiǎn)寫(xiě)為SEM)分析如下四種教學(xué)模型之間的關(guān)系：（1）傳統(tǒng)教學(xué)，包括5個(gè)構(gòu)成要件，即對(duì)工作紙和練習(xí)冊(cè)的關(guān)注，對(duì)教材的關(guān)注，對(duì)基本事實(shí)、法則和解題過(guò)程的練習(xí)，對(duì)背誦的關(guān)注，和為考試作準(zhǔn)備；（2）直接教學(xué)，包括5個(gè)構(gòu)成要件，即學(xué)習(xí)時(shí)間最大化，教師評(píng)講學(xué)生作業(yè)，教學(xué)結(jié)構(gòu)條理清晰，練習(xí)的頻率，以及提問(wèn)的頻率；（3）為理解而教，包括11個(gè)構(gòu)成要件，分別是關(guān)注理解，提問(wèn)質(zhì)量，交流學(xué)習(xí)目標(biāo)和表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)，好奇心和興趣，靈活的教學(xué)，全班討論，小組協(xié)作，教師對(duì)小組作業(yè)的指導(dǎo)，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的監(jiān)控，對(duì)個(gè)別學(xué)生的反饋，以及對(duì)全體學(xué)生的集體反饋；（4）共控學(xué)習(xí)策略，包括3個(gè)構(gòu)成要件，即自主學(xué)習(xí)、自我評(píng)價(jià)和同伴互評(píng)。自主學(xué)習(xí)包括教師鼓勵(lì)學(xué)生設(shè)置自己的學(xué)習(xí)目標(biāo)、確定實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的策略及時(shí)常檢查目標(biāo)是否按計(jì)劃逐步達(dá)成。自我評(píng)價(jià)包括教師讓學(xué)生對(duì)自己的作業(yè)評(píng)分、解釋評(píng)分的原因、期望學(xué)生討論各自的評(píng)分及鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)自己的作業(yè)寫(xiě)評(píng)語(yǔ)。同伴互評(píng)包括教師讓學(xué)生給其他同學(xué)的作業(yè)評(píng)分、解釋評(píng)分的原因、期望學(xué)生討論對(duì)他人的評(píng)分及鼓勵(lì)學(xué)生給他人的作業(yè)寫(xiě)評(píng)語(yǔ)。

學(xué)生對(duì)這四種教學(xué)模型使用頻率的評(píng)分均值依次為3.69、3.67、3.38和3.01。傳統(tǒng)教學(xué)的均值最高可能導(dǎo)致人們得出新加坡的數(shù)學(xué)教學(xué)與前述的東亞數(shù)學(xué)教學(xué)一致的結(jié)論，但是從傳統(tǒng)教學(xué)與其他教學(xué)模型的相關(guān)系數(shù)來(lái)看，我們可以得出不同的結(jié)論。傳統(tǒng)教學(xué)、直接教學(xué)與為理解而教的教學(xué)之間呈現(xiàn)較強(qiáng)的相關(guān)性，而傳統(tǒng)教學(xué)與共控學(xué)習(xí)策略、直接教學(xué)與共控學(xué)習(xí)策略的較低的相關(guān)系數(shù)也解釋了教師在課堂上的積極作用。

霍根等人對(duì)四種教學(xué)模型的SEM模型分析[3]結(jié)果表明：（1）四種教學(xué)模型組成一個(gè)大的、復(fù)雜的、擬合程度很高的整體模型；（2）傳統(tǒng)教學(xué)有通往直接教學(xué)的路徑，直接教學(xué)有通往為理解而教的教學(xué)的路徑，但為理解而教的教學(xué)沒(méi)有通往傳統(tǒng)教學(xué)或直接教學(xué)的路徑；（3）這些教學(xué)模型之間的線性遞歸關(guān)系表明新加坡九年級(jí)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一致連貫性和有機(jī)組合的特點(diǎn)。

基于霍根等人的研究，卡爾教授得出：新加坡的數(shù)學(xué)課堂并不能簡(jiǎn)單地歸結(jié)為東方的或西方的，而應(yīng)當(dāng)是二者的有機(jī)結(jié)合。新加坡的數(shù)學(xué)教學(xué)有如下特點(diǎn)：（1）傳統(tǒng)教學(xué)為教學(xué)的有序進(jìn)行提供了基礎(chǔ)；（2）直接教學(xué)以傳統(tǒng)教學(xué)為基礎(chǔ)，從而拓展和升華了教學(xué)實(shí)踐；（3）為理解而教的教學(xué)和共控學(xué)習(xí)策略又以傳統(tǒng)教學(xué)和直接教學(xué)為基礎(chǔ)，進(jìn)一步拓展了教學(xué)實(shí)踐，將教學(xué)過(guò)程引向發(fā)展學(xué)生的理解和學(xué)生自主的學(xué)習(xí)。

那么究竟是什么將上述四種教學(xué)模型聯(lián)系成有序的教學(xué)實(shí)踐呢？是四種教學(xué)實(shí)踐，即傳統(tǒng)教學(xué)實(shí)踐中的考試準(zhǔn)備和課本中心，以及直接教學(xué)實(shí)踐中的復(fù)習(xí)、結(jié)構(gòu)化和清晰度。（其中結(jié)構(gòu)化和清晰度是一種）在這四種教學(xué)實(shí)踐中，考試準(zhǔn)備是最突出的，它直接或間接地將四種教學(xué)模型聯(lián)系在一起；從考試準(zhǔn)備到傳統(tǒng)教學(xué)和為理解而教的教學(xué)模型有九條不同的直接的路徑，另外，還有多條間接的路徑將考試準(zhǔn)備與其余的教學(xué)實(shí)踐關(guān)聯(lián)起來(lái)。

五 啟示

卡爾教授的報(bào)告較完整地呈現(xiàn)了如何在西方的研究體系中全面、深入地描述新加坡的數(shù)學(xué)教學(xué)特點(diǎn)，以解釋新加坡學(xué)生取得較好成績(jī)的緣由。

從新加坡中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐的角度來(lái)看，它們與我國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)有很多類(lèi)似的地方，如課堂主要由教師的全班演示、學(xué)生練習(xí)、評(píng)講等環(huán)節(jié)組成，注意學(xué)生課堂上作業(yè)完成的情況，及時(shí)為有困難的學(xué)生提供指導(dǎo)，講評(píng)學(xué)生的作業(yè)并結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)情況調(diào)整教學(xué)內(nèi)容和進(jìn)度。新加坡在繼承華人數(shù)學(xué)教學(xué)傳統(tǒng)的基礎(chǔ)上，在建國(guó)以來(lái)的50多年里，積極吸取西方數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)并將其與傳統(tǒng)教學(xué)相結(jié)合，如：（1）注重學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，而不再?gòu)?qiáng)調(diào)死記硬背；（2）通過(guò)生活中的例子、教具或啟發(fā)式提問(wèn)來(lái)幫助學(xué)生理解概念、發(fā)展技能，新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)的模型化方法的使用幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)關(guān)系[5]；（3）課堂上使用有趣的、多樣的教學(xué)活動(dòng)啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。哪里來(lái)的時(shí)間給教師完成這些需要較長(zhǎng)時(shí)間的活動(dòng)呢？新加坡每次的數(shù)學(xué)課程改革，都很謹(jǐn)慎地縮減課程內(nèi)容，每次約10%[6]。

從中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究的角度來(lái)說(shuō)，除了從宏觀的角度描述教學(xué)過(guò)程，我們還需要深入分析教師在課堂上使用的問(wèn)題、師生的對(duì)話、學(xué)生的理解等更細(xì)致的方面，如課堂上使用的問(wèn)題如何層層推進(jìn)，幫助學(xué)生建構(gòu)對(duì)相關(guān)概念的理解等。

[1]Stigler J.W.,amp;Hiebert J..The teaching gap:Best ideas from the world′s teachers for improvingeducation in the classroom[M].New York:Free Press，1999.

[2]HiebertJ.，etal.Teachingmathematicsin seven countries:Results from the TIMSS 1999 video study[R].U.S.Department of Education,National Centre for Education Statistics，2003.

[3]Hogan D.，et al.Assessment and the logicof instructional practice in Secondary 3 English and mathematics classrooms in Singapore[J].Review of Education,2013，1(1).

[4]Leung F.K.S..In search of an East Asian identityin mathematicseducation[J].Educational Studies in Mathematics,2001，47(1).

[5]Jiang C.L.，amp;Chua B.L..Strategies for solving three fraction-related word problems on speed:A comparative study between Chinese andSingapore students[J].International Journal of Science and Mathematics Education，2010(8).

[6]Lee P.Y..60 years of mathematics syllabus andtextbooksinSingapore[M].Chicago：Paper presented at the FirstInternationalMathematics Curriculum Conference，2005.

（作者單位：澳門(mén)大學(xué)教育學(xué)院）