實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)及kriging響應(yīng)面在優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用*

徐興偉，胡曉兵，武韶敏，趙清祥

(四川大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院，成都 610065)

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)及kriging響應(yīng)面在優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用*

徐興偉，胡曉兵，武韶敏，趙清祥

(四川大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院，成都 610065)

為了減輕結(jié)構(gòu)自重，需對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。而復(fù)雜工程優(yōu)化問題中，設(shè)計(jì)變量多且多屬于非線性問題，所以對(duì)工程優(yōu)化問題存在著計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)、優(yōu)化效率低且準(zhǔn)確性難以判斷等特點(diǎn)。將代理模型引入在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，并通過實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法得到實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)點(diǎn)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)點(diǎn)建立Kriging響應(yīng)面，對(duì)Kriging響應(yīng)面模型進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。得出該方法對(duì)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)有很顯著的效果。最后以門式起重機(jī)主梁為例，建立對(duì)應(yīng)的Kriging響應(yīng)面進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，使用該方法優(yōu)化后，其門式起重機(jī)主梁自重減輕了20%，并采用有限元方法驗(yàn)證了結(jié)果的準(zhǔn)確性。對(duì)研究輕量化設(shè)計(jì)有著重要的參考及借鑒意義。

Kriging；優(yōu)化設(shè)計(jì)；代理模型；實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

0 引言

對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化、輕量化設(shè)計(jì)等方法大量得到推廣。針對(duì)這一問題，許多專家、學(xué)者提出不同優(yōu)化方法對(duì)結(jié)構(gòu)、工藝等參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，以獲得全局最優(yōu)。而代理模型是重要的優(yōu)化方法，有計(jì)算量小、不降低精度等優(yōu)點(diǎn)。常用代理模型有標(biāo)準(zhǔn)二次型、徑向基函數(shù)、Kriging等模型。文獻(xiàn)[2]提出利用二階多項(xiàng)式響應(yīng)面方法建立近似模型對(duì)大客車車身骨架進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。然而對(duì)于復(fù)雜工程問題往往是高度非線性問題，若采用一階、二階響應(yīng)面方法建立近似模型只適合簡(jiǎn)單線性問題，但不適合復(fù)雜非線性的工程優(yōu)化問題。文獻(xiàn)[3]提出基于徑向基函數(shù)近似模型對(duì)GOlinski's減速器進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，擬合精度較高。但對(duì)于多設(shè)計(jì)變量計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)且準(zhǔn)確性難以判斷等缺點(diǎn)。文獻(xiàn)[4]提出基于Kriging模型的翼型氣動(dòng)性能優(yōu)化設(shè)計(jì)并說明Kriging代理模型的優(yōu)越性。Kaymaz[5]、Sakata S[6]等人將Kriging方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化、多學(xué)科優(yōu)化以及可靠性分析中，并說明了Kriging響應(yīng)面具有良好的非線性效果。根據(jù)以上論文及國(guó)內(nèi)外研究情況發(fā)現(xiàn)，一階、二階等多項(xiàng)式響應(yīng)面模型簡(jiǎn)單，計(jì)算量較小，但是對(duì)于高度非線性、多變量的工程問題很難得到解決；徑向基函數(shù)近似模型具有擬合度較好，但計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)且準(zhǔn)確性難以判斷等特點(diǎn)。所以將Kriging響應(yīng)面應(yīng)用在復(fù)雜工程優(yōu)化問題上。該響應(yīng)面模型對(duì)解決非線性的工程優(yōu)化問題具有良好的效果、且具有計(jì)算效率高、時(shí)間短，響應(yīng)面擬合效果好、結(jié)果準(zhǔn)確性高等特點(diǎn)。為了證明該方法的有效性，以門式起重機(jī)為實(shí)例，建立Kriging響應(yīng)面并對(duì)Kriging響應(yīng)面進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，最后采用有限元方法驗(yàn)證結(jié)果的準(zhǔn)確性。最終減輕了結(jié)構(gòu)的自重，說明該方法對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)有著重要的重要。

1 基于代理模型優(yōu)化流程

傳統(tǒng)優(yōu)化方法有周期長(zhǎng)、精度不準(zhǔn)、對(duì)結(jié)果驗(yàn)證困難等特點(diǎn)。基于這一問題，提出基于代理模型優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。其優(yōu)化流程如圖1所示。為解決復(fù)雜工程優(yōu)化問題，提高效率和優(yōu)化結(jié)果的準(zhǔn)確性，該響應(yīng)面模型采用Kriging響應(yīng)面，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法采用最優(yōu)拉丁超立方，使整個(gè)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)點(diǎn)均勻分布在空間中[7]。

圖1 基于代理模型優(yōu)化設(shè)計(jì)流程

1.1 優(yōu)化設(shè)計(jì)模型建立

優(yōu)化設(shè)計(jì)一般包括設(shè)計(jì)變量、約束條件以及目標(biāo)函數(shù)。其中設(shè)計(jì)變量是在優(yōu)化設(shè)計(jì)最終確定的和相互獨(dú)立的設(shè)計(jì)參數(shù)；約束條件是對(duì)設(shè)計(jì)變量取值的限制條件；目標(biāo)函數(shù)是以設(shè)計(jì)變量為自變量，以所要求的目標(biāo)為因變量的函數(shù)。使得目標(biāo)函數(shù)f(x)獲得全局最優(yōu)，其數(shù)學(xué)模型為：

(1)

式中，f(x)、g(x)和h(x)分別為目標(biāo)函數(shù)、不等式約束函數(shù)和等式約束函數(shù)；其中n設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)，m、p表示對(duì)應(yīng)約束函數(shù)個(gè)數(shù)。xiu、xid分別為設(shè)計(jì)變量的上限和下限。

1.2 基于Kriging(克里金)響應(yīng)面模型建立

Kriging響應(yīng)面是一種多維插值技術(shù)，同時(shí)考慮全局和局部的共同影響因素。而工程問題往往是復(fù)雜多變且多具有高度非線性特點(diǎn)。Kriging響應(yīng)面通過所有設(shè)計(jì)點(diǎn)，因此擬合度更好，適用于高度非線性的復(fù)雜工程優(yōu)化問題。既可以解決各向同性問題，也可以解決各向異性問題且可以避免一次響應(yīng)面，二次響應(yīng)面等擬合度較差、且可能陷入局部最優(yōu)等問題?；贙riging方法，其輸出參數(shù)等于全局的設(shè)計(jì)空間加上局部偏差。其表達(dá)式：

(2)

(3)

式中，σ2為方差，θ為相關(guān)函數(shù)的參數(shù)，用于衡量樣本點(diǎn)t和樣本點(diǎn)u之間相關(guān)性隨兩點(diǎn)間的距離增加的衰減度，相關(guān)性越小，生成的響應(yīng)面越光滑。

(4)

(5)

n為變異函數(shù)的維數(shù)，θ為相關(guān)函數(shù)的參數(shù)，d為數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的距離。

利用實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)點(diǎn)形成一個(gè)相關(guān)矩陣：

(6)

其中，n為數(shù)據(jù)點(diǎn)總數(shù)，利用加權(quán)最小二乘法，得到Kriging模型的多項(xiàng)式參數(shù)：

(7)

其中,x為實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)點(diǎn)組成的系數(shù)矩陣；Y為實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中設(shè)計(jì)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值。同樣，方差的估計(jì)值：

(8)

最后通過實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的樣本點(diǎn)和相關(guān)函數(shù)確定基函數(shù)系數(shù)β、高斯隨機(jī)方差:

(9)

最終生成Kriging響應(yīng)面，其任意設(shè)計(jì)點(diǎn)的預(yù)測(cè)值：

(10)

1.3 基于Kriging(克里金)響建立響應(yīng)面的具體步驟

建立Kriging響應(yīng)面之前，需要進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，其建立Kriging響應(yīng)面流程如圖2所示。建立Kriging(克里金)響應(yīng)面后，并對(duì)擬合度進(jìn)行檢驗(yàn)，檢查生成的響應(yīng)面P值、R2及R2(adj)、s值、失擬分析、殘差圖。

圖2 建立Kriging響應(yīng)面流程圖

2 算例——門式起重機(jī)主梁優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 門式起重機(jī)優(yōu)化模型建立

門式起重機(jī)主梁屬于箱形梁，由上下翼緣板和左右腹板組成。如圖3,門式起重機(jī)截面圖以及參數(shù)。其中X1為主梁高度、X2、X3為左右腹板，X4和X5是上下翼緣板。本文采用的模型是45t門式起重機(jī)，其中主要參數(shù)為：主梁總長(zhǎng)度38m、跨度為L(zhǎng)=22m、懸臂端長(zhǎng)16m、額定起升載荷45t、小車自重35t、小車基距為5m。其設(shè)計(jì)變量的初始值以及取值區(qū)間如表1所示。其優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為結(jié)構(gòu)的自重最輕，材料最省。

圖3 門式起重機(jī)的截面以及參數(shù)

在門式起重機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，其設(shè)計(jì)變量:

(11)

表1設(shè)計(jì)變量初始值及取值區(qū)間

2.2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

在建立Kriging響應(yīng)面之前，需要進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)建立樣本點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)點(diǎn)不同會(huì)導(dǎo)致建立的響應(yīng)面擬合精度不同。所以選擇實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法對(duì)提高響應(yīng)面的擬合精度有著至關(guān)重要的重要。最優(yōu)拉丁超立方是對(duì)拉丁超立方抽樣方法的改進(jìn)，其抽樣次數(shù)和拉丁超立方一致。在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)，實(shí)驗(yàn)次數(shù)的選擇一般取N=2n-3n(n為變量數(shù))可得到精度要求[8]。本文采用最優(yōu)拉丁超立方抽樣方法，并進(jìn)行27次實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，如表2。

表2 最優(yōu)拉丁超立方實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

2.3 建立Kriging響應(yīng)面

根據(jù)已生成的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)點(diǎn)，建立Kriging響應(yīng)面。如圖4設(shè)計(jì)變量對(duì)等效應(yīng)力響應(yīng)；圖5設(shè)計(jì)變量與位移的響應(yīng)；圖6設(shè)計(jì)變量對(duì)結(jié)構(gòu)質(zhì)量響應(yīng)面。并使用相對(duì)誤差法進(jìn)行擬合度檢驗(yàn)，其擬合度誤差都在0.95以上[9-10]。

圖4 設(shè)計(jì)變量對(duì)等效應(yīng)力響應(yīng)

圖5 設(shè)計(jì)變量對(duì)位移的響應(yīng)

圖6 設(shè)計(jì)變量對(duì)質(zhì)量的響應(yīng)

2.4 靈敏度分析

結(jié)構(gòu)靈敏度是反映結(jié)構(gòu)性能指標(biāo)對(duì)某些結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化梯度，在優(yōu)化設(shè)計(jì)中可以反映設(shè)計(jì)變量的結(jié)果影響情況大小的程度。通過靈敏度分析得出靈敏度曲線圖，可以確定對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的最敏感參數(shù)，同時(shí)對(duì)于不顯著的因素進(jìn)行忽略，從而減少設(shè)計(jì)變量和計(jì)算時(shí)間。如圖7采用ansys軟件得到門式起重機(jī)靈敏度曲線圖。在靈敏度曲線圖中，設(shè)計(jì)變量為正值時(shí)，表示隨設(shè)計(jì)變量的增加，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)值增加；設(shè)計(jì)變量為負(fù)值，表示設(shè)計(jì)變量的增加，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)值減小。根據(jù)靈敏度圖可知，設(shè)計(jì)變量X1、X2、X3、X4、X5越大，最大位移減少，等效應(yīng)力減少，而質(zhì)量增加。而對(duì)質(zhì)量、等效應(yīng)力、最大位移影響最大的設(shè)計(jì)變量為X1。

圖7 門式起重機(jī)靈敏度曲線圖

3 優(yōu)化設(shè)計(jì)

通過把幾何模型生成響應(yīng)面模型，再用ANSYS提供的多目標(biāo)遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，迭代400次。得出5個(gè)最優(yōu)的方案如表3，表4各優(yōu)化方案計(jì)算結(jié)果的對(duì)比。根據(jù)表4可以得出：方案4最優(yōu)。在滿足約束條件作用下，方案4質(zhì)量最小，自重從12503.5/kg降低到了9881/kg,質(zhì)量降低了20%，而采用多項(xiàng)響應(yīng)面的優(yōu)化結(jié)果為10082.1/kg。其采用多項(xiàng)式響應(yīng)面與Kriging響應(yīng)面對(duì)比如表5所示。表5顯示采用Kriging建立響應(yīng)面的時(shí)間少于建立多項(xiàng)式響應(yīng)面模型時(shí)間，且采用Kriging響應(yīng)面的結(jié)果自重更輕。

表3 優(yōu)化方案

表4 方案結(jié)果對(duì)比

表5 2種近似模型優(yōu)化結(jié)果

4 結(jié)果驗(yàn)證

建立有限元模型，把優(yōu)化后的方案4參數(shù)帶入有限元中進(jìn)行結(jié)果驗(yàn)證。采用ANSYS軟件建立模型并進(jìn)行有限元計(jì)算，得出如圖8最大等效應(yīng)力圖和圖9最大位移云圖。由云圖可以得出最大的應(yīng)力為112MPa，最大位移為30.404，而優(yōu)化后的方案4的最大應(yīng)力為113.51MPa，最大位移為30.29mm。表明了采用響應(yīng)面優(yōu)化與實(shí)際結(jié)果只相差1%左右。所以使用該代理模型的方法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)得出的結(jié)果是非常有效的[11-12]。

圖8 等效應(yīng)力云圖

圖9 位移云圖

5 結(jié)論

(1)將代理模型引入優(yōu)化設(shè)計(jì)中，建立一種基于代理模型優(yōu)化設(shè)計(jì)的一般流程。通過推導(dǎo)出Kriging方程，采用最優(yōu)拉丁超立方實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)建立試驗(yàn)點(diǎn)，通過實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)點(diǎn)和Kriging方程建立Kriging響應(yīng)面。從而把優(yōu)化幾何模型轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)模型，再通過優(yōu)化算法對(duì)Kriging響應(yīng)面進(jìn)行優(yōu)化，最后得出最優(yōu)結(jié)果。

(2)以門式起重機(jī)為算例，建立Kriging響應(yīng)面模型。采用Kriging建立響應(yīng)面，再通過ANSYS提供的多目標(biāo)遺傳算法對(duì)響應(yīng)面進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。最終結(jié)構(gòu)自重減輕了20%。

(3)引入Kriging模型在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，解決了以往優(yōu)化設(shè)計(jì)中時(shí)間較長(zhǎng)、效率較低結(jié)果準(zhǔn)確性難以判斷等確定。為復(fù)雜的工程優(yōu)化問題提供參考和借鑒。

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(編輯 李秀敏)

Experimental Design and Response Surface of Kriging in the Application of the Optimization Design

XU Xing-wei, HU Xiao-bing, WU Shao-min，ZHAO Qing-xiang

(School of Manufacturing Science and Engineering, Sichuan University, Chengdu 610065,China)

to reduce the weight of structure，we need to do structure optimization .but design variables are much and generally belong to nonlinear problem on complex engineering optimization problems.so there are many problems such as long computing time, low efficiency and accuracy for optimization and it is difficult to evaluate the consequences, etc. Introduce surrogate model in optimization design to establish Kriging response surface model through experimental design point and optimize Kriging response surface model.It is concluded that the method have a significant effect on structure optimization design. Finally establish Kriging response surface model for gantry crane. The weight of the structure are reduced by 25% after using Kriging response surface model in optimization design. the accuracy of the results is verified by finite element method.it has an important reference structure optimization.

Kriging; optimization; surrogate model; experimental design

1001-2265(2017)01-0062-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.01.017

2016-04-13;

2016-04-29

四川省科技計(jì)劃項(xiàng)目(2015GZ0032，2016GZ0169)

徐興偉(1991—)，男，四川宜賓人，四川大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)，(E-mail)307295710@qq.com；通訊作者：胡曉兵(1970—),男，武漢人，四川大學(xué)教授，碩士研究生導(dǎo)師，研究方向?yàn)橹悄苤圃?、CAD/CAM/CAPP，(E-mail)815183384@qq.com。

TH122;TG68

A