基于粒子群算法的機(jī)床支承件不確定性多目標(biāo)優(yōu)化*

馬雅麗,徐 濤,錢 峰

(大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024)

基于粒子群算法的機(jī)床支承件不確定性多目標(biāo)優(yōu)化*

馬雅麗,徐 濤,錢 峰

(大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024)

考慮支承件材料密度、彈性模量以及切削載荷的不確定性，提出基于不確定性分析的支承件多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。以某型號(hào)機(jī)床主軸箱為例，基于靈敏度分析方法選取對(duì)切削點(diǎn)位移和主軸箱重量影響較大的特征尺寸作為優(yōu)化變量；以支持向量機(jī)方法構(gòu)建切削點(diǎn)位移、主軸箱重量和主軸箱一階固有頻率的近似模型；基于穩(wěn)健性考慮建立優(yōu)化問題目標(biāo)函數(shù)，以主軸箱固有頻率為約束，利用粒子群算法對(duì)此多目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行優(yōu)化。優(yōu)化結(jié)果在滿足設(shè)定頻率要求的前提下，得到切削點(diǎn)位移減小和主軸箱重量減輕的最優(yōu)解集。

不確定性；多目標(biāo)；近似模型；粒子群算法

0 引言

為保證機(jī)床精度，支承件設(shè)計(jì)需滿足各項(xiàng)性能指標(biāo)。采用傳統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)法和相似產(chǎn)品類比法設(shè)計(jì)機(jī)床支承件，效果遠(yuǎn)達(dá)不到預(yù)期要求，且設(shè)計(jì)周期長(zhǎng)、效率低[1-2]。支承件設(shè)計(jì)制造過程中存在的各種不確定性因素，更使得傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法無(wú)法滿足現(xiàn)代高精度機(jī)床的設(shè)計(jì)要求。因此在不確定性因素影響下，研究支承件滿足多性能需求的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，成為機(jī)床設(shè)計(jì)的一個(gè)重要方向。

不確定性多目標(biāo)優(yōu)化方法可在充分考慮各不確定因素的情況下，使設(shè)計(jì)的各項(xiàng)性能指標(biāo)達(dá)到預(yù)期水平，因此也越來越多地被用來解決實(shí)際問題。VoβT等[3]針對(duì)進(jìn)化多目標(biāo)優(yōu)化中存在噪聲的問題，提出了一種新的穩(wěn)健選擇策略。Tenerelli P等[4]提出一種多標(biāo)準(zhǔn)、多目標(biāo)和不確定性分析的方法來評(píng)估能源作物轉(zhuǎn)換的一系列可能性。Cardona-Valdés Y等[5]提出基于客戶需求不確定性的雙目標(biāo)供應(yīng)鏈設(shè)計(jì)方法。

常規(guī)有限元方法無(wú)法解決由于不確定因素引入帶來的不確定性建模問題，也無(wú)法提供用于不確定性多目標(biāo)優(yōu)化的算法。本文以某型號(hào)機(jī)床主軸箱為例，根據(jù)主軸箱特征尺寸對(duì)剛度、重量的靈敏度分析選取優(yōu)化變量；利用支持向量機(jī)方法建立主軸箱的近似模型；利用一階固有頻率作為約束，保證主軸箱的動(dòng)態(tài)性能；采用粒子群算法求解主軸箱不確定性多目標(biāo)優(yōu)化問題。

1 主軸箱不確定性多目標(biāo)優(yōu)化問題

支承件主要性能評(píng)價(jià)指標(biāo)有靜剛度、重量和動(dòng)態(tài)性能，因此本節(jié)就如何建立旨在提高支承件各項(xiàng)性能的不確定性多目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行了闡述。

基于粒子群算法求解立足不確定性多目標(biāo)優(yōu)問題的流程如圖1所示。

圖1 主軸箱不確定性多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)流程

1.1 不確定性多目標(biāo)優(yōu)化問題描述

考慮不確定因素影響的支承件多目標(biāo)優(yōu)化問題不同于常規(guī)多目標(biāo)優(yōu)化問題。本文以支承件切削點(diǎn)位移和支承件重量為目標(biāo)，以支承件一階固有頻率為約束，建立目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)都包含不確定變量的不確定性多目標(biāo)優(yōu)化問題。則帶約束的支承件不確定性多目標(biāo)優(yōu)化問題可描述為：

1.2 不確定性多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化

在不確定因素的影響下，機(jī)床切削點(diǎn)位移、主軸箱重量和主軸箱一階固有頻率也會(huì)是區(qū)間值，這里采用其區(qū)間中點(diǎn)值來衡量支承件性能的優(yōu)劣：

考慮到靜剛度穩(wěn)健性會(huì)對(duì)主軸箱性能產(chǎn)生深刻影響，此處計(jì)入切削點(diǎn)位移波動(dòng)區(qū)間大小，則主軸箱不確定性多目標(biāo)優(yōu)化問題最終轉(zhuǎn)化為：

1.3 基于粒子群算法的不確定性多目標(biāo)優(yōu)化

不確定性多目標(biāo)優(yōu)化問題屬于復(fù)雜的嵌套優(yōu)化問題。這就要求優(yōu)化算法需能精確求解優(yōu)化目標(biāo)不確定區(qū)間、且求解速度快。為此，本文選用粒子群算法進(jìn)行主軸箱不確定性多目標(biāo)優(yōu)化問題求解。

粒子群算法作為一種較新的智能算法，以其全局搜索能力強(qiáng)和求解速度快的特點(diǎn)[6-7]，被越來越多的應(yīng)用到求解多目標(biāo)優(yōu)化問題。粒子群算法優(yōu)化過程中，個(gè)體粒子會(huì)以自身的飛行經(jīng)驗(yàn)以及群體的飛行經(jīng)驗(yàn)來調(diào)整飛行速度。假設(shè)一個(gè)群落由m個(gè)粒子組成，第i個(gè)粒子位置為xi，速度為vi，i=1,2…，m。其個(gè)體搜索到的歷史最優(yōu)位置為pbesti，整個(gè)群落搜索到的歷史最優(yōu)位置為gbesti，則第i個(gè)粒子演化公式如下：

其中：w為慣性權(quán)重，c1和c2為加速系數(shù)。

為加強(qiáng)不確定性多目標(biāo)優(yōu)化算法的全局搜索能力，本文采用加入max-min(最大最小)適應(yīng)度函數(shù)的改進(jìn)多目標(biāo)粒子群算法來對(duì)主軸箱不確定性多目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行優(yōu)化，該算法能夠提高非劣最優(yōu)解集的分散程度。算法中第i個(gè)粒子u(設(shè)該種群有N個(gè)粒子)的max-min適應(yīng)值求解過程如下：首先求解粒子u和其他粒子在m個(gè)目標(biāo)函數(shù)差值的最小值：

然后上述集合中最大值作為粒子u的max-min適應(yīng)值：

2 主軸箱支持向量機(jī)模型建立

采用粒子群算法對(duì)主軸箱不確定性多目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行優(yōu)化，若每次都調(diào)用有限元軟件求解優(yōu)化目標(biāo)，求解效率會(huì)非常低，因此建立高效的近似模型來代替有限元模型成為了解決這一問題的有效途徑。

支持向量機(jī)(SVM)作為近年來發(fā)展迅速的近似建模方法，其在實(shí)際工程問題中國(guó)應(yīng)用越來越廣泛[8]。非線性支持向量機(jī)是在線性支持向量機(jī)基礎(chǔ)上加入核函數(shù)得到的。支持向量機(jī)算法的核心思想是：利用核函數(shù)將樣本數(shù)據(jù)映射到特征空間中；按照樣本點(diǎn)在特征空間中距離近似超平面的大小排序；將離近似超平面最近的一定量的樣本與本次近似超平面的支持向量構(gòu)成新的訓(xùn)練樣本；以上述訓(xùn)練樣本構(gòu)建新的近似超平面；如此循環(huán)往復(fù)，最終得到所有支持向量。支持向量機(jī)模型記為：

利用支持向量機(jī)方法建立主軸箱近似模型，需要首先確定不確定性多目標(biāo)優(yōu)化問題的優(yōu)化變量和不確定變量。

2.1 不確定變量的選取

支承件不確定性多目標(biāo)優(yōu)化問題中不確定變量的選取影響設(shè)計(jì)結(jié)果的可靠程度，按照不確定因素對(duì)支承件性能影響大小選取不確定變量，在此基礎(chǔ)上的設(shè)計(jì)將會(huì)表現(xiàn)出良好的穩(wěn)健性。

支承件材料屬性與支承件重量、機(jī)床切削點(diǎn)位移和支承件固有頻率密切相關(guān)，機(jī)床切削載荷更是直接影響著切削點(diǎn)位移大小，選取主軸箱材料密度、彈性模量及切削載荷為不確定變量。鑄鐵密度不確定區(qū)間參考鋼鐵材料手冊(cè)取值；鑄鐵彈性模量依據(jù)文獻(xiàn)[9]計(jì)算得到；切削載荷依據(jù)機(jī)床典型工況，并參考文獻(xiàn)[10]劃定變化區(qū)間，所有不確定變量及其變化區(qū)間見表1。

表1 不確定變量變化區(qū)間

2.2 基于靈敏度分析選取優(yōu)化變量

選取對(duì)優(yōu)化目標(biāo)(切削點(diǎn)位移、主軸箱重量)靈敏度較高的主軸箱特征尺寸，作為主軸箱多目標(biāo)優(yōu)化問題的優(yōu)化變量。

建立如圖2所示主軸箱三維模型，選取主軸箱主要外形尺寸、主要壁板尺寸和主要筋板尺寸作為靈敏度分析參數(shù)，分別有側(cè)壁板厚P1、水平壁板厚P2、隔板厚P3、主軸支承孔壁厚P4、筋板厚P5和筋板寬P6。

圖2 主軸箱三維模型

將切削點(diǎn)位移和主軸箱重量作為靈敏度分析的評(píng)價(jià)指標(biāo)，利用ANSYS workbench軟件建立6個(gè)靈敏度分析參數(shù)與評(píng)價(jià)指標(biāo)間的靈敏度分析模型，最后輸出靈敏度分析柱狀圖(見圖3)。

圖3 特征尺寸靈敏度柱狀圖

圖3中分別表示特征尺寸對(duì)切削點(diǎn)位移和主軸箱重量的靈敏度大小。由圖可以看出側(cè)壁板厚P1、水平壁板厚P2、隔板厚P3對(duì)切削點(diǎn)位移和主軸箱重量的靈敏度比較高。因此選取這3個(gè)特征尺寸作為主軸箱不確定性多目標(biāo)優(yōu)化問題的優(yōu)化變量，分別為主軸箱側(cè)壁板厚、水平壁板厚、隔板厚，其取值區(qū)間見表2。其他為選為優(yōu)化變量的特征尺寸則按照各自靈敏度高的評(píng)價(jià)指標(biāo)達(dá)到最高時(shí)的尺寸圓整得到(主軸支承孔壁厚P4為10mm，筋板厚P5為23mm，筋板寬P6為66mm)。

表2 優(yōu)化變量區(qū)間

2.3 支持向量機(jī)模型建立過程及其精度驗(yàn)證

采用拉丁超立方試驗(yàn)方法有效減少采樣數(shù)量，最大化數(shù)據(jù)利用率，以此建立支承件近似模型。支持向量機(jī)模型建立過程如下：

首先，將拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法得到的優(yōu)化變量和不確定變量的300組設(shè)計(jì)點(diǎn)，使用ANSYS Workbench中進(jìn)行非線性有限元計(jì)算，得到相應(yīng)的切削點(diǎn)位移D、主軸箱重量M和一階固有頻率f1；利用支持向量機(jī)方法構(gòu)建設(shè)計(jì)變量和不確定變量與切削點(diǎn)位移D、主軸箱重量M和一階固有頻率f1的SVM模型；再次隨機(jī)抽取抽取3組對(duì)比點(diǎn)，將其有限元模型計(jì)算值和SVM模型計(jì)算值對(duì)比，若誤差在允許范圍內(nèi)，則證明近似模型符合要求。

表3給出主軸箱切削點(diǎn)位移、主軸箱重量和一階固有頻率的SVM模型計(jì)算值與有限元模型計(jì)算值進(jìn)行對(duì)比，并求得誤差，可以看出其誤差都在1.5%以內(nèi)，以此可證明SVM模型精度達(dá)到要求。

表3 主軸箱有限元模型與SVM模型對(duì)比表

3 求解結(jié)果分析

圖4 Pareto最優(yōu)解集

相對(duì)于優(yōu)化前主軸箱(切削點(diǎn)位移均值5.26μm，位移區(qū)間0.78μm，重量233.8kg)，選取圖4中重量在220kg附近的最優(yōu)解，切削點(diǎn)均值可降至4.59μm，位移區(qū)間降至0.62μm，重量降至215.8kg。由此可看出，優(yōu)化后的主軸箱各項(xiàng)性能均有了比較明顯的提升。

圖5 最優(yōu)解集的一階固有頻率

4 結(jié)論

本文考慮支承件材料屬性和切削載荷的不確定性，采用支持向量機(jī)方法解決了有限元方法無(wú)法建立不確定優(yōu)化模型的問題。運(yùn)用改進(jìn)的嵌套粒子群算法對(duì)加入一階固有頻率約束的主軸箱不確定性多目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行求解。優(yōu)化后的主軸箱，在保證固有頻率不低于原模型的情況下，剛度提高14.6%，穩(wěn)健性提升25.8%，質(zhì)量降低8.3%。

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(編輯 李秀敏)

Machine Tool Support Uncertainty Multi-objective Optimization Based on Particle Swarm Optimization Algorithm

MA Ya-li，XU Tao，QIAN Feng

(School of Mechanical Engineering,Dalian University of Technology, Dalian Liaoning 116024, China)

A machine tool support multi-objective optimization method based on uncertainty analysis has been proposed, in which the uncertainty of support density, modulus and cutting loads are considered. A case study on a particular type of machine tool spindle box has been carried out using this method. First, the optimization variables are selected out based on the sensitivity analysis of spindle box feature sizes relative to the cutting point displacement and the column weight. Then the approximation models of cutting point displacement, spindle box weight and spindle box first inherent frequency are established. Next, the objective function of the optimization problem is built by considering robustness, with the spindle box first inherent frequency as the constraint. By adopting particle swarm optimization algorithm, the spindle box multi-objective optimization problem is solved. Finally, the optimal solution set of cutting point displacement decreasing and spindle box weight losing is obtained which satisfies the given frequency request.

uncertainty; multi-objective; approximation model; genetic algorithm

1001-2265(2017)01-0001-03

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.01.001

2016-05-04；

2016-05-18

國(guó)家科技重大專項(xiàng)(2015ZX04005002);國(guó)家科技重大專項(xiàng)(2015ZX04014-021-03)

馬雅麗(1963—)，女，遼寧鞍山人，大連理工大學(xué)副教授，博士，研究方向?yàn)闄C(jī)械設(shè)計(jì)理論與方法，(E-mail)myl@ dlut.edu.cn；通訊作者：徐濤(1989—)，男，滿族，山東青島人，大連理工大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)闄C(jī)床結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，(E-mail)xutao4412008@163.com。

TH122；TG506

A