剖析個案，感悟類比思維之魅力

文︳易大中 宋紅霞

剖析個案，感悟類比思維之魅力

文︳易大中 宋紅霞

學(xué)生個案

“老師，我通過了二中創(chuàng)新班的考試！”QQ上出現(xiàn)了一條報喜的信息，也就意味著一場面對市初三學(xué)生進行的50名精英選拔考試，學(xué)生陳通過了！學(xué)生陳在我五年的數(shù)學(xué)教學(xué)中，是一個總能給我的課堂帶來精彩的學(xué)生。停下手中的活，師生之間開始了一番對話。

【對話摘要】2016年6月，學(xué)生陳臨近初中畢業(yè)。

生：老師，我通過了二中創(chuàng)新班的考試！數(shù)學(xué)好難，但是考得不錯！

師：哇，你好棒！恭喜你！

生：您還記得嗎？曾經(jīng)我提出一猜想：扇形面積就是弧長乘半徑除以2！其實那個圓環(huán)面積也可以是（內(nèi)圓周長+外圓周長）×（外圓半徑-內(nèi)圓半徑）÷2。說扇形可以理解為曲邊三角形，圓環(huán)就可以理解為曲邊梯形。這些都是一條藤上的。（傳過來兩張圖，如圖所示）式子展開后與標準算式一致。

……

看著他傳過來的兩張圖和兩句話“這些都是一條藤上的”“式子展開后與標準算式一致”，震撼之余，作為教師的我也陷入了沉思，三年前精彩的一幕又再現(xiàn)眼前。

【精彩回放】2013年6月，學(xué)生陳臨近小學(xué)畢業(yè)。

正在進行平面圖形面積整理與復(fù)習教學(xué)，學(xué)生陳一臉疑惑地舉著手。往往此時，我都會給他機會，因為作為一個愛提問題的孩子，他的問題總能帶給我們一次精彩的辯論或有意義的探究活動。果不其然——

生：我猜想扇形面積就是弧長乘半徑除以2，對不？

師：說說你猜想的理由。

生：在圓面積公式推導(dǎo)過程中，我們可以設(shè)想將圓剪成很多個等分的三角形再拼成一個長方形，兩個一樣的扇形同樣可以拼成長方形，面積不就是弧長乘半徑除以2？

正當我想回應(yīng)時，他接著說：“如果是對的，那么圓的面積也可以是圓周長乘半徑除以2！”……從猜想的理由，到“如果……那么……”的推理，很明顯，他是對的。

至于對話中提過“圓環(huán)面積就是內(nèi)外兩個圓的周長乘半徑差除以2”一事，的確問過，只記得當時有個學(xué)生說“這也太復(fù)雜了吧！”而我可能因為從沒去想過，或是認同了后者說的復(fù)雜，“敷衍了他”?，F(xiàn)在想想實覺慚愧！

剖析與思考

再思考與學(xué)生陳的對話和片段回想時，一個關(guān)于數(shù)學(xué)思維能力的核心詞“類比思維”突顯在腦中，再加以剖析，對于類比思維的認識也隨之越來越明晰。

學(xué)生陳根據(jù)類比，認為扇形與圓形都可以等分成若干個小三角形再拼成一個長方形，將圓面積公式推導(dǎo)方法遷移到扇形面積公式推導(dǎo)上，這就是合情推理中的類比推理。類比推理就是依據(jù)兩個對象之間有著某些相同或相似的屬性，推出它們存在其他相同或相似屬性的思維方法。根據(jù)學(xué)生陳的思維呈現(xiàn)，類比推理可以表示如下：

這樣看來，一個類比原型應(yīng)該包括新問題和原問題兩個部分。原問題與新問題之間是平行的，在解決新問題之時聯(lián)想到與之相似的原問題，通過已經(jīng)掌握的、非常熟悉的原問題，類比解決新問題。

波利亞曾形象地說：“類比是一個偉大的領(lǐng)路人。”通過學(xué)生陳，我才真正明白這句話的意義所在：一是類比能促進學(xué)生自主學(xué)習與創(chuàng)新意識的培養(yǎng)；二是像學(xué)生陳將所有平面圖形想象成一個梯形，根據(jù)這些平面圖形的相似性，類比推理得出最基本的面積公式“（上底+下底）×高÷2”的行為，能建構(gòu)完整的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，形成知識網(wǎng)絡(luò)。這應(yīng)該就是類比的魅力所在，這魅力也讓我對類比思維的滲透與引導(dǎo)有了一些思考。

1.引導(dǎo)學(xué)生運用類比思維之時，注重作類方法整理。

數(shù)學(xué)課程的各個領(lǐng)域都提供了豐富的讓學(xué)生生成類比思維的素材。教學(xué)中，我們應(yīng)該充分調(diào)動學(xué)生的已有經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生運用自己認為與當前學(xué)習內(nèi)容相似的、已學(xué)會的知識與方法進行學(xué)習。如，小數(shù)、分數(shù)的運算定律的學(xué)習，可以引導(dǎo)學(xué)生回憶整數(shù)運算定律的建構(gòu)過程再進行自主探究，最后通過回顧與整理，有意識地讓學(xué)生形成“辨別—分化—類化—抽象—檢驗—概括—符號化”的概念學(xué)習類方法。這種類方法才是剔除知識之外，最有價值的科學(xué)研究元素。

2.學(xué)生自主建構(gòu)類比之時，注意給予時空驗證。

從學(xué)生陳的學(xué)習行為來看，類比既是一種探究新問題的方法，更體現(xiàn)了他的一種思維能力。當他自我建構(gòu)類比之時，對于他自我的認識有一定的解釋權(quán)。但這種認識僅是一種有依據(jù)的猜想。對此，教師更應(yīng)該給予時間和空間，協(xié)助他在合作討論和評價中得以驗證。如，當他自主類比得出扇形面積就是弧長乘半徑除以2時，我給予了一節(jié)課時間，讓學(xué)習小組展開探究。驗證時，有的組運用假設(shè)法，先求出半徑是4厘米的的圓面積，再用弧長乘半徑除以2，然后比較結(jié)果是否一樣來求證猜想；也有的組就像分割圓形一樣，將扇形分割成若干個小三角形，再拼成一個近似的長方形，推想出扇形面積就是弧長乘半徑除以2。通過自主探索，學(xué)生深化了認識，類比聯(lián)想到，“圓的面積也可以等于圓周長乘半徑除以2”的結(jié)論。當學(xué)生陳的類比思維讓其他同學(xué)經(jīng)歷了大膽猜想、主動探究、細心驗證的過程時，不僅加深了大家對圓的面積和周長公式之間轉(zhuǎn)換關(guān)系的理解，更收獲了運用類比揭示規(guī)律的喜悅，增強了學(xué)習數(shù)學(xué)的樂趣。

3.運用類比思維建構(gòu)的知識網(wǎng)絡(luò)，作橫縱引導(dǎo)。

當知識構(gòu)建成網(wǎng)絡(luò)，知道知識之間的內(nèi)在聯(lián)系時，學(xué)生就能從更高的角度整體把握知識，使知識得到橫向拓寬或縱向遞進的深化。比如，學(xué)生陳運用類比思維對平面圖形面積的整理與建構(gòu)，我們可以思考立體圖形體積的整理與建構(gòu)，其中就圓柱體積的探究，運用類比，可以充分調(diào)動學(xué)生回顧原問題長方體、正方體體積公式探究過程，產(chǎn)生對新問題圓柱體積公式的猜想：圓柱體積也是底面積乘高。在給予充足的時空驗證時，又可以以此為新問題，讓學(xué)生聯(lián)想相似的原問題——圓面積公式的推導(dǎo)，通過剪拼將圓柱體轉(zhuǎn)換成長方體，找尋聯(lián)系，得出結(jié)論。在作整體建構(gòu)時，讓學(xué)生思考為什么都可以是“立體圖形的體積等于底面積乘以高”？如果是這樣，那么圓錐的體積還能是底面積乘高嗎？……這樣的探究過程，學(xué)生不僅學(xué)會，更指向?qū)W生會學(xué)。

這樣看來，在數(shù)學(xué)教學(xué)中運用類比，可以讓數(shù)學(xué)學(xué)習更容易、更生動有趣。同時，長期的引導(dǎo)與滲透，不僅有利于學(xué)生數(shù)學(xué)知識的網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)，更有利于學(xué)生自主探索與創(chuàng)新思維的培養(yǎng)，不愧是“數(shù)學(xué)學(xué)習偉大的引路人”！

【本文是湖南省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題“區(qū)域推進義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教與學(xué)銜接的實踐研究”（課題批準號：XJK013CZXX065）研究成果】

（作者單位：株洲市荷塘區(qū)星光小學(xué)）