分析彈性地基一般支承輸流管道的動力學特性

包日東， 李珊珊

(沈陽化工大學 能源與動力工程學院，沈陽 110142)

分析彈性地基一般支承輸流管道的動力學特性

包日東， 李珊珊

(沈陽化工大學 能源與動力工程學院，沈陽 110142)

研究Pasternak雙參數(shù)地基一般支承輸流管道的線性固有頻率及非線性動力學特性。綜合考慮管道黏彈性系數(shù)、地基的剪切效應、線性剛度的影響，建立了系統(tǒng)運動微分方程。根據(jù)兩端一般支承的邊界條件推導出線性系統(tǒng)固有頻率方程，分析了基礎(chǔ)激勵與脈動流作用下，流速對系統(tǒng)非線性動力學特性的影響。數(shù)值結(jié)果表明，管道一階臨界流速隨彈性系數(shù)的增大呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢，當彈性系數(shù)足夠大時，管道隨流速的增加發(fā)生一階、二階模態(tài)耦合現(xiàn)象；系統(tǒng)響應隨流速變化呈現(xiàn)由倍周期分岔過渡到混沌運動的特性；當管內(nèi)流體流速足夠大時，系統(tǒng)響應保持混沌運動狀態(tài)。

彈性地基; 輸流管道; 固有頻率; 混沌運動; 非線性動力學

輸流管道廣泛應用于各領(lǐng)域，諸如能源工程、海洋工程、化工、機械、航天航空等。目前國內(nèi)外針對懸臂、兩端固定支承以及一般支承下的管道動力學特性進行了大量的研究[1-6]。在實際工程應用中，輸流管道通常被鋪設(shè)于地上，從而會受到土壤的作用，相當于在管道周圍加了彈性地基支承。王忠民等[7-8]采用有限差分法得到了黏彈性地基輸流管道頻率與流速等參數(shù)的關(guān)系。在彈性地基的近似模型中，Winkler地基模型和Pasternak雙參數(shù)模型應用較多[9-10]，后者能夠?qū)⒄麄€地基模型更精確的聯(lián)系起來，更加接近實際情況。梁峰等[10]通過復模態(tài)方法分析了雙參數(shù)彈性地基兩端固定輸流管道在彈性地基線性剛度與剪切剛度作用下前兩階固有頻率和靜態(tài)失穩(wěn)臨界流速，得出了剪切剛度對管道靜、動態(tài)穩(wěn)定性影響較大的結(jié)論。張紫龍等[11]對非線性彈性地基上懸臂輸流管剪切剛度進行了研究，得到隨地基剪切剛度的增大，系統(tǒng)狀態(tài)將由概周期運動，逐漸轉(zhuǎn)變成為周期運動的結(jié)論。管道在彈性支承下的穩(wěn)定性與一般支承相比復雜得多，因此，進一步研究輸流管道的振動特性具有十分重要的意義。

本文基于Pasternak雙參數(shù)地基模型，綜合考慮彈性地基的剪切效應、線性剛度和黏滯阻尼的影響，在文獻[12]基礎(chǔ)上，建立了基礎(chǔ)激勵作用下非線性彈性地基上一般支承輸流管的運動方程，采用動力學分析方法，通過改變管內(nèi)流速，探討流速對管道系統(tǒng)的固有頻率和非線性動力學特性的影響。

1 系統(tǒng)運動方程

如圖1所示的Pasternak雙參數(shù)彈性地基一般支承下的輸流管道模型。

圖1 彈性地基上一般支承管道示意圖Fig.1 Viscoelastic pipe conveying fluid on the viscoelastic foundation

Pasternak雙參數(shù)地基受力F與管道橫向形變y的關(guān)系式為[9]：

(1)

考慮Kelvin-Voigt黏彈性管材、管內(nèi)流體壓力效應和管道截面軸向力作用, 可得到彈性地基管道振動微分方程：

(2)

式中:a為管道黏彈性系數(shù)；mf為單位長度流體質(zhì)量；L為管道長度；U為管道內(nèi)流體流速；P為管道內(nèi)壓力；v為管材泊松比；Af為管道過流截面面積；A為管道有效橫截面面積；T為管道單元截面所承受的軸力；m為單位長度管道總質(zhì)量；x為管道截面位置坐標；y為管道橫向形變，t為時間，EI為管道抗彎剛度；G為剪切剛度；K為等效線性彈簧剛度。

引入下列無量綱參數(shù)：

將方程(2)化為無量綱形式，得到：

(3)

在實際工程中，要考慮基礎(chǔ)簡諧運動聯(lián)合激勵和脈動流的影響，可以將流速與壓力以及簡諧運動表示為以下形式

(4)

式中:u，p分別為流速與壓力的平均值；μ,ρ分別為相對于u,p的小量，κ,?分別為流速和壓力的脈動頻率；h為無量綱振幅；ω為無量綱激勵頻率。

將式(4)代入式(3)，得到管道的運動微分方程：

(5)

考慮端部對稱支承情形，

KT1=KT1=KT、K1=K2=KL

并令，

分別表示KT和KL的無量綱量。圖1所示的管道模型，其模態(tài)函數(shù)的表達式見文獻[12]。對式(5)進行Galerkin離散化，整理后可得：

(6)

將式(6)進一步整理為：

(7)

(8)

式中，

式中:rij、sij分別為矩陣R、S的元素，Q1、Q2分別為Q用狀態(tài)參數(shù)表示的元素。

2 流體流速對管道線性系統(tǒng)固有頻率的影響

取離散化的管道運動微分方程(8)線性部分，即

(9)

其本征方程為

ω4+P1ω3+P2ω2+P3ω+P4

(10)

(11)

式(10)的本征值為復數(shù)，振動的頻率以及衰減系數(shù)由其虛部和實部確定，通過變化管道流體流速，分析其對管道固有頻率的影響。

數(shù)值計算時取p=5，β=0.2，Г=5，α=0.002，k=1，σ=1，得到圖2所示的不同支承和約束剛度下管道固有頻率隨流速變化的規(guī)律。

由圖2中的四種不同支承和約束剛度下管道固有頻率隨流速變化曲線可見，管道固有頻率隨流速的增大而減小，當一階固有頻率降低為零時，管道發(fā)生屈曲，也就是靜態(tài)失穩(wěn)現(xiàn)象。當彈性系數(shù)較小時，增大彈性系數(shù)有利于提高管道發(fā)生靜態(tài)失穩(wěn)現(xiàn)象時的臨界流速，如圖2(a)中一階失穩(wěn)流速從kl=kt=100時的6.95提高到kt=kl=300時的8.47。繼續(xù)增大彈性系數(shù)，管道一階失穩(wěn)流速反而下降，如圖2(b)所示，當彈性系數(shù)為kt=kl=500和1 000時，相應的一階失穩(wěn)臨界流速分別為7.68和6.97。管道一階臨界流速隨彈性系數(shù)呈現(xiàn)出先增大后減小的特性，這與作者以前的研究結(jié)論[13]相同。另外，由圖2(b)可知，在流速為11.96時管道一階、二階模態(tài)會發(fā)生耦合現(xiàn)象，而對于較小的彈性系數(shù)，則不會發(fā)生耦合現(xiàn)象。在實際工程中，發(fā)生耦合現(xiàn)象的原因多是由于流速的迅速改變使流體場發(fā)生了高頻振蕩與脈沖現(xiàn)象[14]。

圖2 管道固有頻率隨流速變化曲線Fig.2 Variation of natural frequency with fluid flowrate inside pipeline

3 流體流速對管道非線性動力學特性的影響

管內(nèi)流體的流速，是研究管道系統(tǒng)振動特性的主要參數(shù)。輸流管道在流速的作用下會存在動態(tài)失穩(wěn)現(xiàn)象，通過對式(8)進行四階變步長Runge-Kutta法[15]迭代，得出系統(tǒng)在不同流速下的運動響應形態(tài)，經(jīng)過分析彈性地基產(chǎn)生分岔和混沌運動時的流速，進而得到流速對彈性地基輸流管道的非線性動力學特性的影響規(guī)律。

取數(shù)值仿真參數(shù)μ=0.1；Г=2；p=2；k=1；σ=1， 以平均流速u為分岔參數(shù)，結(jié)果如圖3～4所示。

圖3(a)～(d)分別表示管道不同參數(shù)條件下，系統(tǒng)響應隨流速u變化的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖。

圖3(a)所示是支承條件kl=kt=25，管道黏彈性系數(shù)為0.005，流體質(zhì)量比為0.2時，管道系統(tǒng)隨流速變化的分岔圖。從圖中可以看出，系統(tǒng)隨流體流速u的改變，表現(xiàn)出復雜的動態(tài)響應。在流速為(4,4.82)范圍內(nèi)，管道系統(tǒng)響應為準周期運動；在流速區(qū)間為(4.82,6.32)內(nèi)，系統(tǒng)響應隨流速增大出現(xiàn)倍周期分岔運動；在流速為(6.32,7.32)范圍內(nèi)，管道系統(tǒng)表現(xiàn)為陣發(fā)性混沌運動；隨著流速的進一步增大系統(tǒng)過渡到混沌運動，流速在(7.69,7.73)與(7.82,7.91)區(qū)間時，系統(tǒng)逐漸又出現(xiàn)倍周期分岔后轉(zhuǎn)為混沌運動。

圖3(b)所示為兩端彈性系數(shù)為25、管道黏彈性系數(shù)為0.003、流體質(zhì)量比β=0.2時管道系統(tǒng)響應隨流體速度變化的分岔圖。在流速區(qū)間為(7.6,7.8)內(nèi)，系統(tǒng)響應除了窄小區(qū)間為混沌運動外，主要表現(xiàn)為概周期運動形式。

由于學生成長的環(huán)境不同，受教育情況不同，有些學生思想政治意識欠佳，沒有樹立正確的世界觀、人生觀和價值觀，以致于遇到問題時，容易偏激，不能理性分析問題、解決問題，這在一定程度上增加了高校輔導員管理工作的難度。要想使學生擁有健全的思想政治意識，高校輔導員必須注重加強對學生的思想教育工作，使他們樹立正確的世界觀、人生觀和價值觀，養(yǎng)成良好的處事習慣。

圖3(c)和圖3(d)是管道黏彈性系數(shù)度系數(shù)為0.005、流體質(zhì)量比為0.2，兩種不同彈性支承系數(shù)下的管道系統(tǒng)響應隨流體速度u變化的分岔圖。從圖3(c)中可以看出，在流速區(qū)間(7.6,7.8)內(nèi)，系統(tǒng)響應主要為混沌運動。

圖3(d)和圖3(g)為相同條件下圖3(a)的局部放大圖和對應的最大Lyapunov指數(shù)圖。從圖中可以看出，當流速大于7.73時，隨著平均流速u的增大，系統(tǒng)逐漸由倍周期分岔進入混沌。

圖3 不同條件下隨管內(nèi)流速變化的系統(tǒng)響應分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.3 Bifurcation diagram and maximal Lyapunov exponent of constrained pipe system for flowrate under different elastic supporting conditions

圖3(e)是彈性系數(shù)為kl=kt=25、管道黏彈性系數(shù)為0.005、流體質(zhì)量比β=0.5，管內(nèi)平均流速區(qū)間為(3.9,4.5)時，管道系統(tǒng)響應的分岔圖。從分岔圖中可以看到系統(tǒng)響應先是表現(xiàn)為周期2運動，在流速為4.06時開始出現(xiàn)分岔現(xiàn)象，爾后相繼出現(xiàn)周期4、周期5、周期8運動形式。圖3(f)和圖3(h)為在相同條件下，系統(tǒng)響應隨平均流速u變化的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖。從圖中可以看出，流速在(7.6,7.8)期間，系統(tǒng)響應除出現(xiàn)間隔性小區(qū)間的概周期運動以外，這個流速區(qū)間內(nèi)主要表現(xiàn)為混沌運動，其最大Lyapunov指數(shù)為正值。

為了進一步更準確表述系統(tǒng)的非線性運動形式，除了圖3所示的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖外，圖4用相軌跡以及Poincare截面圖再次進行分析。圖4中的數(shù)值仿真參數(shù)取為與圖3(d)的仿真參數(shù)相同，即kl=kt=25，α=0.005，β=0.2，分別在四種不同流速下系統(tǒng)響應情況。

圖4 kl=kt=25,α=0.005,β=0.2時不同流速下管道系統(tǒng)響應的相軌跡、Poincare截面Fig.4 Development of phase portraits, Poincare maps and time trace with fluid flowrate under the supporting condition kl=kt=25,α=0.005,β=0.2

如圖4(a)可以直觀的看出在流速為4.2時，系統(tǒng)處于周期1運動狀態(tài)，圖4(b)所示為流速u=5.35時的系統(tǒng)運動形式是周期4。對比圖3(d)可知，圖4(c)所示的平均流速為7.67時管道系統(tǒng)響應為周期5運動形式，圖4(d)為u=7.76時的系統(tǒng)響應，已經(jīng)表現(xiàn)出了混沌運動的形式。

4 結(jié) 論

本文利用數(shù)值仿真方法，研究了彈性地基一般支承下輸流管道的流速對管道線性固有頻率和非線性特性的影響。得到如下結(jié)論。

(1)線性系統(tǒng)的固有頻率隨端部彈性系數(shù)的增大而減小，不同的端部彈性系數(shù)，其下降的速率不同。另外，隨彈性系數(shù)的增大，管道一階臨界流速為先增大后減小，當彈性系數(shù)增大到一定值，隨流速增加，管道會發(fā)生一、二階模態(tài)耦合現(xiàn)象。

(2)非線性系統(tǒng)在改變流速的條件下會發(fā)生復雜的周期運動、概周期運動和混沌運動等多種響應形式。隨著流體流速由小到大的變化，系統(tǒng)會由周期運動通過倍周期分岔進入混沌運動，轉(zhuǎn)變的過程中，將出現(xiàn)概周期運動形式。

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Dynamic characteristics of commonly supported fluid-conveying pipes on elastic foundation

BAO Ridong, LI Shanshan

(School of Energy and Power Engineering, Shenyang University of Chemical Technology, Shenyang 110142, China)

The linear natural frequencies and nonlinear dynamic characteristics of a fluid-conveying pipe under commonly supported conditions on Pasternak-type two-parameter elastic foundation were investigated. Synthetically considering viscoelastic coefficient of pipe, and influences of shear effect and linear stiffness of foundation, the differential equations of motion of the piping system were established. The natural frequency equation of the linear piping system was derived with the commonly supported boundary condition. The effects of flow velocity on the nonlinear dynamic behavior of the system under foundation excitation and pulsating flow were analyzed. Numerical results showed that the first critical flow velocity of the pipe system has the trend of increasing firstly and then decreasing with increase in elastic coefficient; when elastic coefficient is large enough, the modal-coupling phenomena of the first mode and the second one of the pipe system occur with increase in flow velocity; the system response has the feature of transition from period-doubling bifurcation into chaotic motion with increase in of flow rate; the system response keeps the chaotic motion state under the condition of enough large flow velocity．

elastic foundations; flow conveying pipe; natural frequency; chaotic motion; nonlinear dynamics

國家自然科學基金資助項目(51275315)

2015-06-02 修改稿收到日期：2015-12-29

包日東 男，博士，教授，1967年生

O326

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.01.030