考慮波紋度的薄壁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性強迫振動分析

康 鋒， 張耀強， 楊茹萍， 牛青波

(1. 河南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，河南洛陽 471003； 2.洛陽軸研科技股份有限公司，河南洛陽 471039)

考慮波紋度的薄壁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性強迫振動分析

康 鋒1， 張耀強1， 楊茹萍1， 牛青波2

(1. 河南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，河南洛陽 471003； 2.洛陽軸研科技股份有限公司，河南洛陽 471039)

在考慮內(nèi)外圈波紋度、徑向間隙和變?nèi)岫鹊确蔷€性因素的基礎(chǔ)上，建立薄壁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動力學(xué)微分方程組，利用RK4數(shù)值積分法對方程求解。結(jié)合分叉圖、龐加萊映射圖和頻域圖等，分析了薄壁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性強迫振動特性。結(jié)果表明：較大的不平衡力時系統(tǒng)的混沌振動范圍增大；不平衡力對系統(tǒng)水平方向振動的影響要遠(yuǎn)大于豎直方向；隨著轉(zhuǎn)速的增加，強迫振動頻率在系統(tǒng)振動響應(yīng)中逐漸占據(jù)主要地位。

薄壁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)；振動分析；波紋度；強迫振動

薄壁滾動軸承不僅具有摩擦阻力小，損耗功率低，結(jié)構(gòu)相對簡單，啟動容易等特點，而且有高剛性，低摩擦扭矩等特性，其也實現(xiàn)了極薄的軸承斷面，及產(chǎn)品的小型化和輕量化，作為旋轉(zhuǎn)機械中的重要基礎(chǔ)部件，在機器人手臂關(guān)節(jié)，航空發(fā)動機等結(jié)構(gòu)中得到廣泛應(yīng)用。在軸承加工制作過程中，由于技術(shù)工藝等原因，軸承滾道表面波紋度的產(chǎn)生是無法避免的，同時軸承在加工和長期的工作磨損下，也會造成其質(zhì)量的偏心，從而引起強迫振動。在軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，由于非線性激勵源的存在，常引發(fā)諸多用線性理論難以解釋的動力學(xué)現(xiàn)象和一些不可預(yù)測的破壞后果[1]。近年來，越來越多的科學(xué)工作者開始用非線性動力學(xué)理論來分析這些現(xiàn)象。WANG等[2]考慮了軸承波紋度等非線性因素對滾子軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響，其研究表明波紋度引起的振動頻率使系統(tǒng)產(chǎn)生強烈的振動。UPADHYAY等[3]研究了帶有波紋度和不平衡轉(zhuǎn)子的高速球軸承的非線性動力學(xué)特性，結(jié)果表明由于不平衡轉(zhuǎn)子和滾動體波紋度的作用，振動頻譜圖的最大振幅出現(xiàn)在波通過頻率和旋轉(zhuǎn)頻率及其組合頻率處。JANG等[4]提出一種在考慮滾動元件波紋度、離心力和陀螺力矩的影響下計算球軸承特性的分析方法，分析表明由于波紋度的影響，軸承振動頻率組成發(fā)生了變化。張耀強等[5]在考慮非線性因素和不平衡力的前提下建立動力學(xué)方程，對滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行分析，結(jié)果表明增大不平衡力，強迫振動會增強并誘發(fā)混沌振動。KIM等[6-7]所做的研究分析僅考慮了強迫振動，沒有涉及軸承內(nèi)外圈波紋度等相關(guān)參數(shù)。這些研究對軸承內(nèi)外圈波紋度和強迫振動等因素沒有充分考慮，分析對象都沒有涉及到薄壁滾動軸承。本文以薄壁滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對象，在考慮內(nèi)外圈波紋度，彈性接觸力、變?nèi)岫鹊确蔷€性因素和不平衡力的情況下，建立軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動力方程，采用RK4數(shù)值積分法求解，結(jié)合分叉圖，龐加萊映射圖和頻譜圖等對薄壁滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性強迫振動進(jìn)行了分析。

1 薄壁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)模型

薄壁滾動軸承主要承受徑向載荷，而軸向載荷則相對較小，對薄壁滾動軸承的非線性動力學(xué)振動特性影響較小[8]。圖1所示為薄壁滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)模型，軸承內(nèi)外圈分別與轉(zhuǎn)軸、機架剛性接觸，滾動體均勻分布在保持架當(dāng)中作純滾動[9]，內(nèi)外圈滾道表面具有正弦波的波紋度[10]，不計潤滑作用。圖2為薄壁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)內(nèi)部關(guān)系示意圖。

圖1 薄壁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)模型Fig.1 The dynamic model of the thin-walled bearing-rotor system

圖2 薄壁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)內(nèi)部關(guān)系示意圖Fig.2 Schematic diagram of the internal relationship in the thin-walled bearing-rotor system

1.1 軸承內(nèi)外套圈的波紋度

在時刻t，與第i個滾動體接觸的軸承外圈滾道的表面波紋度幅值qouti為：

qouti=Aoutsin(Nwφi+βout)i=1,2,3,…,Nb

(1)

式中：qouti為外圈滾道表面波紋度幅值；Aout為外圈滾道表面波紋度最大幅值；Nw為波紋度波數(shù)；βout為外圈波紋度初始相位角；Nb是滾動體個數(shù)。

φi是第i個滾動體在t時刻的角位置：

(2)

(3)

式中：ωcage,ωin分別為保持架和軸承內(nèi)圈角速度；Din,Dout分別為內(nèi)外套圈滾道直徑。

將式(2)代入式(1)中，整理后可得：

(4)

同理也可得到在時刻t與第i個滾動體接觸的軸承內(nèi)圈滾道表面波紋度幅值qini：

(5)

式中：Ain為內(nèi)圈滾道表面波紋度最大幅值；βin為內(nèi)圈波紋度初始相位角。

1.2 非線性軸承力

根據(jù)赫茲(Hertz)彈性接觸理論，圖2中第i個滾動體與內(nèi)外圈滾道間的非線性軸承力Fi與彈性接觸變形量ui之間的關(guān)系：

(6)

式中：τ值取3/2；kb為系統(tǒng)總接觸剛度。

從圖2可得第i個滾動體與內(nèi)外圈滾道間的接觸變形量ui：

ui=[(xcosφi+ysinφi)cosα-λ0+qini-qouti]+

i=1,2,…,Nb

(7)

式中：x,y分別為軸承內(nèi)圈中心點在豎直和水平方向上的位移；α為滾動軸承的接觸角；λ0為軸承的徑向間隙；下標(biāo)“+”表示如果括號內(nèi)的值為負(fù)或0，取ui=0。

把式(7)代入到式(6)中，可得到第i個滾動體與內(nèi)外圈滾道接觸的非線性軸承力：

(8)

在薄壁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，非線性軸承力F是所有非線性軸承力Fi的總和。根據(jù)式(8)可得：

(9)

1.3 薄壁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性振動微分方程

根據(jù)Lagrange方程，可得薄壁滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性振動微分方程：

(10)

式中：m為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)內(nèi)圈、轉(zhuǎn)子軸和滾動體的總質(zhì)量；c為軸承運轉(zhuǎn)時的等效阻尼系數(shù)；ω為轉(zhuǎn)子軸的旋轉(zhuǎn)角速度；W為施加在轉(zhuǎn)子上的恒定垂直力；FW為質(zhì)量偏心引起的不平衡力。

滾動軸承在運轉(zhuǎn)過程中，其轉(zhuǎn)子依次通過荷載區(qū)，在荷載的作用線下，有轉(zhuǎn)子和無轉(zhuǎn)子這兩種情況的徑向柔度是不等的。轉(zhuǎn)子每次通過荷載區(qū)，都會產(chǎn)生一次振動，這種振動就是變?nèi)岫日駝印Ｅc此同時，轉(zhuǎn)子軸質(zhì)量的偏心也會引起系統(tǒng)發(fā)生強迫振動。而滾動體每次通過軸承內(nèi)圈波紋度波峰時，系統(tǒng)也會出現(xiàn)一次振動，這種振動被稱為波通過振動[11]WPV(Wave Passage Vibration)。變?nèi)岫日駝宇l率fvc，強迫振動頻率ffv，波通過振動頻率fwpv分別可以表示為：

(11)

(12)

(13)

變?nèi)岫阮l率fvc與強迫振動頻率ffv的關(guān)系：

fvc=ffv×BN

(14)

(15)

式中：BN是與薄壁軸承參數(shù)相關(guān)的系數(shù)，其值取決于軸承的尺寸。

2 非線性強迫振動分析

以某機器人薄壁軸承單元為例進(jìn)行動態(tài)模擬分析。此薄壁滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的主要參數(shù)：m=6.0 kg；W=10 N；軸承等效阻尼系數(shù)根據(jù)文獻(xiàn)[12]中的公式計算得到c=220 N·s/m。滾動軸承的主要參數(shù)：Nb=42；滾動軸承內(nèi)圈滾道直徑Din=213.808 mm；外圈滾道直徑Dout=236.284 mm；接觸角α=20°；徑向間隙λ0=10 μm。

由于軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)方程的強非線性特性，本文采用了RK4法進(jìn)行求解，積分步長取一個激勵周期的1/300，計算結(jié)果以分叉圖、Poincaré映射圖、頻譜圖等形式呈現(xiàn)出來。

2.1 阻尼系數(shù)的強迫振動分析

在實際工程中，阻尼存在于任何振動系統(tǒng)中，其對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響不容忽視。取系統(tǒng)工作轉(zhuǎn)速nrotor=2 300 r/min，不平衡力FW=0.05 W，圖3為x方向位移隨阻尼系數(shù)變化的分叉圖及在不同阻尼系數(shù)下的Poincaré映射圖。

圖3 x方向位移隨阻尼系數(shù)變化的分叉圖和Poincaré映射圖Fig.3 Bifurcation diagram of x-displacement with damping and Poincaré diagram

從圖3(a)可以看出，阻尼系數(shù)較小時，系統(tǒng)振動響應(yīng)為混沌狀態(tài)，如圖(b)所示阻尼系數(shù)c=39 N·s/m時，其Poincaré映射圖為一無規(guī)則的無窮點集；隨著阻尼系數(shù)的變化，當(dāng)c=110 N·s/m時，系統(tǒng)振動的Poincaré映射圖變?yōu)榘敕忾]曲線；當(dāng)阻尼系數(shù)c=220 N·s/m時，其Poincaré映射圖為一封閉曲線，此時系統(tǒng)處于擬周期振動狀態(tài)。由此可得，系統(tǒng)在高阻尼下的振動響應(yīng)比在低阻尼穩(wěn)定。

2.2 僅考慮外圈波紋度的強迫振動分析

波紋度和不平衡力是影響滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動力學(xué)特性的重要因素。取外圈波紋度最大幅值A(chǔ)out=1 μm，不平衡力FW=0.05 W。

從圖4所示的x方向位移隨轉(zhuǎn)速變化的分叉圖中可以看出，系統(tǒng)存在2個混沌區(qū)，在轉(zhuǎn)速nrotor=630～810 r/min和1 430～2 010 r/min范圍系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。圖5所示為轉(zhuǎn)速nrotor=740 r/min時x方向的Poincaré映射圖，圖中映射點為一無序點集，故此時系統(tǒng)處于混沌振動狀態(tài)，工作時應(yīng)避開此轉(zhuǎn)速段。隨著轉(zhuǎn)速的增加，系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔，在轉(zhuǎn)速nrotor=820 r/min時進(jìn)入4周期振動狀態(tài)，在轉(zhuǎn)速nrotor=970 r/min時進(jìn)入2周期振動，然后系統(tǒng)經(jīng)第二混沌區(qū)、1周期和擬周期振動最終穩(wěn)定在1周期振動狀態(tài)。圖6(a)為轉(zhuǎn)速nrotor=1 020 r/min時的Poincaré映射圖，由于圖中只有2個映射點，說明系統(tǒng)處于2周期振動狀態(tài)。圖6(b)為轉(zhuǎn)速nrotor=3 680 r/min的Poincaré映射圖，因為圖中映射點集為一封閉圓，所以此時系統(tǒng)處于擬周期振動。圖7(a)(b)所示為轉(zhuǎn)速nrotor=1 020 r/min的頻譜圖，由圖可知x方向主要是變?nèi)岫阮l率fvc及其倍頻、分頻分量，y方向不僅含有強迫振動頻率，而且有強迫振動頻率ffv與變?nèi)岫阮l率的組合頻率，其振動響應(yīng)較x方向復(fù)雜。

圖4 x方向位移隨轉(zhuǎn)速變化的分叉圖Fig.4Bifurcationdiagramofx-displacementwithspeed圖5 轉(zhuǎn)速nrotor=740r/min時x方向的Poincaré映射圖Fig.5Poincarémapofx-directionat740r/min

圖6 轉(zhuǎn)速nrotor=1 020, 3 680 r/min時x方向Poincaré映射圖Fig.6 Poincaré map of x-direction at 1 020, 3 680 r/min

圖7 轉(zhuǎn)速nrotor=1 020 r/min的頻譜圖Fig.7 Spectrogram of at 1 020 r/min

在其他參數(shù)不變的情況下，取不平衡力FW= 0.25W。圖8為x方向位移隨轉(zhuǎn)速變化的分叉圖，由圖可知系統(tǒng)混沌區(qū)個數(shù)增加到3個，分別為轉(zhuǎn)速nrotor=520～860 r/min，nrotor=1 430～2 520 r/min和nrotor=3 150～3 390 r/min，混沌區(qū)的范圍也有所擴大。圖9所示為轉(zhuǎn)速nrotor=3 680的Poincaré映射圖，其映射點為一無序點集，可知系統(tǒng)處于混沌振動狀態(tài)。對比圖7(a)(b)和圖10(a)(b)可知，增大不平衡力，x方向出現(xiàn)了新的峰值頻率，即強迫振動頻率，y方向多出了變?nèi)岫阮l率的分頻和倍頻分量，x方向最大振幅變化僅為0.94 μm，y方向由1.31 μm增加到4.49 μm，變化超過3 μm。分析可知，不平衡力引起的強迫振動使系統(tǒng)混沌區(qū)增大，其對水平y(tǒng)方向振動響應(yīng)的影響要遠(yuǎn)大于豎直x方向。

圖8 x方向位移隨轉(zhuǎn)速變化的分叉圖Fig.8Bifurcationdiagramofx-displacementwithspeed圖9 轉(zhuǎn)速nrotor=3680r/min的Poincaré映射圖Fig.9Poincarémapofat3680r/min

圖10 轉(zhuǎn)速nrotor=1 020 r/min頻譜圖Fig.10 Spectrogram of at 1 020 r/min

2.3 僅考慮內(nèi)圈波紋度的強迫振動分析

取內(nèi)圈波紋度最大幅值A(chǔ)in=1 μm，不平衡力FW=0.05 W。

圖11、圖12、圖13分別為轉(zhuǎn)速nrotor=740, 2 050, 3 680 r/min的頻譜圖。從圖11(a)(b)中可得出，系統(tǒng)在轉(zhuǎn)速nrotor=740 r/min時x方向以波通過振動頻率fwpv為主，y方向主要是強迫振動頻率的倍頻分量，強迫振動與變?nèi)岫日駝拥慕M合頻率分量較小，從其頻率組成中可以得出水平y(tǒng)方向比豎直x方向振動復(fù)雜。當(dāng)轉(zhuǎn)速nrotor=2 050 r/min時，從圖12(a)(b)中可看出x方向波通過頻率分量減少，同時有新的峰值頻率出現(xiàn)，即強迫振動頻率及其倍頻分量，y方向振動頻率組份變得簡單，僅含有強迫振動頻率和其倍頻分量。從圖13(a)(b)中可以看出，在轉(zhuǎn)速nrotor=3 680 r/min時x方向強迫振動頻率明顯增大，波通過頻率減小，y方向僅含有強迫振動頻率。由此可得，隨著轉(zhuǎn)速的遞增，強迫振動頻率在系統(tǒng)振動響應(yīng)中逐漸增強。

圖11 轉(zhuǎn)速nrotor=740 r/min的頻譜圖Fig.11 Spectrogram of at 740 r/min

圖12 轉(zhuǎn)速nrotor=2 050 r/min的頻譜圖Fig.12 Spectrogram of at 2 050 r/min

圖13 轉(zhuǎn)速nrotor=3 680 r/min的頻域圖Fig.13 Spectrogram of at 3 680 r/min

圖14 轉(zhuǎn)速nrotor=3 680 r/min的頻譜圖Fig.14 Spectrogram of at 3 680 r/min

圖15 x,y方向最大幅值隨不平衡力遞增的趨勢圖Fig.15 The trend of the max amplitude of x,y-direction with unbalanced force increasing gradually

不平衡力FW為x方向幅值/μmy方向幅值/μm0.05W0.8593.5940.15W2.2065.0670.25W3.2495.8890.35W1.7004.0720.45W2.7294.8310.55W5.3006.1390.65W2.8295.1430.75W4.8065.7650.85W4.1306.7450.95W4.2426.705

在保持軸承其他參數(shù)不變的情況下，取不平衡力FW=0.25 W。在轉(zhuǎn)速nrotor=3 680 r/min時，對比圖14和圖13的頻譜圖可知，增大不平衡力，x方向振動頻率變?yōu)橐贿B續(xù)的寬頻譜，并出現(xiàn)了新的振動頻率，其值對應(yīng)強迫振動頻率的倍頻，y方向也出現(xiàn)新的峰值頻率，即波通過頻率分頻分量，x和y方向振動幅值分別從0.859 μm、3.594 μm增加到3.249 μm和5.889 μm，增幅為2.39 μm和2.295 μm。當(dāng)不平衡力逐漸遞增時，其x,y方向最大振動幅值變化如表1所示，圖15為x,y方向最大振幅隨不平衡力遞增的變化趨勢圖，從圖中可以看出系統(tǒng)y方向最大振幅要大于x方向。綜上可得增大不平衡力，系統(tǒng)的振動響應(yīng)頻率變得復(fù)雜，最大振幅呈波浪式遞增。

2.4 內(nèi)外圈均含有波紋度時的強迫振動分析

取軸承內(nèi)外圈波紋度最大幅值A(chǔ)in=Aout=1 μm。圖16和圖17分別為不平衡力FW=0.05 W和FW=0.25 W情況下，轉(zhuǎn)速nrotor=3 680 r/min的頻譜圖。

圖16 不平衡力FW=0.05 W時轉(zhuǎn)速nrotor=3 680 r/min的頻譜圖Fig.16 Spectrogram of at 3 680 r/min while unbalanced force FW=0.05 W

圖17 不平衡力FW=0.25 W時轉(zhuǎn)速nrotor=3 680 r/min的頻譜圖Fig.17 Spectrogram of at 3 680 r/min while unbalanced force FW=0.25 W

從圖16(a),(b)可以看出，x方向的振動響應(yīng)較y方向復(fù)雜，其響應(yīng)中不僅含有強迫振動頻率，波通過振動頻率，而且有變?nèi)岫阮l率。圖17(a),(b)顯示不平衡力較大時，系統(tǒng)振動會出現(xiàn)變?nèi)岫阮l率與強迫振動的組合頻率，及波通過頻率與強迫振動的組合頻率。對比圖16和圖17可知，較大不平衡力使系統(tǒng)的振動頻率組成變得更加復(fù)雜，同時振幅也會增大，x方向的振動幅值由0.583 μm到2.165 μm，增幅為1.582 μm，y方向振幅從3.717 μm到3.921 μm，增幅為0.204 μm。由此可得不平衡力的增大會引起系統(tǒng)的振動頻率組成變得復(fù)雜，其對水平方向的振動影響要大于豎直方向。

3 結(jié) 論

本文在考慮軸承內(nèi)外圈波紋度等非線性因素的基礎(chǔ)上，建立薄壁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動力學(xué)方程，分析了薄壁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性強迫振動特性，得出如下結(jié)論：

(1)較大的不平衡力時系統(tǒng)的混沌振動范圍增大。

(2)不平衡力對系統(tǒng)水平方向振動的影響要遠(yuǎn)大于豎直方向。

(3)隨著轉(zhuǎn)速的增加，強迫振動頻率在系統(tǒng)振動響應(yīng)中逐漸占據(jù)主要地位。

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Forced vibration of a thin walled bearing-rotor system considering waviness

KANG Feng1, ZHANG Yaoqiang1, YANG Ruping1, NIU Qingbo2

(1. School of Civil Engineering, Henan University of Science and Technology, Luoyang 471003, China; 2. Luoyang Bearing Science & Technology Co.,Ltd., Luoyang 471039, China)

The nonlinear dynamic differential equations of a thin walled bearing-rotor system were established considering nonlinear factors, such as, inner and outer race waviness, internal radial clearance and variable flexibility. Then, they were solved using the method of RK4 numerical integration. The nonlinear forced vibration characteristics of the system were analyzed with bifurcation diagram, Poincaré map and spectrogram. The analysis results showed that the range of the system’s chaos vibration becomes larger under a larger unbalanced force; the unbalanced force has a much bigger effect on the system’s vibration response in the horizontal direction than it does on the system’s vibration in the vertical direction; the forced vibration frequency gradually occupies the dominant position in the system’s vibration with increase in the rotating speed.

thin walled bearing-rotor system; vibration analysis; waviness; forced vibration

國家863項目(2015AA043004)；洛陽市科技攻關(guān)項目(1401018A)

2015-10-20 修改稿收到日期：2015-12-23

康鋒 男，碩士生，1990年生

張耀強 男，副教授，碩士生導(dǎo)師，1968年生 E-mail: aq570@haust.edu.cn

O322

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.01.014