熱沖擊作用下軸向運(yùn)動(dòng)梁的振動(dòng)特性研究

楊 鑫， 陳海波

(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 近代力學(xué)系，合肥 230027)

熱沖擊作用下軸向運(yùn)動(dòng)梁的振動(dòng)特性研究

楊 鑫， 陳海波

(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 近代力學(xué)系，合肥 230027)

研究了兩端簡(jiǎn)支不可移、軸向運(yùn)動(dòng)梁在熱沖擊作用下的橫向振動(dòng)特性，根據(jù)Timoshenko梁理論和Hamilton原理建立了梁的橫向振動(dòng)控制方程，采用微分求積法求解了梁的橫向振動(dòng)問(wèn)題，分析了熱沖擊和軸向運(yùn)動(dòng)效應(yīng)對(duì)梁固有特性的影響。研究發(fā)現(xiàn)：熱沖擊引起的梁的等效熱軸力、熱彎矩和彈性模量變化三因素中，熱軸力對(duì)梁固有頻率的影響起主導(dǎo)作用，材料的彈性模量變化和熱彎矩起次要作用；當(dāng)熱沖擊載荷大于或等于梁的臨界壓力時(shí)，達(dá)到梁的第一階失穩(wěn)模態(tài)；熱沖擊和軸向運(yùn)動(dòng)效應(yīng)都會(huì)降低梁的固有頻率，它們的聯(lián)合作用會(huì)導(dǎo)致模態(tài)之間的耦合現(xiàn)象，使梁更易達(dá)到失穩(wěn)狀態(tài)。

Timoshenko梁；熱沖擊；軸向運(yùn)動(dòng)效應(yīng)；微分求積法

軸向運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)在航天航空等領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用，比如高速飛行的導(dǎo)彈、火箭、火炮系統(tǒng)等，這些結(jié)構(gòu)和其內(nèi)部細(xì)長(zhǎng)子結(jié)構(gòu)都可以簡(jiǎn)化為軸向運(yùn)動(dòng)梁模型，因此，研究該模型的橫向振動(dòng)特性和動(dòng)力學(xué)行為，具有重要的工程實(shí)際意義[1-2]。

飛行器在加速飛行過(guò)程中，由于動(dòng)力需要，發(fā)動(dòng)機(jī)和迎風(fēng)面等結(jié)構(gòu)會(huì)形成較嚴(yán)酷的加熱環(huán)境，而處于其周圍的梁式子結(jié)構(gòu)的溫度會(huì)急劇升高，產(chǎn)生較高的局部溫度和溫度梯度。這種溫度分布急劇變化造成的熱沖擊，經(jīng)常會(huì)誘導(dǎo)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生強(qiáng)烈的振動(dòng)響應(yīng)。前人對(duì)結(jié)構(gòu)的熱問(wèn)題已經(jīng)做了一些研究：黃世勇等[3]研究了熱環(huán)境下的結(jié)構(gòu)模態(tài)，發(fā)現(xiàn)飛行器氣動(dòng)加熱使結(jié)構(gòu)力學(xué)性能下降，并在結(jié)構(gòu)內(nèi)部產(chǎn)生很高的溫度及溫度梯度，產(chǎn)生不均勻熱應(yīng)力，影響了結(jié)構(gòu)的固有動(dòng)力學(xué)特性；雷桂林等[4]研究了持續(xù)氣動(dòng)加熱環(huán)境下的結(jié)構(gòu)熱載荷，計(jì)算了結(jié)構(gòu)在冷壁熱流及通過(guò)流-固耦合法解算的熱壁熱流兩種載荷條件下的溫度場(chǎng)及前三階模態(tài)的振動(dòng)幅度與固有頻率的變化；WANG等[5]利用有限元方法計(jì)算了功能梯度材料板在熱沖擊下的動(dòng)態(tài)應(yīng)力；TIAN[6]基于廣義熱彈性理論，采用有限元法分析了熱沖擊下半無(wú)限長(zhǎng)桿和半無(wú)限大板的溫度、應(yīng)力和位移響應(yīng)。

梁模型的熱問(wèn)題已開(kāi)展了一些研究[7-9]，但大多針對(duì)穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)問(wèn)題，對(duì)于熱沖擊作用下軸向運(yùn)動(dòng)梁的振動(dòng)問(wèn)題研究并不多。李世榮等[10]研究了矩形截面簡(jiǎn)支Timoshenko梁在熱沖擊載荷作用下的動(dòng)力響應(yīng)，采用微分求積法(Differential Quadrature Method,DQM)分析了相關(guān)物理和幾何參數(shù)對(duì)動(dòng)態(tài)位移響應(yīng)和動(dòng)態(tài)應(yīng)力響應(yīng)的影響，考察了數(shù)值結(jié)果的收斂性；王亮等[11]研究了軸向高速運(yùn)動(dòng)、兩端自由梁在熱沖擊下橫向振動(dòng)響應(yīng)及控制，采用Euler梁理論運(yùn)用修正的伽遼金法得到了求解系統(tǒng)響應(yīng)的近似方程，并用LQR(Linear Quadric Regulator)法設(shè)計(jì)了最優(yōu)控制器，對(duì)比了結(jié)構(gòu)在熱沖擊下無(wú)控制與有控制的位移響應(yīng)。以上研究都是基于熱沖擊的作用，但都未綜合研究軸向運(yùn)動(dòng)效應(yīng)對(duì)梁模型振動(dòng)特性的影響。陳紅永等[12-14]研究了軸壓作用下運(yùn)動(dòng)梁的橫向振動(dòng)特性，分別采用Galerkin截?cái)喾ê臀⒎智蠓e法分析了軸向壓力、運(yùn)動(dòng)效應(yīng)、軸向力導(dǎo)數(shù)和運(yùn)動(dòng)加速度對(duì)梁固有特性的影響，以及不同邊界條件和梁模型理論下梁的振動(dòng)特性；呂海煒等[15]對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)軟夾層梁的振動(dòng)特性進(jìn)行了分析，提出了全新的夾層梁理論，通過(guò)對(duì)振型、模態(tài)函數(shù)、自由振動(dòng)響應(yīng)、軸向運(yùn)動(dòng)速度對(duì)頻率影響的研究得出：傳統(tǒng)夾層梁模型為軟夾層梁模型的特殊形式。這些工作考慮了梁模型的軸向運(yùn)動(dòng)效應(yīng)，但沒(méi)有研究熱沖擊作用下軸向運(yùn)動(dòng)梁的振動(dòng)特性。

綜上所述，前人在研究結(jié)構(gòu)的熱問(wèn)題時(shí)，并沒(méi)有考慮熱沖擊和軸向運(yùn)動(dòng)共同作用對(duì)梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響。本文首先將熱沖擊模型進(jìn)行等效處理，再根據(jù)Timoshenko梁理論和Hamilton原理得到了軸向運(yùn)動(dòng)梁在等效載荷作用下的控制方程，接著引入第三類邊界條件下的一維瞬態(tài)溫度場(chǎng)，得到作用于梁模型上的等效載荷，最后采用微分求積法(DQM)求解了其無(wú)量綱固有頻率。通過(guò)模擬不同的熱沖擊工況，研究了熱沖擊對(duì)梁模型動(dòng)態(tài)特性的影響，并針對(duì)熱沖擊載荷作用下不同的軸向運(yùn)動(dòng)速度，分析了它們的聯(lián)合作用對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

1 振動(dòng)方程和邊界條件

兩端簡(jiǎn)支不可移的矩形截面梁模型如圖1(a)所示，考慮其受熱沖擊作用，如梁上表面溫度從F0突然升至Fu并長(zhǎng)時(shí)間保持，這里假設(shè)梁各橫截面的溫度變化相同。由于梁兩端受到軸向約束，梁軸向的熱膨脹受到限制，從而將形成受壓的熱軸力。另一方面，梁高度方向不均勻的溫度分布將導(dǎo)致縱向纖維變形量的不一致性，形成朝溫升一側(cè)凸起的彎曲變形。這一彎曲變形可通過(guò)圖1(b)的等效模型來(lái)計(jì)算，其中N是等效熱軸力，而M是等效彎矩，它與將熱彎曲梁變回平直狀態(tài)所需施加的彎矩大小相等，方向相反。

圖1 等效梁模型的建立Fig.1 Establish the equivalent beam model

一般地，結(jié)構(gòu)受熱沖擊的響應(yīng)涉及熱、流、固多物理場(chǎng)耦合，精確分析甚為困難。本文僅考察梁的橫向振動(dòng)固有特性在其受熱沖擊過(guò)程中的變化情況，為此，對(duì)問(wèn)題作兩方面假設(shè)。一是假設(shè)梁的溫度場(chǎng)沿高度方向處處相同，從而可簡(jiǎn)化為一維瞬態(tài)溫度場(chǎng)問(wèn)題，且與結(jié)構(gòu)變形不耦合。二是假設(shè)熱沖擊過(guò)程可離散為多個(gè)獨(dú)立的狀態(tài)，每一時(shí)刻對(duì)應(yīng)等效熱軸力N作用在具有彎曲變形為W0(X)的Timoshenko梁的一個(gè)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。前一個(gè)假設(shè)是對(duì)實(shí)際復(fù)雜問(wèn)題的簡(jiǎn)化，為眾多研究者采用[10-11]，后一假設(shè)是對(duì)時(shí)變等效熱軸力和等效熱彎矩的一種近似，在溫升速率不是太高時(shí)具有一定工程精度。

圖2 熱沖擊作用下某時(shí)刻軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁模型Fig.2 Axial moving Timoshenko beam model underthermal shock at a certain time

如圖2所示，以速度V(T)運(yùn)動(dòng)的軸向運(yùn)動(dòng)梁，梁的橫向振動(dòng)位移為W(X,T)，梁的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，梁的抗彎剛度為EI(X)，剪切剛度為κGA(κ為截面剪切系數(shù))，截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Im(X)。假設(shè)該梁模型在熱沖擊作用下，某時(shí)刻的非均勻溫度場(chǎng)引起了等效熱軸力N和彎曲變形W0(X)。首先，選取梁在等效載荷作用下的靜平衡狀態(tài)為平衡位置，令Θ表示相對(duì)于梁平衡位置(截面轉(zhuǎn)角Θ0)的截面轉(zhuǎn)角，同樣，W為相對(duì)于梁平衡位置(橫向位移W0)的橫向振動(dòng)位移。

系統(tǒng)某一狀態(tài)的總動(dòng)能為：

(1)

系統(tǒng)某一狀態(tài)的總勢(shì)能為：

(2)

根據(jù)Hamilton原理：

(3)

將式(1)和(2)代入(3)式求解變分，由于變

分項(xiàng)的任意性，變分項(xiàng)系數(shù)為0，同時(shí)，假設(shè)梁模型為等截面梁，即有Im(X)=ρI，則可得梁的橫向振動(dòng)方程為：

(4)

(5)

在等效熱軸力N和等效熱彎矩M的作用下，易求得梁的靜平衡橫向位移和截面轉(zhuǎn)角為：

(6)

則熱沖擊作用下梁模型的邊界條件為：

(7)

式中：X=0,L。

不考慮軸力和軸向運(yùn)動(dòng)速度沿長(zhǎng)度方向上的變化，即?N/?X=0和?V/?X=0，則式(4)可整理為：

(8)

將(8)式代入(5)式，略去速度對(duì)時(shí)間的高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，保留軸向運(yùn)動(dòng)加速度VT，可得橫向振動(dòng)方程：

(9)

引入以下無(wú)量綱變換：

則式(9)的無(wú)量綱化形式為：

(10)

同樣，對(duì)邊界條件進(jìn)行無(wú)量綱化可得：

(11)

式中:k1，k2和k5表征剪切剛度，k3和k4分別表征扭轉(zhuǎn)系數(shù)和彎曲剛度。

2 一維瞬態(tài)溫度場(chǎng)

采用第三類邊界條件下的一維瞬態(tài)溫度場(chǎng)[16]，假設(shè)受壓運(yùn)動(dòng)梁模型的初始狀態(tài)為熱平衡的矩形截面梁，初始溫度為F0，梁的上表面突然獲得一個(gè)升溫ΔFupper=Fu-F0，并保持Fu溫度不變。由于熱沖擊發(fā)生時(shí)間較短，熱沖擊載荷作用下梁內(nèi)沿高度方向會(huì)出現(xiàn)熱傳導(dǎo)現(xiàn)象，并在下表面與外界環(huán)境發(fā)生熱交換。

假定整個(gè)過(guò)程外界環(huán)境溫度Fe不變，則描述該傳熱過(guò)程的方程和初始邊界條件為：

(12)

(13)

式中：F為溫度，T為熱傳導(dǎo)時(shí)間，C為熱容，ρ為材料密度，K為熱傳導(dǎo)系數(shù)，hr為換熱系數(shù)，H為矩形截面梁橫截面的高度。采用分離變量法得到上面問(wèn)題的解：

(14)

式中:β，b和Bn的表達(dá)式具體形式如下：

β=K/(H2Cρ),b=-Hhr/K,Bn=2(Fu-F0)(cosμn-1)+

(15)

特征值μn由下面的超越方程求得：

μcosμ+bsinμ=0

(16)

另一方面，在熱沖擊作用下，材料的彈性模量等力學(xué)參數(shù)會(huì)隨溫度發(fā)生變化，產(chǎn)生熱軟化效應(yīng)。由文獻(xiàn)[17]可知，溫度F下材料的彈性模量EF可表示為F0溫度下彈性模量E0及溫度變化ΔF(Y,T)=F(Y,T)-F0的函數(shù)形式：

EF(Y,T)=E0[1+αE(F(Y,T)-F0)]

(17)

(18)

式中:μ為泊松比。

圖1(b)中的等效熱軸力和等效熱彎矩的計(jì)算公式為：

(19)

(20)

式(19),(20)可以換個(gè)思路來(lái)理解：先假設(shè)受熱沖擊梁兩端固支，則包括梁兩端的任意橫截面上的軸力和彎矩即可由式(19)和(20)來(lái)計(jì)算；實(shí)際模型兩端是不可移鉸支撐，故式(19)算得的軸力仍作用在梁上，而(20)式算得的彎矩并不存在，因此應(yīng)反向加載釋放。亦即圖1(b)建模時(shí)所做的論述。將式(14)代入式(19)和(20)，可得：

(21)

(22)

因此，熱沖擊產(chǎn)生的軸向壓力即由式(21)算得的等效熱軸力，而相應(yīng)彎曲變形產(chǎn)生的梁的橫向位移W0(X)和橫截面轉(zhuǎn)角Θ0(X)可將式(21)和(22)算得的結(jié)果代入式(6)計(jì)算得到。

3 近似求解

式(10)包含橫向振動(dòng)位移對(duì)軸向坐標(biāo)和時(shí)間的1～4階偏導(dǎo)數(shù)，采用分離變量法假設(shè)振動(dòng)方程的解為：

w(x,t)=φ(x)eλt

(23)

式中：φ為模態(tài)函數(shù)，λ為復(fù)特征值。將式(23)代入式(10)和(11)，整理得：

(24)

(25)

本文采用微分求積法(DQM)進(jìn)行近似求解。DQM方法具有收斂性好和通用性強(qiáng)的特點(diǎn)，其本質(zhì)是把函數(shù)在給定某點(diǎn)處的r階導(dǎo)數(shù)值近似為域內(nèi)全部節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值的加權(quán)和[18-19]：

(26)

式中:Aij(r)為第r階權(quán)系數(shù)，qj為函數(shù)在xj處的函數(shù)值，n為網(wǎng)格劃分節(jié)點(diǎn)數(shù)。

對(duì)梁模型無(wú)量綱求解區(qū)域進(jìn)行不均勻網(wǎng)格點(diǎn)劃分，并引入δ方法處理邊界條件，劃分結(jié)果如下：

(27)

采用Lagrange多項(xiàng)式的插值原理來(lái)確定權(quán)系數(shù)，得一階權(quán)系數(shù)表達(dá)式如下：

(28)

高階權(quán)系數(shù)由以下關(guān)系確定：

(29)

則控制方程(24)式可簡(jiǎn)化成如下形式：

(B(4)λ4+B(3)λ3+B(2)λ2+B(1)λ+B(0))Φ=0 (30)

即變?yōu)樗碾A廣義特征值求解問(wèn)題，求解該方程系數(shù)矩陣的特征值就可以得到無(wú)量綱頻率值。梁模型內(nèi)部節(jié)點(diǎn)i，j=3,4,…,n-2對(duì)應(yīng)的矩陣元素值為：

(31)

同樣，對(duì)應(yīng)邊界條件的邊界節(jié)點(diǎn)i，j=1,2,n-1,n的矩陣元素值為：

(1) 〈k=1,n〉,〈j=1,2,...,n-1,n〉

(2) 〈k=2,n-1〉,〈j=1,2,...,n-1,n〉

(32)

4 算 例

考慮兩端簡(jiǎn)支不可移、軸向水平運(yùn)動(dòng)的梁結(jié)構(gòu)，取梁的幾何參數(shù)分別給定為長(zhǎng)度L=1 m，矩形截面高度H=0.04 m，寬度D=0.03 m，彈性模量E0=70 GPa，泊松比μ=0.3，密度ρ=2.7×103kg/m3，并假定梁初始溫度和環(huán)境溫度相等F0=Fe。算例中材料的熱參數(shù)如表1所示。

表1 結(jié)構(gòu)材料的熱參數(shù)

4.1 溫度場(chǎng)計(jì)算

首先，根據(jù)式(14)可以計(jì)算得到任意時(shí)刻梁在厚度方向上的溫度分布。圖3給出了熱流輸入為梁上部溫度Fu=80℃下各個(gè)時(shí)刻的溫度場(chǎng)分布曲線，從中可以發(fā)現(xiàn)熱沖擊載荷作用初始時(shí)刻梁上表面的溫度會(huì)迅速達(dá)到熱流輸入的溫度，而下表面附近區(qū)域仍保持初始溫度，隨著熱傳導(dǎo)的作用，梁截面上的溫度會(huì)逐漸接近上表面的熱流輸入溫度。

圖3 不同時(shí)刻溫度沿梁截面厚度方向的變化曲線(Fu=80℃)Fig.3 The temperature vs. position in the thickness direction and time(Fu=80℃)

隨著熱傳導(dǎo)的作用，梁截面上各區(qū)域的溫度會(huì)逐漸升高，材料會(huì)發(fā)生熱軟化效應(yīng)，導(dǎo)致彈性模量降低，從而降低材料的剛度。由式(18)可計(jì)算修正后梁的彈性模量在不同熱流輸入情況下隨時(shí)間的變化，如圖4所示。而隨著熱傳導(dǎo)的進(jìn)行，溫度場(chǎng)趨于均勻化，彈性模量最終會(huì)逐漸趨于一個(gè)穩(wěn)定值；同時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)熱流輸入越大，同一時(shí)刻材料的彈性模量降低越多。

圖4 不同熱流輸入彈性模量隨時(shí)間變化曲線Fig.4 Elastic Modulus vs. time and heat input

通過(guò)式(21)和(22)可以進(jìn)一步得到梁的熱軸力和熱彎矩的時(shí)域分布。圖5和圖6分別給出了不同熱流輸入時(shí)熱軸力和熱彎矩的時(shí)間響應(yīng)曲線。從熱軸力的分布可見(jiàn)，熱沖擊載荷越大，形成的熱軸力越大，隨著梁截面上溫度場(chǎng)的均勻化，熱軸力會(huì)逐漸趨于一個(gè)穩(wěn)定值，而觀察熱彎矩的分布曲線同樣可以發(fā)現(xiàn)，熱沖擊載荷越大，熱彎矩越大，但隨著溫度場(chǎng)的均勻化，熱彎矩逐漸減小，并趨向于零。而在熱沖擊載荷作用的初始時(shí)刻，由于梁的上表面與下表面的溫度變化懸殊，梁的內(nèi)部會(huì)形成梯度分布較大的熱應(yīng)力，此時(shí)，梁截面上的熱軸力變化較大，且熱彎矩也會(huì)達(dá)到最大值。因此，本文將重點(diǎn)研究該時(shí)段熱沖擊載荷對(duì)軸向受壓運(yùn)動(dòng)梁振動(dòng)特性的影響。

圖5 不同熱流輸入熱軸力的時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.5 Thermal axial force vs. time and heat input

圖6 不同熱流輸入熱彎矩的時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.6 Thermal moment vs. time and heat input

4.2 影響因素分析

為研究熱沖擊作用下固有頻率隨各影響因素變化的規(guī)律，選取Fu=100℃的熱流輸入工況，忽略軸向運(yùn)動(dòng)速度，比較圖7所示四種情況下梁第一階固有頻率隨時(shí)間的變化，其中，(A)為實(shí)際發(fā)生的熱沖擊工況，(B)、(C)和(D)都是為對(duì)比對(duì)應(yīng)影響因素作用大小而假設(shè)的工況。這四種情況分別為：(A)N、M和E同時(shí)隨時(shí)間變化；(B)N=N(TM)(其中TM為等效彎矩M最大值對(duì)應(yīng)的時(shí)刻)，M=M(TM)，E隨時(shí)間變化；(C)N隨時(shí)間變化，M=M(TM)，E=E(TM)；(D)N=N(TM)，M隨時(shí)間變化，E=E(TM)。

圖7 不同影響因素下第一階頻率隨時(shí)間變化曲線(Fu=100℃,v=0)Fig.7 1st natural frequency vs. time and different factors(Fu=100℃,v=0)

(A)為該熱沖擊工況的數(shù)值結(jié)果，以之作為參照，分析彈性模量、等效軸力和等效彎矩對(duì)梁第一階固有頻率的影響。由(B)的分布曲線可發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)u=100℃的熱流輸入下，材料彈性模量的變化對(duì)梁的第一階固有頻率影響較小，彈性模量的減小使得第一階固有頻率有所下降，加快了第一階失穩(wěn)模態(tài)的出現(xiàn)。觀察(C)可得出，等效軸力對(duì)梁第一階固有頻率影響很大，當(dāng)?shù)刃лS力大于或等于梁模型的臨界壓力時(shí)，達(dá)到梁的第一階失穩(wěn)模態(tài)，第一階頻率降為0；從(D)的分布規(guī)律可見(jiàn)，等效彎矩對(duì)梁的固有頻率影響很小，主要是因?yàn)樵摕釠_擊工況的熱流溫度變化相對(duì)較低，產(chǎn)生的熱彎矩值和附加彎矩值較小，與等效軸力共同作用時(shí)它對(duì)梁固有頻率的影響并不明顯。

圖8給出梁端部(X=0)和梁中部(X=L/2)的等效彎矩隨時(shí)間的變化曲線。與梁端部彎矩相比，梁其它位置的彎矩還包括了軸力引起的附加彎矩，它是因梁橫向變形使得軸力作用點(diǎn)偏離截面形心所致，這部分影響在梁中部達(dá)到最大值。由圖8可見(jiàn)，軸力產(chǎn)生的附加彎矩較熱彎矩小，但量值不可忽略。

圖8 不同軸向位置處等效彎矩隨時(shí)間變化曲線(Fu=100℃,v=0)Fig.8 Equivalent moment vs. time and axial location(Fu=100℃,v=0)

圖9 僅考慮等效彎矩作用下第一階頻率隨時(shí)間變化曲線(Fu=100℃,v=0)Fig.9 1st natural frequency vs. time and equivalent moment(Fu=100℃,v=0)

如圖9所示，將圖7中(D)的分布曲線放大，可發(fā)現(xiàn)第一階固有頻率與圖8中等效彎矩隨時(shí)間的分布非常相似。隨著等效彎矩增大，梁的第一階固有頻率增大，反之，第一階固有頻率降低，但等效彎矩對(duì)梁的沖擊相對(duì)于等效軸力小很多，故等效彎矩對(duì)梁固有頻率的影響可以忽略不計(jì)。

綜合以上分析，該梁模型在這類小幅熱沖擊作用下，熱軸力對(duì)梁固有頻率的影響起主導(dǎo)作用，材料的彈性模量變化和熱彎矩起次要作用。

4.3 熱沖擊與運(yùn)動(dòng)效應(yīng)

不同程度的熱沖擊作用，梁的固有頻率會(huì)顯現(xiàn)出不同的變化。圖10給出了軸向運(yùn)動(dòng)速度v=1時(shí)，不同熱流輸入下第一階和第二階頻率隨時(shí)間變化曲線。從圖中不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)熱輸入為100℃時(shí)，經(jīng)過(guò)1.82 s運(yùn)動(dòng)梁便達(dá)到一階失穩(wěn)模態(tài)，而熱輸入為70℃時(shí)為5.12 s，是100℃時(shí)的2.8倍；從第二階頻率的變化可發(fā)現(xiàn)類似規(guī)律。故熱流輸入越大，熱沖擊形成的載荷越大，梁的固有頻率隨之降低的越明顯，更快達(dá)到一階失穩(wěn)模態(tài)。

圖10 不同熱流輸入第一、二階頻率隨時(shí)間變化曲線(v=1)Fig.10 1st and 2nd natural frequency vs. time and heat input(v=1)

圖11 第一階失穩(wěn)模態(tài)時(shí)間隨軸向速度變化曲線(Fu=80℃)Fig.11 Time of the 1st order buckling mode vs. speed(Fu=80℃)

引入軸向運(yùn)動(dòng)效應(yīng)，即v≠0時(shí)，考察熱沖擊作用下，軸向運(yùn)動(dòng)效應(yīng)對(duì)梁振動(dòng)特性的影響。圖11為第一階失穩(wěn)模態(tài)出現(xiàn)時(shí)刻隨軸向運(yùn)動(dòng)速度變化曲線，其中，熱流輸入為梁上部溫度Fu=80℃的工況。隨著軸向運(yùn)動(dòng)速度變大，梁達(dá)到第一階失穩(wěn)模態(tài)所需時(shí)間越短，v=1時(shí)所需時(shí)間是v=3時(shí)的24.14倍，如此可見(jiàn)，在熱沖擊作用下，軸向運(yùn)動(dòng)效應(yīng)加快了梁的第一階頻率失穩(wěn)。

圖12 不同速度下前三階頻率隨時(shí)間變化曲線(Fu=80℃)Fig.12 The first three natural frequencies vs. time and speed(Fu=80℃)

圖12中標(biāo)注為無(wú)量綱軸向運(yùn)動(dòng)速度分別為0、2和3時(shí)，通過(guò)DQM方法求得梁的前三階頻率隨時(shí)間變化曲線。在第一階彈性模態(tài)達(dá)到臨界狀態(tài)后，第一階和第二階彈性模態(tài)會(huì)隨著軸向運(yùn)動(dòng)速度的增大出現(xiàn)耦合的現(xiàn)象，且速度越大，出現(xiàn)耦合的時(shí)刻越早，在該超臨界狀態(tài)下，梁處于耦合模態(tài)顫振，對(duì)于此類輕質(zhì)細(xì)長(zhǎng)體，其剛度較小，加之軸向運(yùn)動(dòng)效應(yīng)和熱沖擊都降低了梁的剛度，梁更易達(dá)到顫振狀態(tài)，故出現(xiàn)圖12中的模態(tài)耦合，此處所得結(jié)論與文獻(xiàn)[14]一致。軸向運(yùn)動(dòng)效應(yīng)和熱沖擊載荷的聯(lián)合作用，使梁的固有頻率明顯降低，加快了失穩(wěn)模態(tài)的出現(xiàn)。

4 結(jié) 論

本文基于Timoshenko梁理論建立了熱沖擊載荷作用下兩端簡(jiǎn)支不可移、軸向運(yùn)動(dòng)梁的動(dòng)力學(xué)模型，采用微分求積法求解了熱沖擊載荷和軸向運(yùn)動(dòng)效應(yīng)共同作用下的動(dòng)態(tài)特性，得到如下結(jié)論：

(1)熱沖擊載荷降低了梁的彈性模量，并且在梁上形成熱軸力和熱彎矩，它們的共同作用，影響梁的動(dòng)力學(xué)特性。

(2)梁在小幅熱沖擊作用下，熱沖擊載荷越大，梁的振動(dòng)頻率降低越多，梁更容易達(dá)到失穩(wěn)狀態(tài)。分析發(fā)現(xiàn)，對(duì)于兩端簡(jiǎn)支不可移邊界條件，熱軸力對(duì)梁固有頻率的影響起主導(dǎo)作用，材料的彈性模量和熱彎矩起次要作用，其中，彈性模量的降低，使梁的固有頻率降低，而熱彎矩增大，固有頻率也隨之增大。

(3)軸向運(yùn)動(dòng)速度越大，梁的頻率降低越多，更容易激發(fā)第一階模態(tài)失穩(wěn)。第一階和第二階彈性模態(tài)會(huì)隨著軸向運(yùn)動(dòng)速度的增大出現(xiàn)耦合的現(xiàn)象，此時(shí)，梁處于軸向運(yùn)動(dòng)效應(yīng)和熱沖擊載荷共同作用的嚴(yán)酷狀態(tài)，兩者的聯(lián)合作用，使得梁更易達(dá)到失穩(wěn)狀態(tài)。

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Vibration characteristics of an axially moving beam under thermal shocks

YANG Xin, CHEN Haibo

(Department of Modern Mechanics, University of Science and Technology of China, Hefei 230027, China)

The transverse vibration characteristics of an axially moving beam immovably simply supported at both ends and subjected to a thermal shock were studied. Based on Timoshenko beam theory and Hamilton principle, the governing equations of its transverse vibration were established. The transverse vibration problem of the beam was solved by using the differential quadrature method. The effects of thermal shock and axially moving speed on its natural frequencies were analyzed. The results shwoed that among three factors including equivalent thermal axial force, equivalent thermal bending moment and changing of elastic modulus dut to thermal shock, equivalent thermal axial force plays a dominant role to affect natural frequencies of the beam, while changing of elastic modulus and equivalent thermal moment play a secondary role; when the thermal shock loads reach the critical load of the beam, the first order buckling mode is excited; thermal shock and axial moving speed can both reduce natural frequencies of the beam, and their joint action leads to the phenomenon of modal coupling to make the beam easily reach an unstable status.

Timoshenko beam; thermal shock; axial motion effects; differential quadrature method

2015-07-30 修改稿收到日期：2015-12-22

楊鑫 男，碩士生，1990年9月生

陳海波 男，博士，教授，1968年2月生

O321

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.01.002