小模數(shù)螺旋錐齒輪幾何誤差的主動控制

張衛(wèi)青，湯良付，郭曉東，田聯(lián)明

(1.重慶理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，機(jī)器人與智能制造技術(shù)重慶市高校重點實驗室，重慶 400054；2.株洲歐格瑞傳動股份有限公司，湖南 株洲 412000)

螺旋錐齒輪是機(jī)械傳動系統(tǒng)中重要的元件，其幾何形狀的精度直接影響機(jī)械傳動系統(tǒng)的平穩(wěn)性、可靠性和噪聲性能。相關(guān)學(xué)者對螺旋錐齒輪齒面形狀的測量、反調(diào)及修形做了大量的研究。李麗霞等[1]研究了機(jī)床調(diào)整誤差對弧齒錐齒輪齒面形狀影響的規(guī)律。殷素峰等[2]通過齒面點離散的方法，評判機(jī)床調(diào)整參數(shù)誤差對螺旋錐齒輪齒面誤差的影響程度，進(jìn)一步分析齒面形狀變化趨勢。唐進(jìn)元等[3]研究了SFT(spiral format tilt)加工法加工的弧齒錐齒輪小輪齒面誤差與調(diào)整參數(shù)誤差之間的敏感性關(guān)系。王謙等[4]評述了弧齒錐齒輪機(jī)床調(diào)整誤差的分析方法,建立了機(jī)床調(diào)整誤差補(bǔ)償?shù)臄?shù)學(xué)模型。徐彥偉等[5]分析了弧齒錐齒輪機(jī)床運動誤差對齒面誤差的影響，并通過弧齒錐齒輪齒面離散點誤差計算和分析對其影響規(guī)律進(jìn)行了研究。王志永等[6]分析了各種誤差對螺旋錐齒輪齒形的影響規(guī)律。邢元等[7]結(jié)合螺旋錐齒輪加工特點，在歐式線性空間中建立了數(shù)控加工模型及誤差補(bǔ)償模型。曹康等[8]研究了弧齒錐齒輪小輪齒面誤差與調(diào)整參數(shù)誤差之間的敏感性關(guān)系,基于SFT加工法得出對齒面誤差影響較大的調(diào)整參數(shù),提出齒面誤差最少參數(shù)修正法。郭曉東等[9-10]提出進(jìn)行齒深控制的錐齒輪測量齒面切齒調(diào)整參數(shù)非線性最小二乘優(yōu)化反調(diào)方法，并建立了反調(diào)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型。以上研究主要是針對加工完成后的齒輪齒形進(jìn)行測量，并通過調(diào)整參數(shù)反調(diào)地被動修正誤差，并未提出齒輪幾何誤差的主動控制方法。除此之外，沒有分析機(jī)床各軸誤差對齒輪的齒厚誤差的影響。針對此問題，本文建立了螺旋錐齒輪機(jī)床各軸定位誤差及刀具幾何誤差對齒輪齒形及齒厚的關(guān)聯(lián)模型，分析總結(jié)了機(jī)床誤差及刀具誤差對齒輪齒形及齒厚的影響規(guī)律，并根據(jù)影響規(guī)律對機(jī)床及刀具幾何誤差進(jìn)行嚴(yán)格的控制，從而間接地控制齒輪的齒形及齒厚偏差，使齒輪的加工精度達(dá)到要求。

1 機(jī)床誤差對齒輪幾何偏差的模型

數(shù)控螺旋錐齒輪加工機(jī)床的模型如圖1所示，切齒過程中搖臺帶動刀具的轉(zhuǎn)動由2個直線聯(lián)動插補(bǔ)實現(xiàn)。傳統(tǒng)機(jī)床的水平輪位、垂直輪位、床位、徑向刀位的調(diào)整也相應(yīng)地被補(bǔ)償?shù)?個線性軸的運動中。機(jī)床安裝根錐角表現(xiàn)為數(shù)控機(jī)床的B軸，傳統(tǒng)機(jī)床的工件與產(chǎn)形輪的展成運動表現(xiàn)為全數(shù)控機(jī)床的A軸與驅(qū)動刀盤運動的2個直線軸之間的運動。這種機(jī)床不需要手動調(diào)整來保證刀具與工具的相對位置關(guān)系，但是必須進(jìn)行機(jī)床的零位校正以確保機(jī)床坐標(biāo)系與運動控制數(shù)學(xué)模型要求的坐標(biāo)系一致。機(jī)床各軸的定位誤差及刀具的幾何形狀偏差是影響齒輪齒厚和齒形偏差的主要因素，因此本文主要針對這兩種誤差進(jìn)行討論。

圖1 螺旋錐齒輪銑齒機(jī)模型

螺旋錐齒輪齒面的幾何形狀由刀盤和齒坯之間復(fù)雜的空間相對位置和相對運動決定。螺旋錐齒輪齒面方程可以通過求產(chǎn)形輪齒面方程及確定產(chǎn)形輪與齒坯的空間相對位置和相對運動關(guān)系求得。刀盤坐標(biāo)系和齒坯與刀盤位置坐標(biāo)系如圖2所示?！苖={om,im,jm,km}為描述切齒過程的固定坐標(biāo)系，om原點在搖臺軸線上，imomjm坐標(biāo)平面垂直于搖臺軸線，im位于搖臺的水平軸截面內(nèi)，km指向搖臺外面；∑1={o1,i1,j1,k1}為刀轉(zhuǎn)前刀盤坐標(biāo)系；∑2={o2,i2,j2,k2}為刀傾前刀盤坐標(biāo)系；∑t={ot,it,jt,kt}為描述刀盤(產(chǎn)形面)的動坐標(biāo)系，ot點為刀盤中心。過圖2中的ow標(biāo)架∑w={ow,iw,jw,kw}為齒輪坐標(biāo)系，其中點ow為齒輪軸交錯點，kw在齒輪的軸線上，jw與jm同向。

圖2 螺旋錐齒輪切齒計算模型

設(shè)刀尖半徑誤差為Δro、刀齒齒形角誤差為Δα，則刀具曲面上任意一點帶偏差的徑矢和法矢為：

(1)

(2)

式中：ro為刀尖半徑；α為刀齒齒形角；u為切齒嚙合點到刀尖點沿刀刃方向的長度；θ為刀盤自轉(zhuǎn)的角度；M(θ)k為旋轉(zhuǎn)矩陣，±號中外刀為正、內(nèi)刀為負(fù)。

設(shè)Δx,Δy,Δz分別為機(jī)床原點在X、Y、Z三個方向的定位誤差，則機(jī)床原點的定位偏差徑矢Δrm為

(3)

設(shè)機(jī)床安裝根錐角的誤差為Δγ，則帶齒輪軸線的偏差徑矢為

(4)

進(jìn)行滾切運動時，刀盤與齒輪的相對位置通過機(jī)床調(diào)整參數(shù)確定。當(dāng)搖臺轉(zhuǎn)動一個角度q時，搖臺中心到刀盤中心的徑矢Sm在切齒坐標(biāo)系∑m為

(5)

式中S為徑向刀位。

(6)

式中：Xp為水平輪位修正量；Xb為床位；Em為垂直輪位。

在切齒坐標(biāo)系下齒輪軸交錯點到刀盤中心的徑矢Vl為

(7)

則齒輪軸交錯點到切齒嚙合點的矢量及其法矢在切齒坐標(biāo)系∑m中表示為：

rm=Vl+M(q)kM(-j0)kM(i0)jrt

(8)

nm=M(q)kM(-j0)kM(i0)jnt

(9)

式中：M(q)k,M(-j0)k,M(i0)j為旋轉(zhuǎn)矩陣；j0為刀轉(zhuǎn)角；i0為刀傾角。

由齒輪嚙合原理可知，在切齒嚙合點處刀具及齒面上的點應(yīng)滿足嚙合方程，即：

V12nm=0

(10)

(11)

(12)

式中：gl=[0,0,1]T；V12為齒面中點處被加工齒輪相對于刀具的相對運動速度。

設(shè)齒面點在齒輪軸截面內(nèi)位置參數(shù)Lp和Rp，Lp為齒面中點到齒輪軸錯交點沿齒輪軸線方向的距離,Rp為齒面中點的半徑，則可建立如下方程組：

(13)

將式(10)(13)聯(lián)立求解即可得齒面中點對應(yīng)的未知變量q、θ、u,代入式(8)即可得到在切齒坐標(biāo)系∑m中齒輪軸交錯點到齒面中點的徑矢rm和法矢nm。將其變換到齒輪坐標(biāo)系∑w下，得：

(14)

(15)

e=Δrwnw

(16)

(17)

(18)

式中R為齒面中點的徑向半徑。

2 齒厚及齒形誤差的影響規(guī)律分析

以1對4X41的高減速比的小模數(shù)螺旋錐齒輪副的小輪為例進(jìn)行齒形及齒厚誤差的影響分析。齒輪副的基本參數(shù)如表1所示，小輪刀具及機(jī)床調(diào)整參數(shù)如表2所示。

根據(jù)表1所述的計算方法，機(jī)床X、Y、Z軸和刀盤半徑分別設(shè)置為10、20、30、40、50 μm，機(jī)床B軸和刀盤壓力角分別設(shè)置為5′、10′、15′、20′、25′，各偏差分別為實例1、實例2、實例3、實例4和實例5。各實例誤差對齒輪齒厚的影響如表3所示。

表1 實驗齒輪副的基本參數(shù)

表2 小輪刀具及機(jī)床調(diào)整參數(shù)

參數(shù)凹面凸面刀尖直徑/mm76.990 075.400 0刀齒齒形角17°20′22°40′刀尖圓角半徑/mm0.180 00.180 0機(jī)床安裝根錐角5°25′5°25′水平輪位/mm-0.460 00.710 0床位/mm2.030 01.920 0垂直輪位/mm16.000 017.640 0徑向刀位/mm36.664 637.850 7滾比值9.984 510.662 5起始搖臺角/(°)65.815 366.101 6基本搖臺角/(°)93.330 484.919 8終止搖臺角/(°)113.999 5108.013 4

表3 機(jī)床各軸和刀盤偏差對齒厚的影響

通過數(shù)據(jù)分析可得出如下結(jié)論：① 各誤差跟齒輪齒厚偏差近似成線性關(guān)系；② 分析各誤差曲線的斜率，可見機(jī)床B軸、機(jī)床X軸位置以及刀盤半徑偏差對齒輪齒厚的影響較大，其影響系數(shù)分別為7.0、1.72、2.13。刀具壓力角及機(jī)床Z軸誤差對齒厚的影響相對較小，其系數(shù)分別為1.0、0.85。

各誤差對齒輪齒形的影響如圖3～8所示，通過分析可得出如下結(jié)論：① 刀盤半徑誤差主要引起齒輪螺旋角方向的偏差，且大小端的齒形偏差幅值相對于齒寬中部呈對稱分布；刀盤齒形角誤差引起壓力角方向的偏差，且以齒高中部為對稱軸呈對稱分布。② 機(jī)床X軸原點誤差會導(dǎo)致大端齒頂及小端齒根位置產(chǎn)生明顯變化，即同時引起齒輪螺旋角方向和壓力角方向的偏差，其中螺旋角方向的影響更為顯著；機(jī)床Y軸原點位置誤差主要導(dǎo)致大端齒根及小端齒頂位置產(chǎn)生明顯變化，但壓力角方向的影響更為顯著。③ 機(jī)床Z軸原點誤差以及齒根安裝根錐角誤差對齒形偏差的影響趨勢類似，主要體現(xiàn)在齒輪螺旋角方向，壓力角方向齒根安裝根錐角引起的偏差稍大。

圖3 刀盤半徑誤差對齒形的影響

圖4 刀盤齒形角誤差對齒形的影響

圖5 機(jī)床X軸原點誤差對齒形的影響

圖6 機(jī)床Y軸原點誤差對齒形的影響

圖7 機(jī)床Z軸原點誤差對齒形的影響

圖8 機(jī)床B軸誤差對齒形的影響

3 齒輪齒厚及齒形誤差控制

為了使齒輪副嚙合時的齒側(cè)間隙及接觸區(qū)形態(tài)得到保證，基于本文第2節(jié)所述規(guī)律，通過控制機(jī)床各坐標(biāo)軸偏差及刀具幾何偏差間接控制齒輪的齒厚及齒形誤差。從保證側(cè)隙的角度，應(yīng)嚴(yán)格控制機(jī)床B軸偏差、機(jī)床X軸偏差以及刀盤半徑偏差；從保證接觸區(qū)形態(tài)的角度，需要對刀盤齒形角偏差、機(jī)床Y軸偏差以及機(jī)床B軸偏差進(jìn)行嚴(yán)格控制。綜合考慮齒厚及其齒形控制的需要，同時兼顧現(xiàn)有工藝條件下各誤差因素控制的困難程度，設(shè)定機(jī)床各軸偏差及刀具幾何尺寸偏差的控制公差，如表4所示。為了分析表4所述公差數(shù)據(jù)設(shè)置的合理性，將這些誤差因素取正/負(fù)值組合后進(jìn)行齒形偏差分析，可得其齒面中點極限齒厚偏差為21 μm，齒形偏差的極限如圖9所示?？梢婟X形偏差的最大值控制在20 μm以內(nèi)，同時齒面中部壓力角方向的偏差總體不超過5 μm，即這樣小齒形偏差對齒輪副的接觸區(qū)形態(tài)不會造成顯著的影響。

圖9 齒形偏差控制范圍

表4 機(jī)床各軸誤差及刀盤誤差的控制公差

4 齒輪加工及檢測實驗

為進(jìn)一步驗證所建立的齒形偏差的各軸控制方法的有效性，在一臺4軸3聯(lián)動的螺旋錐齒輪銑齒機(jī)上進(jìn)行切齒實驗。切齒加工前先按表4的要求進(jìn)行機(jī)床各軸原點的校正及切齒刀具的定制，然后進(jìn)行切齒加工，如圖10所示。加工后在JD30齒輪測量中心上對樣件齒形進(jìn)行測量，齒面法向偏差如表5所示，可見兩凹凸齒面最大法向偏差分別19.8、19.2 μm，且齒形偏差主要體現(xiàn)在齒長方向，而沿齒高方向的誤差總體較小，齒面中部齒頂與齒根的相對誤差小于6.9 μm。該測量結(jié)果與預(yù)測的齒形偏差一致，驗證了齒形偏差控制方法的有效性。

圖10 小輪加工過程

表5 齒面法向偏差 μm

凹面12.46.72.5-0.3-4.4-7.1-12.0-15.3-19.811.15.63.5-0.1-3.0-8.0-12.0-12.6-14.812.95.85.61.9-0.6-4.3-8.8-10.1-10.714.19.17.83.6-1.2-1.7-4.6-4.4-7.014.010.49.15.70.7-0.9-2.9-3.8-3.7

凸面19.215.47.54.60.3-8.5-7.1-16.1-16.013.212.32.74.12.0-8.4-3.3-16.7-9.715.415.83.56.01.3-7.1-5.6-13.4-7.916.116.74.05.8-6.6-4.4-2.1-11.2-7.418.716.26.65.8-4.5-3.7-7.0-9.8-13.3

將加工后的小輪與之前加工好的大輪在滾動檢查機(jī)上按標(biāo)準(zhǔn)安裝位置進(jìn)行滾動檢查實驗。首先用千分表測量齒輪副的齒側(cè)間隙值，如圖11所示，實測齒側(cè)間隙為0.092 mm,在設(shè)計要求范圍以內(nèi)，表明該齒輪的齒厚得到了有效控制。之后讓齒輪副嚙合，觀察其接觸印痕，如圖12所示，可見凹凸兩面的接觸印痕均十分規(guī)整，位于齒面中部成近似矩形，說明在齒形誤差得到有效控制的情況下，齒輪副的接觸狀態(tài)可以得到有效的保障。

圖12 齒輪副嚙合區(qū)

5 結(jié)束語

本文提出小模數(shù)螺旋錐齒輪幾何誤差的間接控制方法，并建立了機(jī)床中心位置誤差及刀具幾何誤差對螺旋錐齒輪齒形和齒厚偏差的影響模型，總結(jié)了各誤差因素的影響規(guī)律。分析表明：各誤差因素與齒輪齒厚偏差近似成正線性關(guān)系，且機(jī)床安裝根錐角、機(jī)床X軸位置以及刀盤半徑偏差對齒輪齒厚的影響較大；機(jī)床X軸位置、刀具齒形角誤差和機(jī)床安裝根錐角的誤差對齒形及接觸區(qū)的影響較大，需進(jìn)行較為嚴(yán)格的控制。根據(jù)以上規(guī)律對機(jī)床誤差及刀具誤差進(jìn)行合理的主動控制，間接保證了螺旋錐齒輪的幾何形狀，并通過切齒實驗、齒形測量和齒側(cè)測量驗證了該誤差控制方法用于小模數(shù)螺旋錐齒輪的切齒加工可獲得良好的效果。