關(guān)于勾股定理有趣的數(shù)學(xué)文化與多種證明方法

趙祖洪

中圖分類號：G718.3 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2017）04-0076-02

在同學(xué)們整個中學(xué)的學(xué)習(xí)生活和實際生活中，我們都會遇到有關(guān)直角三角形的計算和測量，那就是勾股定理的運用。我們老師不僅要教會同學(xué)們學(xué)會數(shù)學(xué)科學(xué)文化知識，更重要的是要讓我同學(xué)們在日常生活中去靈活運用以及有關(guān)它存在的各種數(shù)學(xué)模型中。還要能感受我們今天的學(xué)習(xí)都是古代數(shù)學(xué)家們經(jīng)過大量的實踐與證明的得到的東西，探索數(shù)學(xué)知識從無到有的文化。勾股定理的發(fā)現(xiàn)與證明都是十分精彩的，在歷史長河中，勾股定理是全世界人的偉大發(fā)現(xiàn)。

今天我們教科書上的多種證明，在此一一列舉出來，可能對同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)以及培養(yǎng)數(shù)學(xué)興趣有所幫助。并在今后的學(xué)習(xí)中鋪平道路，對勾股定理有趣的文化有一個更加深刻的認識。

一、勾股世界

我國是最早了解勾股定理的國家之一，在我國最古老的數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《周髀算經(jīng)》上記載著這樣一段歷史：西周開國之初（約公元前一千多年）有一個叫商高的數(shù)學(xué)家對周公（周武王的弟弟，封在魯國當諸候）說：把一根直尺折成直角，兩端連結(jié)起來構(gòu)成一個直角三角形.它的短直角邊稱為勾，長直角邊稱為股，斜邊稱為弦。發(fā)現(xiàn)如勾為3，股為4，那么弦必為5。這就是勾股定理，又稱商高定理。

在西方公元前六世紀到公元前五世紀希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯也發(fā)現(xiàn)這一定理，并給出了證明，但他的證明也已失傳。后來歐幾里得寫《幾何原本》時，給出一個證明留傳至今（后文我們再補充，豐富同學(xué)們的視野）。因而西方稱這一定理為畢達哥拉斯定理。這一定理在數(shù)學(xué)上有廣泛的應(yīng)用，而且工程技術(shù)，測量中也有許多應(yīng)用。它在人類文明史上有重要的地位。

而在中國的有一位古代數(shù)學(xué)家趙爽在繼商高之后證明了勾股定理。他這個證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系（與我們今天教科書上一些證明方法的大致類似）。既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨特風(fēng)格樹立了一個典范。以后的數(shù)學(xué)家大多繼承了這一風(fēng)格并且有所發(fā)展。稍后一點的劉徽在證明勾股定理時也是用的以形證數(shù)的方法，只是具體圖形的分合移補略有不同而已。

二、勾股定理的多種證明方法（以教科書編排為序）：

第一種證明：教科書P3，通過直接數(shù)出正方形A、B、C的小方格數(shù)，將不足一格的方格算半個。結(jié)果來看它們之間的關(guān)系。小方格數(shù)即為面積。由此方法可以得出正方形A、B的面積與正方形C的面積相等。

第二種證明：教科書P8，如圖所示：

分析：正方形EFGH的面積=正方形ABCD-周圍四個小三角形的面積。

計算：正方形ABCD邊長為a+b，則面積為（a+b）2，小三角形的面積為，代入分析里面的公式得：（a+b）2 -4€？a2+b2而正方形EFGH的面積也可表示為：c2，所以：a2+b2=c2

第三種證明：教科書P8，如圖所示：

分析：正方形ABCD=正方形EFGH+小正方形EFGH周圍的四個小三角形的面積。

計算：正方形EFGH的邊長為b-a，則面積為（b-a）2，小三角形的面積為，代入分析里面的公式得：（b-a）2 +4€祝ǎ？a2+b2，而正方形ABCD的面積也可表示為：c2，所以：a2+b2=c2

這里驗證勾股定理的方法，據(jù)載最早是由三國時期數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時給出的。我國歷史上將圖中弦上的正方形稱為弦圖。這也是2002年世界數(shù)學(xué)家大會（ICM-2002）在北京召開的會標。如右圖所示中央圖案正是經(jīng)過藝術(shù)處理的“弦圖”，它既標志著中國古代的數(shù)學(xué)成就，又像一只轉(zhuǎn)動的風(fēng)車，歡迎來自世界各地的數(shù)學(xué)家們！

第四種證明：教科書P11，是美國總統(tǒng)Garfield（伽菲爾德總統(tǒng)）于1876年給出的一種驗證勾股定理的辦法。整個事情經(jīng)過是這樣的：在1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德。他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談?wù)撝裁?，時而大聲爭論，時而小聲探討。由于好奇心驅(qū)使伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什么。只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形。于是，伽菲爾德便問他們在干什么？只見那個小男孩頭也不抬地說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長為多少呢？”伽菲爾德答道：“是5呀。小男孩又問道：“如果兩條直角邊分別為5和7，那么這個直角三角形的斜邊長又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方?！毙∧泻⒂终f道：“先生，你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心理很不是滋味。

于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經(jīng)過反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法。

如圖所示：

分析：四邊形ABED是直角梯形，可通過求梯形的面積減掉兩個小三角形的面積而得出△ACB的面積。

計算：由梯形面積公式得梯形面積為[（a+b）€祝╝+b）]€？，△ADC與△BEC的面積和為：ab，所以△ACB的面積=梯形的面積-△ADC與△BEC的面積和，代入以上數(shù)據(jù)進行化簡得：，由圖中可知△ACB的面積也可以表示為。因此 = ，最后得出： a2+b2=c2

第五種證明：教科書P13，是歷史上有名的“青朱出入圖”如圖所示。劉徽在他的《九章算術(shù)注》中給出了注解，大意是：△ABC直角三角形，以勾為邊的正方形為朱方，以股為邊的正方形為青方，以盈補虛，將朱、青二方并成弦方。依其面積關(guān)系有 2+b2=c2?！扒嘀斐鋈雸D不用運算，單靠移動幾塊圖形就直觀地證出了勾股定理，真是“無字證明”！

第六種證明：教科書P15-16，

意大利文藝復(fù)興時代的著名畫家達·芬奇對勾股定理也曾進行了研究。他的驗證勾股定理的方法可以從下面的實驗中得到體現(xiàn)。

（1）在一張長方形的紙板上畫兩個邊長分別為a、b正方形，并連接BC、FE（如圖①示）。

（2）沿ABCDEFA剪下，得到兩個大小相同的紙板Ⅰ，Ⅱ，如圖②所示。

（3）將紙板Ⅱ翻轉(zhuǎn)后與Ⅰ拼成如圖③所示的圖形。

（4）比較圖①，圖③中兩個多邊形ABCEEF和ABCDEF的面積，發(fā)現(xiàn)兩個的面積是一樣的。就能得出勾股定理的存在。

本種證明補充說明一下：同樣兩個紙板翻了下，就能證明，很明顯，原圖中剪掉的兩個小三角形面積都在，翻一下只不過將剪掉的兩個小正方形合并為一個正方形了，從而得出勾股定理的存在。

第七種證明：教科書P16，也是“無字證明”如圖所示，過較大正方形的中心，作兩條互垂直的線，將其分成4份，然后，將這四個部分圍在四周，小正方形填在中間，恰好得到大正方形。

第八種證明（書本上沒有列出）：

歐幾里德對直角三角形三邊關(guān)系上有著獨特的方法進行了論證，證明過程如圖所示：

證明：在Rt△ABC中，∠BAC=90€埃訟B、AC、BC為邊向外有三個正方形：正方形ABDE，正方形ACGF，正方形BCHJ。連接DC、AJ。過A點作AN⊥JH，垂足為N，交BC于M。先通過SAS，可得△ABJ≌△DBC， 因此它們的面積相等。而正方形ABDE的面積=2△DBC的面積，長方形BMNJ的面積=2△ABJ的面積。因此，正方形ABDE的面積=長方形BMNJ的面積。同理可得正方形ACGF的面積 = 長方形CMNH的面積。從而：BC2=AB2+AC2，即：a2+b2=c2。

三、結(jié)束語

通過以上的八種證明方法，相信同學(xué)們對于勾股定理會銘記在心，使這個烙印永遠烙在心底，為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)樹立更為堅定的信心，為明天的學(xué)習(xí)奠定更為堅實的基礎(chǔ)，為心中的理想目標邁出成功的一步。讓這次洗禮成為中學(xué)學(xué)習(xí)生活中最為難忘的一堂課，而且在今后的運用中會更加得心應(yīng)手，我也相信你們會向古代數(shù)學(xué)家們一樣，遇到問題會去探索、發(fā)現(xiàn)、歸納和概括。

（責(zé)任編輯 陳 利）