基于有限元分析的共模扼流圈漏感計(jì)算研究

白旭升 董紀(jì)清

（福州大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，福州 350116）

基于有限元分析的共模扼流圈漏感計(jì)算研究

白旭升 董紀(jì)清

（福州大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，福州 350116）

共模扼流圈是EMI濾波器中重要的磁元件，其漏感能夠作為差模電感衰減差模噪聲，但當(dāng)漏感較小時(shí)，無(wú)法滿足差模噪聲的衰減要求，漏感太大容易造成磁心的飽和，故共模扼流圈的漏感是一個(gè)需要優(yōu)化的參數(shù)，應(yīng)對(duì)其漏感值進(jìn)行預(yù)測(cè)計(jì)算。本文基于有限元分析，對(duì)不同尺寸、不同繞組夾角的共模扼流圈的漏感進(jìn)行 3-D仿真，基于漏感的仿真結(jié)果與尺寸、繞組夾角間的關(guān)系，推導(dǎo)一種計(jì)算共模扼流圈漏感的數(shù)學(xué)模型。通過(guò)對(duì)樣品測(cè)量，結(jié)果驗(yàn)證了數(shù)學(xué)模型的正確性。

共模扼流圈；漏感；Maxwell仿真

滿足電磁兼容標(biāo)準(zhǔn)是開(kāi)關(guān)電源產(chǎn)品進(jìn)入市場(chǎng)的強(qiáng)制標(biāo)準(zhǔn)之一。開(kāi)關(guān)電源的強(qiáng)非線性產(chǎn)生了嚴(yán)重的EMI噪聲，為了衰減EMI噪聲，需要在電源內(nèi)部增加EMI濾波器。磁元件是構(gòu)成EMI濾波器的關(guān)鍵器件，實(shí)際中為了減小EMI濾波器的體積，提高功率密度，一般將共模電感的漏感作為差模電感用于抑制差模EMI噪聲電流，故共模扼流圈的漏感是一個(gè)需要優(yōu)化的參數(shù)，有必要對(duì)其大小進(jìn)行預(yù)測(cè)計(jì)算，防止因漏感過(guò)大導(dǎo)致磁心飽和，或因漏感過(guò)小而無(wú)法滿足差模EMI噪聲的衰減需求。

本文以不同尺寸、不同繞組夾角的共模扼流圈的3-D模型為研究對(duì)象，用Maxwell仿真軟件進(jìn)行仿真分析（如圖3所示），基于共模扼流圈的內(nèi)徑ID、外徑OD、繞組夾角θ與漏感間線性關(guān)系，推導(dǎo)出一種新的計(jì)算共模扼流圈漏感的數(shù)學(xué)模型。

1 共模扼流圈漏感的計(jì)算

1.1 共模扼流圈漏感計(jì)算的研究現(xiàn)狀

文獻(xiàn)[1]提出了漏感可以通過(guò)計(jì)算存儲(chǔ)在繞組中的磁場(chǎng)能量來(lái)確定，由漏感存儲(chǔ)能量表達(dá)式與繞組內(nèi)部的磁場(chǎng)能量相等得到漏感，即

式中，μ0為空氣磁導(dǎo)率，H為差模電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度，dV為繞組周?chē)臻g的元體積，Lleak為共模扼流圈的漏感，I為差模電流。對(duì)于環(huán)形磁心的共模扼流圈而言，共模扼流圈繞組周?chē)拇艌?chǎng)分布并不是線性的，磁場(chǎng)強(qiáng)度H很難求出來(lái)，故用表達(dá)式（1）計(jì)算漏感時(shí)加大了計(jì)算的工作量，在工程應(yīng)用上是十分不便的。

文獻(xiàn)[2]提出了計(jì)算共模扼流圈漏感表達(dá)式，其過(guò)程主要分為兩步：①計(jì)算空心磁心繞組的電感；②與半環(huán)形鐵氧體磁心對(duì)應(yīng)的有效磁導(dǎo)率μdm相乘即可得到漏感。為了模擬環(huán)形磁心繞組產(chǎn)生漏磁通的有效磁導(dǎo)率，可以將半環(huán)形鐵氧體磁心等效為棒狀磁心，對(duì)應(yīng)棒狀磁心建立有效磁導(dǎo)率的模型來(lái)求漏磁通對(duì)應(yīng)的有效磁導(dǎo)率μdm。棒狀磁心的有效磁導(dǎo)率μrod為磁棒的初始磁導(dǎo)率μi和棒狀磁心的Γ的函數(shù)，Γ的表達(dá)式如式（2）所示。圖1給出了μrod隨Γ和磁心材料的初始磁導(dǎo)率μi變化的曲線。

圖1 棒狀磁心有效磁導(dǎo)率函數(shù)曲線

半環(huán)形磁心對(duì)應(yīng)棒狀磁心的等效直徑Deff，如式（3）所示，進(jìn)一步得到共模扼流圈對(duì)應(yīng)于棒狀電感的Γeff如式（4）所示。根據(jù)圖1就可以得到共模扼流圈漏磁通的等效磁導(dǎo)率μdm。

對(duì)于繞制在磁環(huán)上的繞組來(lái)說(shuō)，漏磁通并不是僅通過(guò)繞組中心穿過(guò)，再通過(guò)繞組在磁環(huán)上包圍的弦完成一個(gè)回路。實(shí)際上，沒(méi)有形成回路的漏磁通也大量存在。因此，共模扼流圈的漏磁通的等效磁路長(zhǎng)度應(yīng)該進(jìn)行修正，其經(jīng)驗(yàn)式為

在文獻(xiàn)[3]中，另一種等效磁路長(zhǎng)度的經(jīng)驗(yàn)式被給出，即

式中，le為磁環(huán)的有效磁路長(zhǎng)度，OD、ID分別為共模扼流圈的外徑、內(nèi)徑，θ為繞組在磁環(huán)上所對(duì)應(yīng)的圓心角。

取規(guī)格為T(mén)14*9*5的磁心，并用式（5）與式（6）擬合出該磁心的等效磁路長(zhǎng)度曲線，如圖2所示，在角度大于 45°條件下，兩等式的曲線特性幾乎重合，表明了經(jīng)驗(yàn)式（6）的正確性。

圖2 式（5）和式（6）的等效磁路長(zhǎng)度曲線

根據(jù)圖1可以查出有效磁導(dǎo)率，等效磁路長(zhǎng)度可以由式（5）和式（6）計(jì)算出，則共模扼流圈漏感的表達(dá)式可以根據(jù)式（7）確定：

另一種不用查表而直接用公式計(jì)算漏感的方法，即

表1給出了8組初始磁導(dǎo)率都為10000的不同規(guī)格的樣品，利用式（7）和式（8）計(jì)算這8組樣品的漏感并與實(shí)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比求出誤差，結(jié)果見(jiàn)表2。其中，等效磁路長(zhǎng)度為式（5）計(jì)算所得，理想情況下，在式（5）中取繞組繞滿時(shí)所占的角度為180°。

表1 8組不同規(guī)格的樣品

表2 式（7）和式（8）計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果對(duì)比

表2結(jié)果表明，在最理想的180°繞組角度下，匝數(shù)較少時(shí)，利用式（7）和式（8）計(jì)算得到的漏感與實(shí)測(cè)漏感相比誤差小于10%，但匝數(shù)較多時(shí)，利用式（7）和式（8）計(jì)算得到的漏感與實(shí)測(cè)漏感相比誤差較大。當(dāng)繞組角度減小（即繞組夾角增大）且匝數(shù)較少時(shí)，漏感的計(jì)算誤差仍在10%以內(nèi)，但匝數(shù)較多時(shí)漏感計(jì)算誤差會(huì)進(jìn)一步增大。故用這種理論計(jì)算方法計(jì)算共模扼流圈漏感，計(jì)算繁瑣且誤差太大，在實(shí)際的工程應(yīng)用中很不方便。

1.2 基于Maxwell仿真分析推導(dǎo)共模扼流圈的漏感的數(shù)學(xué)模型

用仿真軟件Maxwell建立共模扼流圈的3-D模型，如圖3所示，向共模扼流圈3-D模型兩側(cè)繞組注入不同方向電流進(jìn)行仿真，根據(jù)存儲(chǔ)在磁場(chǎng)中的總能量得到漏感。為了分別得到內(nèi)徑ID、外徑OD、繞組夾角θ與共模扼流圈漏感的數(shù)學(xué)模型，32個(gè)不同的共模扼流圈 3-D模型被仿真分析，同時(shí)應(yīng)用Matlab進(jìn)行線性回歸運(yùn)算，其方差R2都要大于99%，表明了其在Matlab中達(dá)到極好的擬合特性。

圖3 共模扼流圈的尺寸和繞組夾角的對(duì)應(yīng)圖

分別在繞組夾角為10°、40°、90°的條件下，對(duì)相同內(nèi)徑ID、高度HT（ID=4mm，HT=2mm），不同外徑OD的3-D模型的共模扼流圈進(jìn)行仿真，由仿真結(jié)果擬合出的漏感隨著外徑變化的特性曲線如圖4所示，曲線表達(dá)式和方差分別為

由擬合出的線性表達(dá)式和公差可以得到共模扼流圈的漏感與磁心的外徑OD之間存在的線性關(guān)系，可由如下表達(dá)式表示：

式中，Ldm為共模扼流圈的漏感；k1為外徑的系數(shù)。

圖4 漏感隨著外徑OD的變化特性曲線

同樣，圖 5表明了在繞組夾角為 10°、40°、90°的條件下，對(duì)相同的外徑OD、高度HT（OD= 10mm，HT=2mm）、不同內(nèi)徑ID的3-D模型進(jìn)行仿真，由仿真結(jié)果擬合出的漏感隨著內(nèi)徑變化的特性曲線，如圖5所示。曲線表達(dá)式和方差分別為

線性表達(dá)式與公差表明了共模扼流圈的漏感隨內(nèi)徑ID線性變化，可將這種線性關(guān)系表示為

式中，k2為內(nèi)徑ID的系數(shù)。

圖5 漏感隨內(nèi)徑ID的變化特性曲線

磁心的高度HT與共模扼流圈的漏感也成線性關(guān)系。圖 6顯示了在相同的外徑OD、內(nèi)徑ID（OD=6mm，ID=4mm）條件下，繞組夾角分別為10°、40°、90°時(shí)，漏感隨高度HT變化的特性曲線。其擬合線性表達(dá)式和公差如下：

擬合出的線性表達(dá)式和公差表明了高度HT和漏感間的線性關(guān)系，可以由下式表示：

式中，k3為內(nèi)徑HT的系數(shù)。

圖6 漏感隨高度HT的變化特性曲線

圖 7所示在內(nèi)徑ID、外徑OD、高度HT（ID=4mm，OD=6mm，HT=1mm）不變情況下，漏感隨繞組夾角θ變化的特性曲線。擬合出的表達(dá)式為

其關(guān)系可以用式（12）的數(shù)學(xué)模型表示：

式中，c1為繞組夾角θ的系數(shù)。

圖7 漏感隨繞組夾角θ的變化特性曲線

一般情況下，所有關(guān)于電感的理論計(jì)算都表明了電感的大小與繞組的匝數(shù)的平方成正比，同時(shí)將式（9）至式（12）組合為一個(gè)電感的表達(dá)式，該表達(dá)式能夠反映共模扼流圈的漏感與外徑OD、內(nèi)徑ID、高度HT、繞組夾角θ以及匝數(shù)N間的關(guān)系：

式中，μ0為空氣磁導(dǎo)率；N為匝數(shù)；內(nèi)徑ID、外徑OD、高度HT的單位為m，θ角的單位為度（°），Ldm的單位為H。

基于Maxwell仿真軟件建立規(guī)格分別為T(mén)6/4/2、T8/4/2，繞組夾角分別為10°、40°、90°，匝數(shù)為30匝的共模扼流圈3-D模型，仿真得到漏感值。不同規(guī)格的共模扼流圈漏感的仿真結(jié)果見(jiàn)表3。

由式（13）可知，當(dāng)磁心的尺寸相同時(shí)，不同的θ角對(duì)應(yīng)的漏感之間或f(θ)之間都有一個(gè)比例關(guān)系。以為基準(zhǔn)，即，則的結(jié)果，見(jiàn)表3。

表3 以f(10)為基準(zhǔn)的各角度下的漏感仿真結(jié)果和對(duì)應(yīng)倍數(shù)

如表3所示，相同尺寸的共模扼流圈在不同繞組夾角條件下的漏感之間存在倍數(shù)關(guān)系，故可用倍數(shù)與角度間的線性關(guān)系求f(θ)的表達(dá)式。在假設(shè)f(10)=1條件下，對(duì)各個(gè)角度對(duì)應(yīng)的f(θ)值進(jìn)行線性擬合，可以得到擬合特性曲線如圖8所示，擬合的表達(dá)式為y=0.01027+x0.8943方差為R2=0.9998，由此擬合結(jié)果可以得到c1為0.01027，d1為0.8943。此擬合結(jié)果也適用其他規(guī)格的共模扼流圈。

圖8 倍數(shù)隨角度θ的變化特性曲線

由于參數(shù)c1、d1已經(jīng)確定，故要求得共模扼流圈外徑、內(nèi)徑、高度的系數(shù)，需要對(duì)相同角度下不同規(guī)格的共模扼流圈進(jìn)行仿真。取規(guī)格分別為T(mén)10/8/2、T10/4/2、T6/4/2，繞組夾角都為90°的共模扼流圈進(jìn)行仿真，漏感的仿真結(jié)果見(jiàn)表4。

表4 90°繞組夾角的不同尺寸仿真結(jié)果

將表4中的仿真結(jié)果帶入到式（13）中計(jì)算得到共模扼流圈的外徑OD、內(nèi)徑ID、高度HT的系數(shù)k1、k2、k3，該結(jié)果也適用于其他不同規(guī)格、不同繞組夾角的共模扼流圈。結(jié)合圖8的擬合結(jié)果，則式（13）中的k1、k2、k3、c1、d1的值見(jiàn)表5。

表5 內(nèi)徑、外徑、高度、繞組夾角的系數(shù)

1.3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

取表 1中的不同規(guī)格的共模扼流圈為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，其繞組夾角的大小見(jiàn)表6，實(shí)驗(yàn)測(cè)量共模扼流圈的漏感，并與推導(dǎo)出數(shù)學(xué)模型的計(jì)算結(jié)果比較，求出誤差。對(duì)比不同實(shí)物計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表6。

由表6可以看出，本論文推導(dǎo)出的數(shù)學(xué)模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)漏感之間的誤差較小，驗(yàn)證了推導(dǎo)數(shù)學(xué)模型的正確性。與表2相對(duì)比，其結(jié)果表明了推導(dǎo)出數(shù)學(xué)模型的精確度高于式（7）和式（8）。

表6 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證結(jié)果

2 結(jié)論

本論文通過(guò)對(duì)不同尺寸、不同繞組夾角的共模扼流圈的3-D模型仿真，分析了共模扼流圈的漏感與磁心內(nèi)徑、外徑、高度以及繞組夾角之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，推導(dǎo)出了一種計(jì)算共模扼流圈漏感的數(shù)學(xué)模型，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)試驗(yàn)證了數(shù)學(xué)模型的正確性。此漏感的數(shù)學(xué)模型在計(jì)算共模扼流圈漏感時(shí)不受繞組匝數(shù)和夾角的限制，計(jì)算簡(jiǎn)單且誤差很小，具有很好的工程應(yīng)用意義。

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The Calculation of the Leakage Inductance of the Common Mode Choke based on Finite Element Analysis

Bai Xusheng Dong Jiqing
(College of Electrical Engineering and Automation of Fuzhou University,Fuzhou 350116)

Common Mode Choke is an important magnetic component of EMI filter.leakage inductance of CM choke can be used as differential mode inductors to attenuate differential mode noise.when leakage inductance is small,it may not meet the requirements of differential-mode noise attenuation,however when it is big,it is easy to cause core saturation,so leakage inductance of the common mode choke is a parameter needed to be optimized and predicted.Based on finite element analysis,some 3-D common mode chokes of different sizes,different angles between two windings are simulated.Based on the relationship between simulated inductances and CM choke sizes,angles between two windings，we can derive mathematical model of the leakage inductance of the common mode choke.The sample measurements verify the correctness of the mathematical model.

common mode choke；leakage inductance；maxwell simulation

白旭升（1992-），男，河南省南陽(yáng)市人，碩士研究生，研究方向?yàn)殡娏﹄娮痈哳l磁技術(shù)。