分類討論思想在高中數(shù)學教學中的應用分析

王桂麗

鞍山市岫巖縣第三高級中學

分類討論思想在高中數(shù)學教學中的應用分析

王桂麗

鞍山市岫巖縣第三高級中學

在高中數(shù)學的教學實踐中，分類討論對高中數(shù)學課程尤為重要。代數(shù)分類討論主要分為三種：對所求變量的值域范圍進行討論并求解；對自變量的值域范圍進行討論并求解；對因變量的值域范圍進行討論并求解。幾何的分類討論大致分為：動點問題、無附圖幾何問題等。

分類討論；自變量；因變量

引言

不同與傳統(tǒng)的數(shù)學教育，高中代數(shù)課程中自變量和因變量都是因為變化而存在，所以分類討論和高中數(shù)學密不可分。而動點問題更作為重點考題，在近年的高考中頻頻出現(xiàn)。因此，對分類討論思想在高中數(shù)學教學中的應用作出合理化的分析，以便于更好的將分類討論思想運用到高中數(shù)學的教學實踐中。

1 、分類討論的原則

分類討論的原則主要有三種：

（1）每一級都按照統(tǒng)一標準：例如△=0和△≠0時，求a的取值范圍。

（2）分類逐級進行：先對a=0和a≠0進行，再對△=0和△≠0進行分類討論。

（3）同級互斥，不得越級的原則：例如a=0和a≠0就為互相排斥的兩個同級討論，但不可做越級的分類討論。

2 、分類討論思想存在的意義

2.1 分類討論思想在高中代數(shù)教學中存在的意義

例1，若A={x|ax2-2x+1=0}（a∈R）只含有一個元素，求a的取值范圍[1]。

解析：因為已知ax2-2x+1=0有且只含有一個實數(shù)根，所以討論分為兩種情況：a=0和a≠0。

當a=0時，x=0.5

當a≠0時，由△=0得出a=1，則x=1

綜上所述a的取值范圍是[0,1]

根據(jù)這道例題我們得知，當一個函數(shù)中含有兩個變量時，因為取值范圍的不確定，我們需要用△和題中其他的條件進行分析從而作出分類討論。若沒有分類討論，則無法求出取值范圍。分類討論在代數(shù)的求值和求值域問題是不可缺失的關鍵步驟，如果缺失則會出現(xiàn)“丟根”的現(xiàn)象，從而導致整體的求值錯誤。

2.2 分類討論思想在高中幾何教學中存在的意義

例2，若AB=5cm,BC=4cm,求AC的長是多少。

根據(jù)題意，有兩種情況：

（1）B點在AC兩點中間，AC=AB+BC=5+4=9cm

（2）C點在AB兩點中間，AC=AB-BC=5-4=1cm

根據(jù)例題，若不進行分類討論，則會出現(xiàn)求解錯誤。通過分析幾何題中點和點的位置關系，從而達到分類討論的目的，才會使答案更加準確。由此我們得知，若沒有分類討論，則不會把題中各個條件聯(lián)系在一起做最合理的求解。

3 、分類討論思想在高中數(shù)學教學中的應用

3.1 分類討論思想在高中代數(shù)教學中的應用

3.1.1 概率問題[2]

例3.設集合I={0，1，3，5，7}，選擇I的兩個非空子集A和B，使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，則有多少種不同的可能？

解：如B中最小的數(shù)為1，則A只有A={0}一種可能。B則有8種可能，3、5、7可以在集合中B，也可以不在集合B中。

如B中最小的數(shù)為3，則A有A={0}，A={1},A={0,1}三種可能。則B有4種方法，5、7可以在集合B中,也可以不在集合B中。

如B中最小的數(shù)為5，則A有7種可能，則A為A={0,1,3}的非空子集。則B有2種可能，8可以在集合B中,也可以不在集合B中。

如B中最小的數(shù)為7，則A有15種可能，則A為A={0，1，3，5}的非空子集。則B有1種可能，B={8}。

綜上所述，可能的方法有1×8+3×4+7×2+15×1=49

3.1.2 不等式問題

例4.求能夠使不等式（|x|-x）（1+x）＜0成立的x的取值范圍。

解：當x≥0時，|x|-x=x–x=0，于是（|x|-x）（1+x）=0，不滿足原式，故舍去x≥0

當x＜0時，|x|-x=-2x＞0，x應當要使（|x|-x）（1+x）＜0，滿足1+x＜0，即x＜-1，所以x的取值范圍是x＜-1。

3.1.3 函數(shù)問題

例5.求f（x）=ax2，求函數(shù)單調性。

解：若a＜0時，a的偶次冪為正，奇次冪為負。

若a=0或a=1時，函數(shù)的值為1。f（a）＞1

若0＜a＜1時，函數(shù)f（x）=ax為減函數(shù)。f（a）＞0

綜上所述，對于一切實數(shù)a，f（a）＞0都成立。

3.2 分類討論思想在高中幾何教學中的應用

例6.在平面直角坐標系中，四邊形OABC是梯形，OA∥BC，點A的坐標為（6，0），點B的坐標為（4，3），點C在y軸的正半軸上.動點M在OA上運動，從O點出發(fā)到A點；動點N在AB上運動，從A點出發(fā)到B點.兩個動點同時出發(fā)，速度都是每秒1個單位長度，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨即停止，設兩個點的運動時間為t（秒），求線段AB的長；當t為何值時，MN∥OC？

解：過點B作BD⊥OA于點D，則四邊形CODB是矩形，BD= CO=4，OD=CB=3，DA=3，在Rt△ABD中，AB=√32+42=5。

當MN∥OC時，MN∥BD，

∴△AMN∽△ADB，AN/AB=AM/AD

∵AN=OM=t，AM=6-t，AD=3，

∴t/5=（6-t）/3，即t=3.75（秒）；

4 、結論

在高中數(shù)學的教學過程中，教師應該更加合理的利用高中學生已經(jīng)具備了有關分類討論問題的實際生活體驗這一基礎，在解決分類問題的時候，要在關鍵時刻給予學生指導，讓學生知道和明確分類討論思想的原則和目的，從而鍛煉學生對分類問題的獨立思考能力和舉一反三能力。同一事物按不同的標準則有不同的分類標準，應該是無重復和無遺漏的[3]。在高中的課程教學和實踐中，應著重鍛煉學生獨立分析問題的思想，只有學生能進行獨立分析，才能使分類討論思想在高中數(shù)學的解題中發(fā)揮到最大作用。本文通過對分析討論思想的分析，在今后的教學實踐中，培養(yǎng)學生多方位、全方面的去看待高中數(shù)學中的分類討論問題，使學生最終養(yǎng)成“具體問題，具體分析”的好習慣。

[1]蘇懷堂.高中數(shù)學中“分類討論”的思想方法[J].新課程（中學）,2016,12:117.

[2]王艷青,代欽.高中數(shù)學解題教學中的分類討論策略[J].內蒙古師范大學學報（教育科學版）,2011,12:121-122.

[3]楊建平.淺談分類討論思想在中學數(shù)學教學中的應用[J].學周刊,2013,20:21.

王桂麗（1981-），女，滿族，遼寧鞍山岫巖人，大學本科學歷，數(shù)學教育研究。