2017年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第20題的賞析與思考

安徽省碭山中學(xué) 辛 民 (郵編:235300)

2017年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第20題的賞析與思考

安徽省碭山中學(xué) 辛 民 (郵編:235300)

1 原題再現(xiàn)

2017年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第20題如下:

已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1(a＞0,b∈R)有極值,且導(dǎo)函數(shù)f′(x)的極值點(diǎn)是f(x)的零點(diǎn)．(極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值)

(1)求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;

(2)證明:b2＞3a;

(3)若f(x)、f′(x)這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于,求a的取值范圍．

2 試題賞析

以函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式為框架,以二次、三次函數(shù)、分式函數(shù)為依托,以函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)為紐帶設(shè)計(jì)試題,試題涉及函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、零點(diǎn)、極值點(diǎn)等基本概念、基本知識(shí),著力考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、方程、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法,考查函數(shù)方程、轉(zhuǎn)化化歸、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法,較好地考查了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理．試題平和、質(zhì)樸;選擇三次函數(shù)命題,超脫了此類問(wèn)題的模擬考試中一般命題模式,多項(xiàng)式函數(shù)與其他超越函數(shù)結(jié)合的命題,極具親和力;分層設(shè)問(wèn),梯次遞進(jìn),層次感較強(qiáng),以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體,考查學(xué)生的慎密思維、嚴(yán)格的推理能力,通過(guò)問(wèn)題的解答揭示知識(shí)的產(chǎn)生背景、發(fā)展、形成過(guò)程,總結(jié)提煉數(shù)學(xué)思想方法,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的創(chuàng)造發(fā)現(xiàn)發(fā)展的特點(diǎn);體現(xiàn)了教育部考試中心公布的《2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱:總綱》中提出,在“必備知識(shí)、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價(jià)值”4層考查目標(biāo)以及“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”4個(gè)方面的考查要求的基礎(chǔ)上,科學(xué)設(shè)計(jì)命題內(nèi)容,增強(qiáng)基礎(chǔ)性和綜合性,著重考查考生獨(dú)立思考和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力的命題要求．

3 解法賞析

解(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1,得

當(dāng)a＝3時(shí)f′(x)＞0(x≠－1),故f(x)在R上是增函數(shù),f(x)沒(méi)有極值．

當(dāng)a＞3時(shí),f′(x)＝0有兩個(gè)相異的實(shí)根,設(shè)其為x1、x2,容易判定它們是f′(x)的極值點(diǎn)．故,定義域?yàn)?3,＋∞)．

注通過(guò)導(dǎo)函數(shù)f′(x)的極值點(diǎn)是f(x)的零點(diǎn)建立等式,解法自然流暢,通過(guò)建立不等關(guān)系求函數(shù)定義域略顯困難,對(duì)學(xué)生的慎密思維、嚴(yán)格推理能力要求較高．

同理可證g(a)＞g(3),即b2＞3a．

又a＞3,所以b＞a．

由此可得b2＞a2＞3a．

注通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化不等式問(wèn)題化為函數(shù)求解或利用重要不等式求解,要求學(xué)生具有較寬的數(shù)學(xué)視野,具有一定數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．

(3)由(1)知f(x)的極值點(diǎn)為x1、x2,且x1,則

則f(x)、f′(x)的所有極值之和F(a)就是f′(x)的極值,因?yàn)?于是F(a)在(3,＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減,因?yàn)榍夜蔭≤6．

綜上可得,a的取值范圍是 3,6( ]．

注解題方法自然清爽,具體運(yùn)算程序、過(guò)程對(duì)學(xué)生的運(yùn)算品質(zhì)、運(yùn)算過(guò)程中求簡(jiǎn)意識(shí)要求較高．

4 錯(cuò)誤分析

高考后組織30名優(yōu)秀學(xué)生試做該題,學(xué)生得分率較低,對(duì)第一問(wèn)27位同學(xué)給出了b、a之間的關(guān)系式,僅有5位同學(xué)正確給出了函數(shù)的定義域,關(guān)鍵是學(xué)生不能正確理解應(yīng)用函數(shù)有極值這一充要條件求解;8位同學(xué)給出定義域?yàn)閧a|a≥3},暴露出學(xué)生慎密思維欠缺,誤把充分條件當(dāng)作充要條件求解,最后導(dǎo)致結(jié)果不準(zhǔn)確,對(duì)而不全．第二問(wèn)僅有4位同學(xué)給出了正確答案,都是選用作差比較大小的方法,另有9位同學(xué)構(gòu)造函數(shù)后求導(dǎo)出錯(cuò),關(guān)鍵是學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題的能力薄弱,等價(jià)轉(zhuǎn)化意識(shí)淡薄,不能正確的將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題求解,另有12位同學(xué)機(jī)械套用重要不等式,由,則,半途而廢,沒(méi)有意識(shí)到等號(hào)成立條件為即與a＞3矛盾,及時(shí)調(diào)整思路,尋找新的運(yùn)算方法．第三問(wèn)僅有1位同學(xué)給出了正確的解答,學(xué)生能夠正確理解題意,列出表達(dá)式,但是學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力薄弱,不能合理靈活地設(shè)計(jì)運(yùn)算程序,獲取運(yùn)算結(jié)果．事實(shí)上,此題考查的是學(xué)生應(yīng)知、應(yīng)會(huì)、應(yīng)該具有的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、關(guān)鍵能力及數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng),沒(méi)有特殊的方法技巧,學(xué)生的解答過(guò)程不盡人意,這也暴露了我們平時(shí)教與學(xué)中存在的問(wèn)題．

5 教學(xué)思考

5．1 落實(shí)必備知識(shí),提升關(guān)鍵能力

《高考大綱》明確指出高考數(shù)學(xué)考查的是學(xué)生的“必備知識(shí)、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價(jià)值”,即數(shù)學(xué)核心概念、主干知識(shí)及概念、知識(shí)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維方法、數(shù)學(xué)思想方法理性數(shù)學(xué)精神以及利用這些思想、方法解決問(wèn)題的能力．然而在應(yīng)試教育的大環(huán)境下,數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)被矮化為知識(shí)的掌握與解題訓(xùn)練,表現(xiàn)為:概念辨析、原理陳述、范例精講、變式訓(xùn)練、歸納總結(jié),相當(dāng)多的教學(xué)時(shí)間花在學(xué)生解題、教師講題上,師生共同陷入題海,學(xué)生更多地學(xué)到的是模仿而不是思考,造成學(xué)生思維能力低下．因此,高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)教師要幫助學(xué)生從學(xué)科整體高度上再次經(jīng)歷概念的形成過(guò)程,了解概念、知識(shí)的產(chǎn)生背景,體會(huì)數(shù)學(xué)化的過(guò)程,多角度、多層次分析、理解概念的表征,提高抽象概括能力、邏輯思維能力、數(shù)學(xué)表達(dá)能力,幫助學(xué)生構(gòu)建概念系統(tǒng),清除理解上的盲點(diǎn)難點(diǎn),優(yōu)化概念、知識(shí)結(jié)構(gòu),領(lǐng)悟其蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想、方法,建立從概念到解題的自然鏈接,在解題中辨析、深化概念,強(qiáng)化概念本質(zhì)的理解與應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng),使數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程變?yōu)橥娓拍?、品概念、用概念的活?dòng),提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．例如解題教學(xué)時(shí),精選例題,通過(guò)解題,理解、比較不同概念差別與聯(lián)系,如

已知初數(shù)x、y滿足 (x－2)2＋y2＝1,則的取值范圍是__________．答案1,2[ ]

在解決此問(wèn)題時(shí),應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考相關(guān)概念,加深對(duì)概念的理解,可從以下幾方面著手:

(1)點(diǎn)P,(x,y)在圓(x－2)2＋y2＝1上,將P看作向量就可以理解為向量在向量上的投影,數(shù)形結(jié)合很容易得到結(jié)果．

(4)也可提示學(xué)生采用變量代換,令x－2＝cosθ,y＝sinθ,但數(shù)學(xué)運(yùn)算能力要求較高,很難得到正確的答案．

選擇此題,可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣,通過(guò)學(xué)習(xí),學(xué)生對(duì)向量的投影、距離、三角函數(shù)的定義等有一個(gè)全新的認(rèn)識(shí)．

又如,在概念復(fù)習(xí)時(shí),不應(yīng)再重復(fù)高一、高二的故事,要精心設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)內(nèi)容,創(chuàng)新復(fù)習(xí)方法,讓學(xué)生在概念復(fù)習(xí)中有新的收獲,如在復(fù)習(xí)三角函數(shù)中的正、余弦定理時(shí),除按教材、課標(biāo)要求外,可增加如下設(shè)問(wèn):

敘述余弦定理的逆命題,并證明其真假．(真)

交換余弦定理中的條件與結(jié)論即可解決此題,但無(wú)從下手,關(guān)鍵是理不出余弦定理的條件、結(jié)論是什么,余弦定理的文字?jǐn)⑹鰹?三角形的任意一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦積的2倍,這樣敘述不易分清條件與結(jié)論,可考慮轉(zhuǎn)化語(yǔ)言敘述定理:

在△ABC中a,b,c是角A,B,C的對(duì)邊,那么

a2＝b2＋c2－2bccosA,b2＝a2＋c2－2accosB,c2＝a2＋b2－2abcosC．

這樣上述定理中共有6個(gè)量,三邊a、b、c與三角A、B、C．

逆命題為:若a、b、c為正實(shí)數(shù),α、β、γ∈ (0,π且,a2＝b2＋c2－2bccosα,b2＝a2＋c2－2accosβ,c2＝a2＋b2－2abcosγ,則a、b、c對(duì)應(yīng)的線段構(gòu)成一個(gè)三角形,其對(duì)角分別為α、β、γ．證明(略)

敘述正弦定理的逆命題,并證明其真假 ．(假)

通過(guò)以上分析學(xué)生對(duì)余弦定理的理解與感悟比學(xué)習(xí)新課上升一個(gè)檔次,達(dá)到了復(fù)習(xí)的目的．

5．2 加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí) 提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)的基本能力,它是解題的基本功,也是學(xué)生發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、取得高分的根本保證,其重要性是不言而喻的,上題所考查的運(yùn)算技能,主要包括方程、不等式的求解,字母及無(wú)理數(shù)的運(yùn)算等,從學(xué)生答題情況看卻令人擔(dān)憂,相當(dāng)一部分學(xué)生運(yùn)算能力不過(guò)關(guān),如第1問(wèn)求導(dǎo)法則記憶不準(zhǔn)確,函數(shù)有極值條件理解不透導(dǎo)致計(jì)算不準(zhǔn)等,第2問(wèn)不等式與函數(shù)問(wèn)題不能正確相互轉(zhuǎn)化、導(dǎo)數(shù)計(jì)算出錯(cuò),第3問(wèn)不能正確利用極值點(diǎn)簡(jiǎn)化計(jì)算,費(fèi)九牛二虎之力卻算出錯(cuò)誤的結(jié)果．?dāng)?shù)學(xué)每一步運(yùn)算都以定義、定理、公式、法則為依據(jù),因此,正確理解概念、準(zhǔn)確掌握公式、定理、法則是準(zhǔn)確、迅速、靈活運(yùn)算的根本保證,提高學(xué)生的運(yùn)算能力應(yīng)是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中一項(xiàng)長(zhǎng)抓不懈的工作．

6 命題思考

數(shù)學(xué)高考試題就應(yīng)該這樣以教材、考綱為基礎(chǔ),以基本概念、定理、法則及基本數(shù)學(xué)思想方法的考查為主線,反應(yīng)數(shù)學(xué)課改的要求,體現(xiàn)追求數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)思考的價(jià)值取向,突出數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查,沒(méi)有必要通過(guò)拓展、深挖傳統(tǒng)的初等數(shù)學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)極其精巧的解題技巧,學(xué)生解決問(wèn)題像科學(xué)家搞研究一樣創(chuàng)新解決問(wèn)題的方法,提高試題的區(qū)分度,達(dá)到選拔的目的．本題第二問(wèn)若改為證明:b＞a,好像更好,更簡(jiǎn)潔,解答問(wèn)題的方法、考查的知識(shí)、能力基本不變．

2017-07-09)