談解題教學(xué)中數(shù)學(xué)文化的培養(yǎng)
——以“變中有不變”為例

內(nèi)蒙古師范大學(xué)附屬中學(xué) 王洪軍 (郵編:010020)

教 學(xué)參 考

談解題教學(xué)中數(shù)學(xué)文化的培養(yǎng)
——以“變中有不變”為例

內(nèi)蒙古師范大學(xué)附屬中學(xué) 王洪軍 (郵編:010020)

“數(shù)學(xué)文化”是近年來(lái)應(yīng)用頻率較高的詞匯,教育部2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(實(shí)驗(yàn))中有較大篇幅談到數(shù)學(xué)文化,可見(jiàn)其重視程度．然而很多一線教師認(rèn)為高考試卷中出現(xiàn)與數(shù)學(xué)史有關(guān)的題目才是考查數(shù)學(xué)文化的,其實(shí)不然．南開(kāi)大學(xué)顧沛教授在《數(shù)學(xué)文化》一書(shū)中指出:“數(shù)學(xué)文化”一詞的內(nèi)涵,簡(jiǎn)單說(shuō),是指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法和觀點(diǎn),以及它們的形成與發(fā)展;廣泛些說(shuō),除上述內(nèi)涵外,還包括數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與社會(huì)的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與各種文化的聯(lián)系,等等．因此,在高中階段普及數(shù)學(xué)文化的宗旨,是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),讓他們學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題．解題教學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)課型中占據(jù)重要的地位,也格外受到教師和學(xué)生的重視,筆者認(rèn)為,教師在解題教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生理解并感受數(shù)學(xué)文化非常有必要,本文以“變中有不變”為例進(jìn)行一些探討,以期與各位同行交流．

1 “變中有不變”的文化內(nèi)涵

世間萬(wàn)物都在不斷的變化之中,變化是絕對(duì)的,靜止是相對(duì)的,在這種運(yùn)動(dòng)和變化中,事物的大多數(shù)性質(zhì)也會(huì)隨之改變,但有些性質(zhì)卻是相對(duì)穩(wěn)定,并不改變,這就是“變中有不變”．只有相對(duì)靜止不變的對(duì)象,我們才能把握,數(shù)學(xué)學(xué)科就是要在數(shù)量變化中尋求其中的不變因素．我們知道文化內(nèi)涵是文化的載體所反映出的人類(lèi)精神和思想方面的內(nèi)容,以“變中有不變”為載體,在紛繁變化的數(shù)學(xué)海洋中把握變化中的不變性,就更能感受數(shù)學(xué)之美,顯示數(shù)學(xué)智慧之光,也能更好地體現(xiàn)其文化內(nèi)涵．“雕欄玉砌應(yīng)猶在,只是朱顏改”略能反映這種意境．

數(shù)學(xué)內(nèi)容中“變中有不變”的例子不勝枚舉,比如,圓的大小是千變?nèi)f化的,圓的周長(zhǎng)與直徑也隨之改變,但是無(wú)論怎樣變化,圓的周長(zhǎng)與直徑的比值是不變的,這種“變中有不變”的性質(zhì)(即圓周率)揭示了圓的本質(zhì)．直角三角形的大小是千變?nèi)f化的,它的直角邊與斜邊也隨之改變,但是無(wú)論怎樣變化,斜邊的平方都等于兩條直角邊的平方和．直角三角形中的這種“變中有不變”的性質(zhì)就是我們熟知的“勾股定理”．

數(shù)學(xué)中的概念、性質(zhì)、法則、數(shù)量關(guān)系式等等,其來(lái)源和應(yīng)用都蘊(yùn)含“變中有不變”的思想,在解題教學(xué)中,我們也可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中“變中有不變”的性質(zhì),讓學(xué)生體會(huì)這種數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題的方法,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的魅力．下面用幾個(gè)例習(xí)題來(lái)作進(jìn)一步的闡述．

2 從例習(xí)題中感受“變中有不變”

例1設(shè)M、N是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn),P是橢圓上異于M、N的一點(diǎn),直線PM、PN的斜率分別為k1,k2,則k1·k2＝______．

例題中的直線PM,PN是變化的,相應(yīng)的斜率k1、k2也隨之改變,但無(wú)論怎樣變化,斜率之積是不變量．這啟發(fā)筆者考慮更一般的情況:

解析:設(shè)點(diǎn)M(x0,y0),則N(－x0,－y0),設(shè)橢圓上點(diǎn)Px,y( )．

在解題教學(xué)中,通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)典型問(wèn)題中所蘊(yùn)含的不變關(guān)系,在發(fā)展其思維能力的同時(shí),也能使其深刻地理解問(wèn)題的本質(zhì),還能發(fā)現(xiàn)很多有用的性質(zhì),上例中所得到的一般結(jié)論在很多問(wèn)題中都能發(fā)揮重要作用．

例2已知函數(shù)fx()是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),對(duì)于,則不等式f(x－1)＜x2(3－2lnx)＋3(1－2x)的解集為_(kāi)_____．

解析由題意可知,符合題中條件的函數(shù)f(x)有很多,但不管函數(shù)形式怎么改變,所考查不等式的解集是不變的．不妨令f(x)＝0,易知它是符合條件的,因此,所考查的不等式變?yōu)閤2(3－2lnx)＋3(1－2x)＞0．

令g(x)＝x2(3－2lnx)＋3(1－2x),可得g′(x)＝4x－4xlnx－6,容易得到,當(dāng)x＞0時(shí),xlnx≥x－1,當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)等號(hào)成立．故g′(x)≤4x－4(x－1)－6＝－2＜0,函數(shù)g(x)在 (0 ,＋∞)上單調(diào)遞減,注意到g(1)＝0,因此,不等式x2(3－2lnx)＋3(1－2x)＞0的解集為 (0,1)．

通過(guò)考查例題中的“變中有不變”,可以選擇從特殊情況入手,進(jìn)而使得復(fù)雜的問(wèn)題得以解決．其實(shí)更重要的一點(diǎn)是,無(wú)論函數(shù)fx()怎么改變,處理問(wèn)題的方法也是不變的,這啟發(fā)筆者得到下面更一般的解答．

例3已知a、b、c分別為 △ABC的角A、B、C的對(duì)邊,a＝2,且 2＋b( )sinA－sinB(

)＝c(－b)sinC,則 △ABC面積的最大值為_(kāi)________．

解析由已知條件結(jié)合正

數(shù)學(xué)中到處都是變與不變的矛盾統(tǒng)一,上面的例題從不同的側(cè)面展現(xiàn)了具體問(wèn)題中的“變中有不變”,在解題教學(xué)過(guò)程中,結(jié)合學(xué)生實(shí)際情況,在研究具體問(wèn)題時(shí),可以采用有針對(duì)性的遞進(jìn)式設(shè)問(wèn)或?qū)︻}目進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪?讓學(xué)生來(lái)探究題目自身所反映的普遍性規(guī)律,引導(dǎo)學(xué)生從“變”中尋求“不變”的本質(zhì)．?dāng)?shù)學(xué)研究變化,是以找到其中的不變性為歸宿,尋求并欣賞數(shù)學(xué)中無(wú)處不在的不變性質(zhì),領(lǐng)略不變量和不變性的內(nèi)在魅力,是把握數(shù)學(xué)的鑰匙之一．

3 對(duì)“數(shù)學(xué)文化”教學(xué)的感悟

數(shù)學(xué)是一個(gè)開(kāi)放的系統(tǒng),有來(lái)自于內(nèi)部和外部的文化基因．一方面,數(shù)學(xué)的思想、精神、方法和觀點(diǎn),深刻地影響著人類(lèi)文明的進(jìn)步;另一方面,數(shù)學(xué)又從一般文化的發(fā)展中汲取營(yíng)養(yǎng),受到所處時(shí)代的制約．從這個(gè)意義上說(shuō),數(shù)學(xué)教育就是數(shù)學(xué)文化的教育．

“數(shù)學(xué)文化”并不僅僅是數(shù)學(xué)史,數(shù)學(xué)內(nèi)容的本身就蘊(yùn)含數(shù)學(xué)文化,課本中的數(shù)學(xué)概念、定理等,似乎并沒(méi)有文化意味,但只要想想“為什么要研究這些概念、定理?是什么啟發(fā)我們這么做?”,考慮這些問(wèn)題就會(huì)涉及其文化價(jià)值．?dāng)?shù)學(xué)解題看似是抽象的推導(dǎo),但只要多引導(dǎo)學(xué)生問(wèn)問(wèn)“這些方法或技巧是如何體現(xiàn)問(wèn)題本質(zhì)的?”,也會(huì)凸顯其文化意味．讓學(xué)生從這樣的互動(dòng)中認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的文化本質(zhì),在教學(xué)中揭示文化意義,進(jìn)而讓學(xué)生受到深刻的文化感染．?dāng)?shù)學(xué)不是冷冰冰的形式化的表述和推理,在這些內(nèi)容背后都蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)文化,在教學(xué)過(guò)程中,我們應(yīng)該還“冰冷的美麗”以“火熱的思考”,讓學(xué)生接受數(shù)學(xué)并真正感受數(shù)學(xué)的無(wú)限魅力．

2017-06-26)