管窺問題鏈 談概念教學

山東省單縣第一中學 衛(wèi)小國 (郵編:274300)

管窺問題鏈 談概念教學

山東省單縣第一中學 衛(wèi)小國 (郵編:274300)

數(shù)學課堂教學中的“問題鏈”,是教師在理解教材內容和教學目標的基礎上,根據學生已有知識與經驗、思維能力;針對某一知識點設計一串相互關聯(lián)、層次遞進的問題.通常概念教學中的“問題鏈”在表象上是問問相連、環(huán)環(huán)相扣的形式;而更值得關注的是“問題鏈”呈現(xiàn)概念的生成過程,讓學生體驗數(shù)學家概括數(shù)學概念的心路歷程,領悟數(shù)學家用數(shù)學視角認識世界的真諦.在高中數(shù)學概念教學中,從教學結構上主要以引入型問題鏈與遷移型問題鏈為常見的類型;而根據教學需要,兩種類型相互融合,并不絕對獨立.本文,結合對一次問題鏈比賽的分析,淺談問題鏈在概念教學要關注概念的數(shù)學本質、認知基礎和概念概括的層次性.

1 簡評比賽作品

筆者有幸擔任第五屆校際“問題鏈”設計大賽的評委工作,問題鏈課題為人教版必修4“函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ),(A＞0,ω＞0)的圖象”.下面摘選部分典型的問題鏈設計作品,并作簡單分析.

吳老師(2年教齡):

問題1 如果對φ取不同的值,作出y＝sin(x＋φ)的圖象,觀察其與y＝sinx圖象是否具有類似的關系?在同一坐標系中畫出y＝sinx和y的圖象.

問題2 利用上述研究方法,討論ω對函數(shù)y＝sinωx的圖象有什么影響?作函數(shù)y＝及y＝sin2x的圖象.

問題3 利用上述研究方法,討論A對函數(shù)y＝Asinx的圖象有什么影響?作函數(shù)y＝及y＝2sinx的圖象.

何老師(7年教齡)

問題1 函數(shù)y＝sin(x±φ)(φ＞0)的圖象和函數(shù)y＝sinx圖象的關系是什么?

問題2 函數(shù)y＝sin(ωx)(ω＞0)的圖象和函數(shù)y＝sinx圖象的關系是什么?

問題3 函數(shù)y＝Asinx(A＞0)的圖象和函數(shù)y＝sinx圖象的關系是什么?

問題4 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ),(A＞0,ω＞0)的圖象和函數(shù)y＝sinx圖象的關系是什么?

王老師(9年教齡):

問題1 你認為可以怎樣討論參數(shù)A、ω、φ對y＝Asin(ωx＋φ),(A＞0,ω＞0)的圖象的影響?

問題5 剛才我們度量研究的A、ω、φ對y＝Asin(ωx＋φ),(A＞0,ω＞0)圖象的影響,進一步思考一下;我們能不能對這三個參數(shù)加以整合呢?

由各位參賽選手的問題設計可見,教師目前對問題鏈在概念教學課堂中的引領作用是認同的;并且能融入個人對學科知識的個性理解和展示自身的學科素養(yǎng).

優(yōu)點有:①選手能根據對教學內容理解的基礎上,設法通過問題鏈來激發(fā)學生的問題探究意識與興趣,培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力.②問題鏈中的問題展現(xiàn)了選手充分認識到數(shù)學概念的高度抽象性,試圖設計出具體的、數(shù)學的問題情境,降低抽象思維難度.③選手是以典型的、具體的實例為載體,針對不同的參數(shù)進行分解處理;再抽象、綜合,提煉出三角函數(shù)圖象的變換作圖方法.

但選手在過分關注問題鏈的流程時,卻忽略概念教學問題鏈設計是“學生對數(shù)學概念的認識是重演前人對概念認知過程”;所以有值得商榷的幾個方面.大致為:①問題鏈之間的邏輯關系模糊.從表面上看,三種變換之間沒有必然的聯(lián)系;其實不然,課本對變換編排的先后順序是經過深思熟慮的,是綜合考量學生已在必修1函數(shù)部分,對作圖有初步的認識的基礎上,設計出符合學生認知發(fā)展規(guī)律的次序.②思維活動的缺失使得問題鏈有骨感沒質感.數(shù)學概念高度融入了數(shù)學家的思維,是一種“冰冷的美麗”;只有經歷“火熱的思考”才能理解概念的內涵.而選手的問題鏈設計停留在概念的學術形態(tài),沒有向教育形態(tài)上過渡;即概念教學缺少了概念生成性的理解.沒有合乎學生認知水平和接近學生思維最近發(fā)展區(qū)的問題設計,沒有更符合學生認知螺旋上升的問題情境;教學將僅剩下幾項注意的灌輸而已.③概念教學目標不清晰.概念教學的核心活動是“概括”,選手們設計的問題只是提供了問題,但是無法從深層上引導學生展開概括活動.概念教學是系統(tǒng)的思維,需要導引學生分析具體問題中的特性,再抽象出一般情形下的數(shù)學屬性;學生經歷思維從特殊到一般、具體到抽象的提升;進而分析、歸納、抽象、概括獲得概念.

2 改進問題設計

概念是人腦對事物本質屬性所具有的數(shù)學特征的概括反映,是反映客觀世界的數(shù)量關系和空間形式等的本質屬性的思維形式;數(shù)學概念從本源可以是對現(xiàn)實對象或關系直接抽象而成的概念,也可以是抽象邏輯思維的產物.基于學生已有的數(shù)學基礎和活動經驗、認知結構與規(guī)律,概念教學一定要落實概念生成的本原、基礎和層次.簡單解釋為概念教學要弄清楚以下三個方面:①概念在根本上,要描述的是怎樣的數(shù)量關系與空間形式;即概念的數(shù)學本質.②學習對象對概念學習的接受能力、知識結構和認知水平等;即概念的認知基礎.③概念的教學設計要如何設置才能層層遞進,使得在問題鏈中充分滲透概念生成的必要性、合理性和嚴謹性;即概念的三個層面.

2.1 關于情境引入

三角函數(shù)的圖象變換是圖象作法的直接抽象,是基于“五點作圖法”和基本三角函數(shù)圖象作出三角型函數(shù)方法;這即是概念的數(shù)學本質,因此要具體研究三個參數(shù)的影響.另外進入高中之前,學生接觸過函數(shù)圖象變換,定性掌握了“左加右減、上加下減”作圖技巧;且學生有必修一函數(shù)部分的學習,初步具備了用基本初等函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的能力;這是概念的認知基礎.

對函數(shù)作圖方法,這種具有過程性特征的數(shù)學概念,要基于學生現(xiàn)有認知水平,選擇合適的數(shù)學素材;設計合理的情境引入.課堂中,教師要圍繞設計的問題情境,使學生經歷概念的發(fā)生發(fā)展過程,讓學生能根據變化的問題調整認識的角度,反映概念的不同特征,深化對概念的理解.

問題引入 在章前已借助單位圓和“五點作圖法”作出正弦函數(shù)y＝sinx在[0,2π]上的圖象,那么我們如何獲得在實數(shù)域內的圖象?

預測活動 學生對已有知識與經驗的回憶,會因為知識結構特點不同,產生不同的見解;要引至圖象周期性的整體平移是本質.

問題1 運用正弦函數(shù)y＝sinx在[0,2π]上的圖象,結合周期將該部分圖象左右平移獲得正弦函數(shù)圖象;即平移圖象時點的變化特點及相應代數(shù)解釋,又是怎樣的?

預測活動 問題導引下,經過學生的思考與合作交流,提煉點坐標變化規(guī)律:平移是縱坐標保持不變,橫坐標變化,即函數(shù)值不變自變量以某種方式變化.

通過情景的引入,鍥入本節(jié)課的整體方向;對平移的簡單認知與問題1為定量分析平移變換作好鋪墊,同時為振幅變換的類比分析打下伏筆.為研究從正弦函數(shù)y＝sinx圖象得到函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ),(A＞0,ω＞0)圖象的,必須探究A、ω、φ的影響.這一過程是對概念必要性的考慮,只有研究清楚參數(shù)影響,才能確定整個函數(shù)圖象的生成.

2.2 關于主問題鏈

問題2 基于y＝sinx的圖象如何獲得y＝Asin(ωx＋φ),(A＞0,ω＞0)的圖象;為此探究參數(shù)A、ω、φ對y＝Asin(ωx＋φ),(A＞0,ω＞0)有怎樣的影響,那如何選擇順序?

預測活動 由于學生對問題的淺層了解,或存在有多種順序的選擇;選擇優(yōu)先φ,再討論其他是合情合理的.原有的知識已不足以解決提出的問題,新的問題引起認知的沖突,激發(fā)探究的興趣;同時,也就明確提出需要完成的核心任務是理解概念合理性的.概念生成的合理性,是學生為了解決問題,用數(shù)學的思維分析問題的過程;只有教師呈現(xiàn)概念的邏輯結構的同時,從學生的思維方式入手,才能完美解決概念生成的“好不好”問題.

子問題1 為探究φ的影響,我們列表且在同一坐標系內,具體選擇函數(shù)圖象如何由y＝sinx圖象平移而來?并思考如何推廣到一般情形?

預測活動 學生列表、繪圖,作出在y軸右側的第一個周期內的函數(shù)圖象;定量分析同一表中函數(shù)值不變時,中的自變量x的取值相對減少了個單位.學生抽象一般情形,思維從特殊到一般,在歸納結論的過程中;概括平移變換的規(guī)律.從代數(shù)解釋y＝f(x＋φ)(φ＞0)與y＝f(x)當函數(shù)值相同時,前者較后者小φ個單位;而幾何解釋為縱坐標不變時,前者是后者圖象整體向左平移φ個單位.

預測活動 學生同理作出在y軸右側的第一個周期內的函數(shù)圖象;定量分析同一表中自變量相同時,中的函數(shù)值的取值的2倍.從圖象的對比中提煉出振幅變換的幾何與代數(shù)本質,獲得可操作的作圖方法;類比的推理能力與邏輯證明意識,在這一過程中得到強化.

預測活動 學生類比分析同一表中自變量相同時,函數(shù)值不變時,中的自變量x的取值只是原來的一半.獲取周期變換結論的過程,學生相對會熟悉;對比參數(shù)對圖象的影響,是再認識對應改變的是自變量,還是函數(shù)值及以何種改變方式.

以上的問題是概念合理性的研究,結合具體的問題直觀想象、推理論證,準確地歸納出合理的操作性過程;在具體中抽象一般規(guī)律,概括作圖方法,建構變換作圖的數(shù)學模型.

2.3 關于概念生成

預測活動 學生根據上面的一系列分析,較多是“先平移變換、再振幅變換、后周期變換”.

追問1 是否可以調整一下順序呢?

預測活動 學生會因為不能準確理解變換的內涵,變式練習時出錯;通過“重復”實踐再概括具體情境的操作性過程.即在充分感知的基礎上再概括,再細致觀察,防止概念的錯誤.

2.4 關于概念完善

問題4 由函數(shù)y＝sinx的圖象經過變換得到函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ),(A＞0,ω＞0)的圖象,你認為如何處理呢?

預測活動 學生對以上三個問題的思考,從特殊中已提煉出一般的操作性概念;逐步用比較嚴謹與規(guī)范、簡潔的語言描述概念

問題3、4是概念的辨析,即是從概念的具體到一般化,從正例和反例上舉證;從而在概念的抽象概括過程中,實現(xiàn)概念的嚴謹性.

3 概念教學思考

張奠宙教授對概念的解讀是“數(shù)學概念是建立數(shù)學法則、公式、定理的細胞,也是構成數(shù)學運算、推理、判斷、證明并形成運算能力、邏輯推理能力、空間想象能力、分析問題與解決問題的能力的基本要素”;這揭示數(shù)學概念的學習是學習數(shù)學的基礎.如是,教師對數(shù)學概念的數(shù)學本質的理解,對學生認知水平的評估,對概念的必要性、合理性、嚴謹性的領悟;都將直接影響概念教學的效果.

教師要在概念教學的問題鏈設計中,關注新概念與舊經驗的關聯(lián),將新的概念納入到原有概念體系中,與之前的相關概念建立聯(lián)系.同時,教師要對概念的內容進行教學分解,以知識發(fā)現(xiàn)的邏輯關系為明線,以切合學生的思維方式為暗線;在問題鏈中培養(yǎng)學生敢質疑、善思考、求嚴謹?shù)睦硇运季S精神,提升學生的數(shù)學素養(yǎng).教師要充分利用概念教學追求的“必要性、合理性、嚴謹性”,以學生的認知基礎為基點,以必要性為始點,以合理性為探究對象,以嚴謹性為核心;理解概念的內涵與外延,并形成概念的代數(shù)與幾何的準確表述.

簡而言之,就是在課堂教學中,教師要抓住“數(shù)學地認識問題和解決問題”這一核心任務,以數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展為脈絡,以理解數(shù)學知識的心理過程為線索,教會學生構建邏輯上前后一致、思維螺旋上升的學習過程,并能用數(shù)學的視角思考問題.

2017-05-11)