應(yīng)用基本不等式解題的常用方法分析

孫天貺

（湖南省平江縣一中高467班）

應(yīng)用基本不等式解題的常用方法分析

孫天貺

（湖南省平江縣一中高467班）

在高中數(shù)學(xué)中，基本不等式作為重點(diǎn)知識內(nèi)容，在實(shí)際運(yùn)用的過程中，需要掌握相應(yīng)的解題技巧與方法，進(jìn)而為實(shí)現(xiàn)對基本不等式知識的有效掌握奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)，實(shí)現(xiàn)對這一知識點(diǎn)的有效掌握，也是學(xué)好其他相關(guān)知識的基礎(chǔ)。通常而言，基本不等式解題的常用方法為：“1”的代換法、換元法、適當(dāng)拼湊組合法、待定系數(shù)法、換元法、消元法以及多次應(yīng)用不等式法。

一、“1”的代換法

二、換元法的運(yùn)用

評析：在這一題目中，涉及了x+y與xy，借助基本不等式，可將xy溝通到目標(biāo)式x+y，通過換元法的運(yùn)用進(jìn)行換元，再以解不等式的方式，將x+y的取值范圍求出。同樣，在相同的條件下，能夠求出xy的最大值為4。事實(shí)上，在實(shí)際解題的過程中，采用換元法的目的是將問題簡單化，進(jìn)而促使不會的問題轉(zhuǎn)變?yōu)闀膯栴}，在此基礎(chǔ)上，就能輕而易舉地得到答案。

三、適當(dāng)拼湊組合法

四、待定系數(shù)法

例題4：若x2-xy+2y2=4，則3x2+4y2最大值為 （ ）

在實(shí)際解析該題目的過程中，則采取待定系數(shù)法，在拆分式子運(yùn)用基本不等式的過程中，最為常見的問題便是如何進(jìn)行拆分拼借，這也是該方法的重點(diǎn)與難點(diǎn)，在實(shí)際進(jìn)行解決的過程中，則可借助參數(shù)，先向目標(biāo)式方向進(jìn)行拆分，然后結(jié)合最為理想的拆分狀態(tài)，相應(yīng)方程列出并進(jìn)行參數(shù)求解，經(jīng)過這一方法的運(yùn)用，得出本題的答案為16。

五、消元法

例題5：已知實(shí)數(shù)x，y滿足xy+1=2x+y，且x＞1，則（x+1）（y+1）的最小值為 （）

在實(shí)際針對這一題目進(jìn)行解析的過程中，基于已知條件（x-1）y=2x-1，相應(yīng)的另外一個條件為x＞1，就能夠判斷這一題目可借助消元法進(jìn)行求解，在運(yùn)用消元法解基本不等式的過程中，需要掌握一定的技巧，或者是借助導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解。

六、多次應(yīng)用不等式

例題6：正實(shí)數(shù)a，b滿足2a+b=1，則的最小值為（ ）

在針對這一題目進(jìn)行解析的過程中，可借助多次運(yùn)用基本不等式的方法，但是需注意的是：等號要滿足同時(shí)被取到的條件，所以，在第二次運(yùn)用基本不等式的過程中，則需要將2a+b=1與4a2+之間相互轉(zhuǎn)換，2a+b=1進(jìn)行平方運(yùn)算，4a2+4ab+b2=1，設(shè)最后問題直接轉(zhuǎn)換為的最小值問題，根據(jù)圖象求解最小值為

在應(yīng)用基本不等式解題中，常用的方法較多，在實(shí)際進(jìn)行運(yùn)用的過程中，需要掌握各種方法的技巧與注意事項(xiàng)，并按照相應(yīng)的技巧方法按部就班地進(jìn)行解題，進(jìn)而能夠確保最終得到準(zhǔn)確答案。在高中數(shù)學(xué)中，基本不等式是學(xué)習(xí)的一大重點(diǎn)知識，同時(shí)這一知識點(diǎn)難度也相對較大，因此，在實(shí)際學(xué)習(xí)的過程中，要在把握各種方法所存在規(guī)律的基礎(chǔ)上，進(jìn)行多次反復(fù)練習(xí)，確保能夠?qū)崿F(xiàn)對不同解題方法的熟練運(yùn)用，為日后相關(guān)知識的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

●編輯 魯翠紅