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    帶電粒子場(chǎng)中動(dòng) 考題類型須弄清

    2017-01-21 21:08:45華興恒
    中學(xué)生理科應(yīng)試 2016年11期
    關(guān)鍵詞:電場(chǎng)力帶電粒子重力

    華興恒

    帶電粒子在不同的場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)是高考的熱點(diǎn),有些學(xué)生對(duì)此類問(wèn)題望而生畏,常常不知如何入手求解,導(dǎo)致考場(chǎng)失利,難以榮錄心儀的學(xué)校.為此下面對(duì)此類考題分類例析,只要大家分類掌握了這些題型的解法,然后達(dá)到舉一反三,便可觸類旁通,為順利高考打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

    一、帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

    例1 (2016年全國(guó)卷Ⅱ)如圖1所示,P是固定的點(diǎn)電荷,虛線是以P為圓心的兩個(gè)圓.帶電粒子Q在P的電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)軌跡與兩圓在同一平面內(nèi),a、b、c為軌跡上的三個(gè)點(diǎn).若Q僅受P的電場(chǎng)力作用,其在a、b、c點(diǎn)的加速度大小分別為aa、ab、ac,速度大小分別為va、vb、vc.則()圖1

    解析因?yàn)閹щ娏W又皇茈妶?chǎng)力的作用,由點(diǎn)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度公式E=kqr2可知,離場(chǎng)源點(diǎn)電荷P越近,電場(chǎng)強(qiáng)度越大,Q受到的電場(chǎng)力也就越大,則由牛頓第二定律可知,加速度越大,故有ab>ac>aa,則選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤;由力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系可知,Q受到的庫(kù)侖力指向運(yùn)動(dòng)軌跡凹的一側(cè),因此Q與P帶同種電荷,Q從c到b的過(guò)程中,電場(chǎng)力做負(fù)功,動(dòng)能減少,從b到a的過(guò)程中,電場(chǎng)力做正功,動(dòng)能增加,因此Q在b點(diǎn)的速度最小,由于b、c兩點(diǎn)的電勢(shì)差的絕對(duì)值小于a、b兩點(diǎn)的電勢(shì)差的絕對(duì)值,因此Q從c到b的過(guò)程中,動(dòng)能的減少量小于從b到a的過(guò)程中動(dòng)能的增加量,Q在c點(diǎn)的動(dòng)能小于在a點(diǎn)的動(dòng)能,即有va>vc>vb.故應(yīng)選D.

    點(diǎn)評(píng)掌握點(diǎn)電荷電場(chǎng)的特點(diǎn),明確電場(chǎng)力做功與電勢(shì)差的關(guān)系,是順利求解本題的關(guān)鍵.熟知帶電粒子僅在電場(chǎng)力的作用下,其加速度的大小取決于場(chǎng)強(qiáng)的大小,其速度的大小取決于電場(chǎng)力做功的正負(fù)與大小.要注意的是:帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí),若只受電場(chǎng)力的作用,則帶電粒子的動(dòng)能與其勢(shì)能的總和為一定值.

    例2 (2016年北京卷)如圖2所示,電子由靜止開(kāi)始經(jīng)加速電場(chǎng)加速后,沿平行于板面的方向射入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng),并從另一側(cè)射出.已知電子質(zhì)量為m,電荷量為e,加速電場(chǎng)電壓為U0,偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)可看作勻強(qiáng)電場(chǎng),極板間電壓為U,極板長(zhǎng)度為L(zhǎng),板間距離為d.

    圖2

    (1)忽略電子所受重力,求電子射入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的初速度v0和從電場(chǎng)射出時(shí)沿垂直板面方向的偏轉(zhuǎn)距離Δy.

    (2)分析物理量的數(shù)量級(jí)是解決物理問(wèn)題的常用方法.在解決(1)問(wèn)時(shí)忽略了電子所受的重力,請(qǐng)利用下列數(shù)據(jù)分析說(shuō)明其原因.已知U=2.0×102V,d=4.0×10-2m,m=9.1×10-31kg,e=1.6×10-19C,g=10m/s2.

    (3)極板間既有靜電場(chǎng)也有重力場(chǎng).電勢(shì)反映了靜電場(chǎng)各點(diǎn)的能的性質(zhì),請(qǐng)寫出電勢(shì)

    φ的定義式.類比電勢(shì)的定義方法,在重力場(chǎng)中建立“重力勢(shì)”φG的概念,并簡(jiǎn)要說(shuō)明電勢(shì)和“重力勢(shì)”的共同特點(diǎn).

    解析該題主要考查帶電粒子在加速電場(chǎng)和偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)、電勢(shì)的定義等知識(shí).

    (1)根據(jù)功和能的關(guān)系,有eU0=12mv20,則電子射入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的初速度v0=2eU0m.

    在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中電子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為Δt=Lv0=

    Lm2eU0,可得偏轉(zhuǎn)距離△y=12a(Δt)2=12·eUdm(Δt)2=UL24U0d.

    (2)考慮電子所受重力和電場(chǎng)力的數(shù)量級(jí),有重力G=mg~10-29N,電場(chǎng)力F=eUd~10-15N.因?yàn)镕G,因此無(wú)須考慮電子所受的重力作用.

    (3)電場(chǎng)中某點(diǎn)電勢(shì)φ定義為電荷在該點(diǎn)的電勢(shì)能EP與其電荷量q的比值,即φ=EPq.由于重力做功與路徑無(wú)關(guān),可以類比靜電場(chǎng)電勢(shì)的定義,將重力場(chǎng)中物體在某點(diǎn)的重力勢(shì)能EG與其質(zhì)量m的比值叫做“重力勢(shì)”,即φG=EGm.電勢(shì)φ和重力勢(shì)φG都是反映場(chǎng)的能的性質(zhì)的物理量,僅由場(chǎng)本身的因素決定.

    例3 (2015年全國(guó)卷Ⅱ)如圖3所示,一質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),A、B為其運(yùn)動(dòng)軌跡上的兩點(diǎn).已知該粒子在A點(diǎn)的速度大小為v0,方向與電場(chǎng)方向的夾角為60°,它運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)速度方向與電場(chǎng)方向的夾角為30°,不計(jì)重力.求A、B兩點(diǎn)間的電勢(shì)差.

    解析 設(shè)帶電粒子在B點(diǎn)的速度大小為vB,粒子在垂直于電場(chǎng)方向的速度分量不變,即vBsin30°=v0sin60°,由此可得vB=3v0.

    設(shè)A、B兩點(diǎn)間的電勢(shì)差為UAB,則由動(dòng)能定理有qUAB=12m(v2B-v20),將vB代入可解得UAB=mv20q.

    點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),垂直電場(chǎng)方向上其分速度大小不變,電場(chǎng)力只改變帶電粒子沿電場(chǎng)方向上的分速度,兩個(gè)方向上分速度的大小關(guān)系也就決定了帶電粒子運(yùn)動(dòng)方向與電場(chǎng)線方向的夾角,重點(diǎn)是將速度分解,然后根據(jù)qU=△Ek即可獲解.

    二、帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

    例4 (2016全國(guó)卷Ⅱ)一圓筒處于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,磁場(chǎng)方向與筒的軸平行,筒的橫截面如圖4所示.圖中直徑MN的兩端分別開(kāi)有小孔,筒繞其中心軸角速度ω順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng).在該截面內(nèi),一帶電粒子從小孔M射入圓筒,射入時(shí)的運(yùn)動(dòng)方向與MN成30°角.當(dāng)圓筒轉(zhuǎn)過(guò)90°時(shí),該粒子恰好從小孔N飛出圓筒.不計(jì)重力,若粒子在筒內(nèi)未與筒壁發(fā)生碰撞,則帶電粒子的比荷為( ).圖5

    A.ω3BB.ω2BC.ωBD.2ωB

    解析 由題意可知帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖5所示.由幾何關(guān)系可知,帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓弧所對(duì)的圓心角為30°,因此帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=112×2πmqB;由題意可知,帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與筒轉(zhuǎn)過(guò)90°所用的時(shí)間相等,即πm6qB=14×2πω,求得qm=ω3B.

    故應(yīng)選A.

    點(diǎn)評(píng) 求解本題的關(guān)鍵是要能夠正確的審題,并能夠根據(jù)審題結(jié)果正確地畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡,并找準(zhǔn)幾何關(guān)系.簡(jiǎn)單地說(shuō)就是:定圓心,畫軌跡,由幾何知識(shí)求半徑,找圓心角求時(shí)間.否則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)解的發(fā)生.

    例5 (2016四川卷)如圖6所示,正六邊形abcdef區(qū)域內(nèi)有垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng).一帶正電的粒子從f點(diǎn)沿fd方向射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域,當(dāng)速度大小為vb時(shí),從b點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng),在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為tb;當(dāng)速度大小為vc時(shí),從c點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng),在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為tc.不計(jì)粒子重力,則( )

    解析設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為l,一帶正電的粒子從f沿fd方向射入磁場(chǎng)區(qū)域,當(dāng)速度大小為vb時(shí),從b點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng),則由幾何關(guān)系可知粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為rb=l,粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡所對(duì)的圓心角為120°.因?yàn)橛陕鍌惼澚μ峁┫蛐牧?,則有Bqvb=mv2bl,解得l=mvbqB,且T=2πl(wèi)vb,可得tb=13·2πmqB;當(dāng)速度大小為vc時(shí),從c點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng),則由幾何關(guān)系可知,粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑rc=l+12lsinθ=2l,同理有2l=mvcqB,tc=16·2πmqB.解得vb∶vc=1∶2,tb∶tc=2∶1,則選項(xiàng)A正確.故應(yīng)選A.

    點(diǎn)評(píng) 解答本題的關(guān)鍵是要確定粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心,然后根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑以及運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角,這樣就能夠順利獲解.

    例6 (2016年全國(guó)卷Ⅲ)平面OM和平面ON之間的夾角為30°,其橫截面圖8

    (紙面)如圖8所示,平面OM上方存在勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直于紙面向外.一帶電粒子的質(zhì)量為m,電荷量為q(q>0).粒子沿紙面以大小為v的速度從OM的某點(diǎn)向左上方射入磁場(chǎng),速度與OM成30°角.已知該粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡與ON只有一個(gè)交點(diǎn),并從OM上另一點(diǎn)射出磁場(chǎng).不計(jì)重力,粒子離開(kāi)磁場(chǎng)的出射點(diǎn)到兩平面交線O的距離為().

    A.mv2qB B.3mvqB C.2mvqB D.4mvqB

    解析如圖9所示為粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖,設(shè)出射點(diǎn)為P,粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與ON的交點(diǎn)為Q,粒子入射方向與OM成30°角,則射出磁場(chǎng)時(shí)速度方向與MO成30°角,由幾何關(guān)系可知,PQ⊥ON,故出射點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為軌道圓直徑的2倍,即4R.又粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑R=mvqB,故應(yīng)選D.

    點(diǎn)評(píng)準(zhǔn)確作出帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵,在做題時(shí)可以運(yùn)用直尺和圓規(guī)或小硬幣輔助作圖,以利于順利求解.

    例7 (2013年課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)如圖10所示,半徑是R的圓是一圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的橫截面(紙面),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直于紙面向外.一電荷量為q(q>0)、質(zhì)量為m的粒子沿平行于直徑ab的方向射入磁場(chǎng)區(qū)域,射入點(diǎn)與ab的距離為R2.已知粒子射出磁場(chǎng)與射入磁場(chǎng)時(shí)運(yùn)動(dòng)方向間的夾角為60°,則粒子的速率為(不計(jì)重力)().

    A.qBR2m B.qBRm C.3qBR2m D.2qBRm

    解析作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖11中實(shí)線所示.因P到ab的距離為R2,可知α=30°.因粒子速度方向改變60°,可知轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角2θ=60°.由圖中幾何關(guān)系有(r+R2)tanθ=Rcosα,解得r=R.再由Bqv=mv2r,可得v=qBRm.則選項(xiàng)

    A、C、D錯(cuò)誤,選項(xiàng)B正確.故應(yīng)選B.

    點(diǎn)評(píng)正確地描繪粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是順利求解本題的關(guān)鍵,然后根據(jù)幾何關(guān)系,利用邊、角關(guān)系確定圓的半徑,進(jìn)而根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律便可簡(jiǎn)捷地求出粒子的速率.

    三、帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題圖12例8 (2016年北京卷)如圖12所示,質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子,以初速度v沿垂直磁場(chǎng)方向射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng),在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng).不計(jì)帶電粒子所受的重力.

    (1)求粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R和周期T;

    (2)為使該粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng),還需要同時(shí)存在一個(gè)與磁場(chǎng)方向垂直的勻強(qiáng)電場(chǎng),求電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小.

    解析(1)因洛倫茲力提供向心力,則有qvB=mv2R,據(jù)此可求得帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R=mvqB,勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=2πRv=2πmqB.

    (2)帶電粒子所受的電場(chǎng)力為F=qE,洛倫茲力為f=qvB.因帶電粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng),則有qE=qvB,據(jù)此可得電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E=vB.

    地面上方有一范圍足夠大的

    互相正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)

    磁場(chǎng)區(qū)域.磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)

    度為B,方向水平并垂直紙面

    向里.一質(zhì)量為m、帶電荷量為q的帶正電微粒在此區(qū)域內(nèi)沿豎直平面(垂直于磁場(chǎng)方向的平面)做速度大小為v的勻速圓周運(yùn)動(dòng),重力加速度為g.

    (1)求此區(qū)域內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向.

    (2)若某時(shí)刻該微粒在場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí),速度與水平方向的夾角為60°,且已知P點(diǎn)與水平地面間的距離等于其做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑.求該微粒運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)與水平地面間的距離.

    (3)當(dāng)帶電微粒運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)時(shí),將電場(chǎng)強(qiáng)度的大小變?yōu)樵瓉?lái)的12(方向不變,且不計(jì)電場(chǎng)變化對(duì)原磁場(chǎng)的影響),且?guī)щ娢⒘D苈渲恋孛?,求帶電微粒落至地面時(shí)的速度大小.

    解析 (1)由于帶電微??梢栽陔妶?chǎng)、磁場(chǎng)和重力場(chǎng)共存的區(qū)域內(nèi)沿豎直平面做勻速圓周運(yùn)動(dòng),表明帶電微粒所受的電場(chǎng)力和重力大小相等、方向相反,因此電場(chǎng)強(qiáng)度的方向豎直向上.

    設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度為E,則有mg=qE,即E=mgq.

    圖14

    (2)設(shè)帶電微粒做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R,根據(jù)牛頓第二定律和洛倫茲力公

    式有qvB=mv2R,解得R=mvqB.

    依題意可畫出帶電微粒做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖14所示,由幾何關(guān)系可知,該微粒運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)時(shí)與水平地面間的距離hm=52R=5mv2qB.

    (3)將電場(chǎng)強(qiáng)度的大小變?yōu)樵瓉?lái)的12,即F電=mg2,帶電微粒運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,洛倫茲力不做功,所以在它從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至地面的過(guò)程中,只有重力和電場(chǎng)力做功,設(shè)帶電微粒落地時(shí)的速度大小為v1,根據(jù)動(dòng)能定理有mghm-F電hm=12mv21-12mv2,解得v1=v2+5mgv2qB.

    答案:(1)mgq,方向豎直向上 (2)5mgv2qB

    (3)v2+5mgv2qB

    點(diǎn)評(píng) 處理帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的技巧.

    1.弄清復(fù)合場(chǎng)的組成.

    2.正確分析帶電粒子的受力及運(yùn)動(dòng)特征.

    3.畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡,靈活選擇不同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

    4.對(duì)于臨界問(wèn)題,注意挖掘隱含條件,關(guān)注特殊詞語(yǔ)如“恰好”“剛好”“至少”,尋找解題的突破口.

    例10 (2012年課標(biāo)全國(guó)卷)如圖15所示,一半徑為R的圓表示一柱形區(qū)域(紙面).在柱形區(qū)域內(nèi)加一方向垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng),一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子沿圖中直線在圓上的a點(diǎn)射入柱形區(qū)域,在圓上的b點(diǎn)離開(kāi)該區(qū)域,離開(kāi)時(shí)速度方向與直線垂直.圓心O到直線的距離為35R.現(xiàn)將磁場(chǎng)換為平行于紙面且垂直于直線的勻強(qiáng)電場(chǎng),同一粒子以同樣速度沿直線在a點(diǎn)射入柱形區(qū)域,也在b點(diǎn)離開(kāi)該區(qū)域.若磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,不計(jì)重力,求電場(chǎng)強(qiáng)度的大小.

    解析 粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng),設(shè)圓周的半徑為r,由牛頓第二定律和洛倫茲力公式得

    qvB=mv2r

    式中v為粒子在a點(diǎn)的速度.

    如圖16所示,

    過(guò)b點(diǎn)和O點(diǎn)作直線的垂線,分別與直線交于c、d兩點(diǎn),則由幾何關(guān)系可知,線段ac、bc與過(guò)a、b兩點(diǎn)的軌跡圓弧的兩條半徑(未畫出)

    圍成一正方形.因此有

    ac=bc=r②圖16

    設(shè)cd=x,則由幾何關(guān)系可得

    ac=45R+x

    bc=35R+x④

    聯(lián)立②③④式得r=75R⑤

    再考慮粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng).設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E,粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng),設(shè)其加速度大小為a,則由牛頓第二定律和帶電粒子在電場(chǎng)中的受力公式可得

    qE=ma⑥

    粒子在電場(chǎng)方向和直線方向所走的距離均為r,則由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得

    r=12at2

    r=vt⑧

    式中t是粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.

    聯(lián)立①⑤⑥⑦⑧式可解得E=14qRB25m.

    (收稿日期:2016-08-24)

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