多解多變 提升能力

王友峰

【課本原題】（蘇科版《數(shù)學(xué)》教科書(shū)八年級(jí)上冊(cè)第132頁(yè)練習(xí)題第2題）已知點(diǎn)A（2，y1）、B（1，y2）在反比例函數(shù)y=[kx]（k<0）的圖像上，比較y1、y2的大小.

【多解分析】方法1（計(jì)算法）：∵點(diǎn)A（2，y1）、B（1，y2）在反比例函數(shù)y=[kx]（k<0）的圖像上，∴y1=[k2]，y2=k.又k<0，∴y1>y2.

方法2（性質(zhì)法）：∵k<0，∴反比例函數(shù)圖像在第二、四象限內(nèi)，且在各自的圖像內(nèi)，y隨x的增大而增大，A、B兩點(diǎn)在同一象限，2>1，∴y1>y2.

方法3（圖像法）：畫(huà)出函數(shù)y=[kx]的圖像（草圖略），標(biāo)出A、B兩點(diǎn)，由圖像可知y1>y2.

若將兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)用字母來(lái)表示，則得到蘇科版《數(shù)學(xué)》教科書(shū)八年級(jí)上冊(cè)第145頁(yè)復(fù)習(xí)題“探索研究”第12題：已知點(diǎn)P（x1，y1）、Q（x2，y2）在反比例函數(shù)y=[kx]（k<0）的圖像上，且x1

【演變過(guò)程】課本原練習(xí)題已知了自變量的具體數(shù)值，直接通過(guò)計(jì)算或增減性或畫(huà)圖就能判斷y1、y2的大小，而復(fù)習(xí)題則需要對(duì)P、Q兩點(diǎn)的位置分類(lèi)討論.改變題目的條件或結(jié)論，變式拓展，就可以得到許多中考題.

【考題在線】

變式1：（2016·甘肅天水）反比例函數(shù)y=[-1x]的圖像上有兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），若x1<0

A.y1

C.y1>y2>0 D.y1>0>y2

【分析解答】本題給出了具體的反比例函數(shù)解析式和圖像上兩個(gè)不在同一象限的點(diǎn)的坐標(biāo)，比較兩個(gè)反比例函數(shù)值的大小.解題關(guān)鍵是畫(huà)出圖像，數(shù)形結(jié)合，直接觀察獲解.如圖1所示，觀察圖像發(fā)現(xiàn)若x1<00>y2，故選D.

【解后反思】本題是選擇題，因此也可采用特值法，如令x1=-1，x2=1，可求得y1=1，y2=-1，由1>0>-1得到y(tǒng)1>0>y2.

變式2：（2016·四川成都）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）兩點(diǎn)都在反比例函數(shù)y=[2x]的圖像上，且x1

【分析解答】本題給出了具體的反比例函數(shù)的解析式和圖像上兩個(gè)在同一象限的點(diǎn)的坐標(biāo)，比較兩個(gè)反比例函數(shù)值的大小.可以采用解決課本練習(xí)題的三種方法求解，請(qǐng)同學(xué)們自己試一試，答案是y1>y2.

變式3：（2016·福建龍巖）反比例函數(shù)y=[-3x]的圖像上有P1（x1，-2），P2（x2，-3）兩點(diǎn)，則x1與x2的大小關(guān)系是（ ）.

A.x1>x2 B.x1=x2

C.x1

【分析解答】本題給出了具體的反比例函數(shù)解析式和圖像上兩個(gè)在同一象限的點(diǎn)的坐標(biāo)，由反比例函數(shù)值大小來(lái)比較自變量值的大小.也可采用解決課本練習(xí)題的三種方法求解，答案選A.

變式4：（2016·新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)）已知A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函數(shù)y=[kx]（k≠0）圖像上的兩個(gè)點(diǎn)，當(dāng)x1y2，那么一次函數(shù)y=kx-k的圖像不經(jīng)過(guò)（ ）.

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【分析解答】本題給出了反比例函數(shù)的解析式和圖像上兩個(gè)在同一象限的點(diǎn)的坐標(biāo)，考查由點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的大小關(guān)系來(lái)確定反比例函數(shù)的增減性，得出比例系數(shù)k的性質(zhì)符號(hào)，進(jìn)而判斷一次函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)的象限.由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)x1y2，可知當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而減小，故k>0，所以

-k<0，所以一次函數(shù)y=kx-k經(jīng)過(guò)一、三、四象限，不經(jīng)過(guò)第二象限，故選B.

變式5：（2015·江蘇泰州）點(diǎn)（a-1，y1）、（a+1，y2）在反比例函數(shù)y=[kx]（k>0）的圖像上，若y1

【分析解答】本題給出了反比例函數(shù)的解析式和圖像上兩個(gè)橫坐標(biāo)含參數(shù)字母a的點(diǎn)坐標(biāo)，要求由橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的大小關(guān)系來(lái)確定參數(shù)字母a的取值范圍.∵k>0，∴在圖像的每一支上，y隨x的增大而減小.但由于參數(shù)a的變化，兩個(gè)點(diǎn)可能在雙曲線的同一支上，也可能在雙曲線的兩支上，因此需要分兩種情況進(jìn)行討論求解.答案是-1

【解后反思】本題是由課本練習(xí)題和復(fù)習(xí)題綜合而成的，它有以下三個(gè)特點(diǎn)：一是將原題的條件、結(jié)論交換，變?yōu)楦鶕?jù)函數(shù)值的大小關(guān)系判斷自變量值的大小關(guān)系問(wèn)題，考查了逆向思維能力；二是兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)a-1、a+1隱含了大小關(guān)系，考查將隱性信息轉(zhuǎn)化為顯性條件的能力；三是在解題時(shí)要結(jié)合圖像，用分類(lèi)方法進(jìn)行探究與嘗試，既考查了分類(lèi)思想、數(shù)形結(jié)合思想，也考查了操作探究能力.

變式6：（2016·天津）若點(diǎn)A（-5，y1），B

（-3，y2）、C（2，y3）在反比例函數(shù)y=[3x]的圖像上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系是（ ）.

A.y1

C.y3

【分析解答】本題是在原題的基礎(chǔ)上將比例系數(shù)k變?yōu)槌?shù)，將圖像上的點(diǎn)增加到3個(gè)，且3個(gè)點(diǎn)不都在同一象限內(nèi)，解決這類(lèi)問(wèn)題上述三種方法仍適用.

方法1（計(jì)算法）：把x=-5、-3、2分別代入得y1=-0.6，y2=-1，y3=1.5，所以y3>y1>y2.

方法2（性質(zhì)法）：∵k=3>0，∴反比例函數(shù)圖像在第一、三象限內(nèi)，且在各個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，A、B兩點(diǎn)在同一象限，∴y1>y2；又點(diǎn)C在第一象限，∴y3>y1>y2.

方法3（圖像法）：畫(huà)出函數(shù)y=[3x]的圖像（草圖，圖略），按照要求標(biāo)出A、B、C三點(diǎn)，由圖像可知y3>y1>y2.

【解后反思】根據(jù)反比例函數(shù)的增減性確定圖像上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)值的大小，要分同一象限和不同象限內(nèi)的點(diǎn)進(jìn)行比較，同一象限內(nèi)的點(diǎn)可根據(jù)增減性進(jìn)行比較，不同象限的點(diǎn)可根據(jù)縱坐標(biāo)的正負(fù)性進(jìn)行比較.上述三種解法各有特色，要靈活選用，也可相互驗(yàn)證.

【總結(jié)歸納】縱觀上述試題，它們都可看成是由課本中的一道練習(xí)題和復(fù)習(xí)題，通過(guò)變式、綜合、拓展而成的，這就啟發(fā)我們?cè)趶?fù)習(xí)中不要舍本逐末，要在掌握課本基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和方法的基礎(chǔ)上，將課本中的例習(xí)題進(jìn)行改編、演變、拓展等“再創(chuàng)造”，從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探索“變”的規(guī)律，在例習(xí)題的探索中潛移默化地學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，這樣就能以一當(dāng)十，進(jìn)而有效地提高復(fù)習(xí)效率.

（作者單位：江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學(xué)校）