函數(shù)應(yīng)用：分清模型解決問題

霍彩霞

函數(shù)應(yīng)用題一直是中考命題的重點(diǎn)內(nèi)容，成本最低、利潤最高、產(chǎn)量最大、效益最好、用料最省等實(shí)際問題是中考命題的熱點(diǎn)素材.下面結(jié)合2016年中考試題，對(duì)中考中函數(shù)應(yīng)用題進(jìn)行分類展示.

一、圖像信息型

例1 （2016·新疆）小明的父親從家走了20分鐘到一個(gè)離家900米的書店，在書店看了10分鐘的書后，用15分鐘返回家，下列圖中表示小明的父親離家的距離與時(shí)間的函數(shù)圖像的是（ ）.

【分析】觀察圖像可知父親散步的過程分為三段，即出去20分鐘，看報(bào)10分鐘，返回15分鐘，再考察這三段距離變化的情況.

【解析】出去20分鐘，離家的距離是逐漸增大的，圖像呈上升的趨勢；看報(bào)10分鐘，離家的距離沒有發(fā)生變化，此時(shí)圖像與橫軸平行；返回15分鐘，離家的距離是逐漸縮小的，圖像呈下降的趨勢；且回家的時(shí)間比離家的時(shí)間少，下降的圖像陡，故選擇B.

【解后反思】對(duì)于用圖像描述分段函數(shù)的實(shí)際問題，要抓住以下幾點(diǎn)：①看圖像的升降趨勢：當(dāng)函數(shù)隨著自變量的增加而增加時(shí)，圖像呈上升趨勢，反之，呈下降趨勢；函數(shù)不隨自變量的變化而變化，即函數(shù)是一個(gè)定值，圖像與橫軸平行；②看圖像的曲直：函數(shù)隨著自變量的變化而均勻變化的，圖像是直線；函數(shù)隨著自變量的變化而不均勻變化的，圖像是曲線；③兩個(gè)階段的圖像都是一次函數(shù)（或正比例函數(shù)）時(shí)，自變量變化量相同，而函數(shù)值變化越大的圖像與x軸的夾角就越大；④要對(duì)圖像及其數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析，準(zhǔn)確確定各個(gè)分段中的函數(shù)關(guān)系，抓住圖像中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)及拐點(diǎn)，這些拐點(diǎn)處往往是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變或者相互的數(shù)量關(guān)系發(fā)生改變的地方.

二、一次函數(shù)型

例2 （2016·浙江湖州）隨著某市養(yǎng)老機(jī)構(gòu)（養(yǎng)老機(jī)構(gòu)指社會(huì)福利院、養(yǎng)老院、社區(qū)養(yǎng)老中心等）建設(shè)穩(wěn)步推進(jìn)，擁有的養(yǎng)老床位不斷增加.

（1）該市的養(yǎng)老床位數(shù)從2013年底的2萬個(gè)增長到2015年底的2.88萬個(gè)，求該市這兩年（從2013年底到2015年底）擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的平均年增長率；

（2）若該市某社區(qū)今年準(zhǔn)備新建一個(gè)養(yǎng)老中心，其中規(guī)劃建造三類養(yǎng)老專用房間共100間，這三類養(yǎng)老專用房間分別為單人間（1個(gè)養(yǎng)老床位），雙人間（2個(gè)養(yǎng)老床位），三人間（3個(gè)養(yǎng)老床位），因?qū)嶋H需要，單人間房間數(shù)在10至30之間（包括10和30），且雙人間的房間數(shù)是單人間的2倍，設(shè)規(guī)劃建造單人間的房間數(shù)為t.

①若該養(yǎng)老中心建成后可提供養(yǎng)老床位200個(gè)，求t的值；

②求該養(yǎng)老中心建成后最多提供養(yǎng)老床位多少個(gè)？最少提供養(yǎng)老床位多少個(gè)？

【分析】（1）設(shè)平均年增長率為x，根據(jù)“2015年的床位數(shù)=2013年的床位數(shù)×（1+增長率）2”列方程求解.（2）①設(shè)規(guī)劃建造單人間的房間數(shù)為t（10≤t≤30），根據(jù)“可提供的床位數(shù)=單人間數(shù)×1+雙人間數(shù)×2+三人間數(shù)×3”列方程求解；②設(shè)該養(yǎng)老中心建成后能提供養(yǎng)老床位y個(gè)，根據(jù)“可提供的床位數(shù)=單人間數(shù)×1+雙人間數(shù)×2+三人間數(shù)×3”列函數(shù)關(guān)系式，得出結(jié)論.

解：（1）設(shè)平均年增長率為x，由題得方程：2（1+x）2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合題意舍去）.

答：該市這兩年擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的平均年增長率為20%.

（2）①設(shè)規(guī)劃建造單人間的房間數(shù)為t（10≤t≤30），則建造雙人間的房間數(shù)為2t，三人間的房間數(shù)為100-3t，由題意得：t+4t+3（100-3t）=200，解得t=25；②設(shè)該養(yǎng)老中心建成后能提供養(yǎng)老床位y個(gè)，由題意得：y=t+4t+3（100-3t）=-4t+300（10≤t≤30），∵k=-4<0，∴y隨t的增大而減小.當(dāng)t=10時(shí)，y的最大值為260；當(dāng)t=30時(shí)，y的最小值為180.

答：該養(yǎng)老中心建成后最多提供養(yǎng)老床位260個(gè)，最少提供養(yǎng)老床位180個(gè).

【解后反思】找出表示題目全部含義的數(shù)量關(guān)系，得到函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵，然后根據(jù)實(shí)際問題的特點(diǎn)，確定出自變量的取值范圍，再在自變量范圍內(nèi)求函數(shù)的最大（?。┲?

三、反比例函數(shù)型

例3 （2016·山東德州）某中學(xué)組織學(xué)生到商場參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，他們參與了某種品牌運(yùn)動(dòng)鞋的銷售工作，已知該運(yùn)動(dòng)鞋每雙的進(jìn)價(jià)為120元，為尋求合適的銷售價(jià)格進(jìn)行了4天的試銷，試銷情況如表所示：

（1）觀察表中數(shù)據(jù)，x、y滿足什么函數(shù)關(guān)系？請(qǐng)求出這個(gè)函數(shù)關(guān)系式；

（2）若商場計(jì)劃每天的銷售利潤為3000元，則其單價(jià)應(yīng)定為多少元？

【分析】（1）由表中數(shù)據(jù)得出xy=6000，即可得出結(jié)果；（2）由題意得出方程，解方程即可，注意檢驗(yàn).

解：（1）由表中數(shù)據(jù)得：xy=6000，

∴y=[6000x]，∴y是x的反比例函數(shù)，故所求函數(shù)關(guān)系式為y=[6000x]；

（2）由題意得：（x-120）y=3000，把y=[6000x]代入得（x-120）·[6000x]=3000，解得x=240，經(jīng)檢驗(yàn)，x=240是原方程的根.

答：若商場計(jì)劃每天的銷售利潤為3000元，則其單價(jià)應(yīng)定為240元.

【解后反思】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，列分式方程解應(yīng)用題；根據(jù)題意得出函數(shù)關(guān)系式和列出方程是解決問題的關(guān)鍵.

四、二次函數(shù)型

例4 （2016·湖北黃石）科技館是少年兒童節(jié)假日游玩的樂園.如圖1所示，圖中點(diǎn)的橫坐標(biāo)x表示科技館從8：30開門后經(jīng)過的時(shí)間（分鐘），縱坐標(biāo)y表示到達(dá)科技館的總?cè)藬?shù).

圖中曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=[ax2 0≤x≤30，bx-902+n 30≤x≤90，]10：00之后來的游客較少可忽略不計(jì).

（1）請(qǐng)寫出圖中曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；

（2）為保證科技館內(nèi)游客的游玩質(zhì)量，館內(nèi)人數(shù)不超過684人，后來的人在館外休息區(qū)等待.從10：30開始到12：00館內(nèi)陸續(xù)有人離館，平均每分鐘離館4人，直到館內(nèi)人數(shù)減少到624人時(shí)，館外等待的游客可全部進(jìn)入.請(qǐng)問館外游客最多等待多少分鐘？

【分析】（1）將點(diǎn)A（30，300）代入y=ax2求出a；將點(diǎn)A（30，300）、B（90，700）代入y=b（x-90）2+n求出b、n.（2）館外游客最多等待的時(shí)間由三部分組成：①10：00前人數(shù)達(dá)到684人的等待時(shí)間（利用y=b（x-90）2+n的圖像求解）；②從10：00到10：30的等待時(shí)間；③從684人減少到624人等待的時(shí)間（利用“平均每分鐘離館4人”求解）.

解：（1）略解，

y=[13x2 0≤x≤30，-19x-902+700 30≤x≤90.]

（2）當(dāng)y=684時(shí)，代入y=[-19]（x-90）2+700，得[-19]（x-90）2+700=684，解得x1=78，x2=102（不合題意，舍去），∴90-78=12.

又[684-6244]=15，∴館外游客最多等待的時(shí)間為12+30+15=57（分鐘）.

答：館外游客最多等待57分鐘.

【解后反思】（1）求二次函數(shù)解析式，表達(dá)式中有幾個(gè)待定系數(shù)，就需要幾個(gè)點(diǎn)代入函數(shù)解析式，然后解方程組求出待定系數(shù)，從而求出函數(shù)解析式；（2）解答分段的二次函數(shù)實(shí)際問題，先要根據(jù)函數(shù)值（或自變量的取值范圍）選用相應(yīng)的二次函數(shù)解析式，再利用函數(shù)的性質(zhì)解決相關(guān)的問題.

五、函數(shù)、方程和不等式綜合型

例5 （2016·四川內(nèi)江）某學(xué)校課外興趣活動(dòng)小組準(zhǔn)備圍建一個(gè)矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊用長為30米的籬笆圍成.已知墻長為18米（如圖2所示），設(shè)這個(gè)苗圃園垂直于墻的一邊的長為x米.

（1）若苗圃園的面積為72平方米，求x；

（2）若平行于墻的一邊長不小于8米，這個(gè)苗圃園的面積有最大值和最小值嗎？如果有，求出最大值和最小值，如果沒有，請(qǐng)說明理由；

（3）當(dāng)這個(gè)苗圃園的面積不小于100平方米時(shí)，直接寫出x的取值范圍.

【分析】（1）根據(jù)矩形面積=長×寬，列出方程，解一元二次方程可求得x；（2）由8≤30-2x≤18，得6≤x≤11，分情況討論最大值和最小值；（3）列出一元二次不等式并解之即可.

解：（1）根據(jù)題意，得x（30-2x）=72，整理，得2x2-30x+72=0，解得x1=3，x2=12.

由x=3得30-2x=24>18，∴舍去；由x=12得30-2x=6，∴垂直于墻的一邊的長為12米.

（2）若8≤30-2x≤18，則6≤x≤11.由題意有x（30-2x）=-2x2+30x=-2[x-152][2]+[2252]，∴當(dāng)x=[152]時(shí)，苗圃園的面積有最大值為[2252]（平方米）；當(dāng)x=11時(shí)，苗圃園的面積有最小值，最小值為x（30-2x）=88（平方米）.

（3）6≤x≤10.

【解后反思】本題考查二次函數(shù)、一元二次方程與不等式的應(yīng)用，難點(diǎn)是一元二次不等式的解法，方法是先求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的解，再確定一元二次不等式的解集.

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）