交運(yùn)算的連續(xù)性和重合點(diǎn)的通有穩(wěn)定性

左勇華　盧美華

摘要建立了全新的集合族空間， 討論了公共元的通有穩(wěn)定性， 得到了閉集族空間上的交運(yùn)算在Hausdorff拓?fù)湎碌纳习脒B續(xù)性，并研究了重合點(diǎn)的通有穩(wěn)定性.

關(guān)鍵詞集合族空間； 公共元； 重合點(diǎn)

中圖分類號 文獻(xiàn)標(biāo)識碼A

AbstractA familyofset space was established，and its common elements generic stability was studied. The upper semicontinuity of operation of sets intersection in familyofclosedset space was obtained，and the generic stability of coincident pointis was studied.

Key wordsfamilyofset space；common elements；coincident point

1引言

社會經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是一個開放的系統(tǒng)，會受到外部環(huán)境的影響，故而經(jīng)濟(jì)決策科學(xué)中穩(wěn)定性研究是一個重要方面.博弈論發(fā)源于數(shù)學(xué)理論，近年來博弈論的廣泛應(yīng)用已經(jīng)全面改寫了微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)[18]，然而由于均衡概念存在一些不完美性，均衡點(diǎn)的精煉和選擇一直是博弈理論本身研究的核心主題，由此在數(shù)理方法上發(fā)展了一系列基礎(chǔ)方法，穩(wěn)定性研究是其中最重要的方法.集值拓?fù)浞椒P(guān)于通有穩(wěn)定性的研究自1950年Fort的開創(chuàng)性結(jié)果以來，在不動點(diǎn)、Ky Fan點(diǎn)、KKM點(diǎn)、Nash平衡點(diǎn)以及重合點(diǎn)獲得了廣泛而優(yōu)美的結(jié)論.近期仍然有一些新的結(jié)果出現(xiàn)， 陳劍塵、龔循華[6]、賈文生、向淑文[7] 、高靜、鄔冬華、張廣[8]、楊光惠、向淑文[9]、左勇華[10] 、張德金[11].重合點(diǎn)一系列的性質(zhì)也由俞建[12-14] 、樸勇杰[15]、徐文清、朱傳喜、吳照奇[16]等進(jìn)行了深入的研究，特別是重合點(diǎn)的穩(wěn)定性質(zhì).雖然通有穩(wěn)定性的研究具有極其豐富的內(nèi)容，但通有穩(wěn)定的本質(zhì)是什么，并沒有太多文獻(xiàn)予以揭示.從集空間公共元的通有穩(wěn)定性出發(fā)，把重合點(diǎn)轉(zhuǎn)化的交運(yùn)算的形式，獲得重合點(diǎn)通有穩(wěn)定性的結(jié)果，這就從一個側(cè)面揭示了通有穩(wěn)定的本質(zhì)，從而為通有穩(wěn)定性提供一個判決性方法；在拓?fù)鋵用嫔?，對于通有穩(wěn)定的判定將更加順暢，在應(yīng)用問題上，對于判斷通有穩(wěn)定和相關(guān)概念的可接受性也更為便利.

2預(yù)備知識及符號說明

設(shè)（X，d）是一度量空間， CL（X）為X的全體非空閉子集，K（X）為全體非空緊子集，2X為冪集.x∈X，AX及，稱A+ε={x∈X|a∈A，d（a，x）<ε}為A的ε擴(kuò)張，A，B∈CL（X），定義Hd（A，B）=inf {ε|AB+ε，BA+ε}.這樣建立了Hausdorff度量空間（CL（X），Hd），稱為集合族空間（集族空間）. 顯然（CL（X），Hd）完備當(dāng)且僅當(dāng)（X，d）完備，K（X）在（CL（X），Hd）中閉.

定義1X，Y均為拓?fù)淇臻g， F：X→2Y為集值映射， x0為X中的一點(diǎn). 稱F在x0上半連續(xù)， 若Y中任何一個F（x0）開鄰域u，x0鄰域v， x′∈v有F（x′）u.F在X中每一點(diǎn)都上半連續(xù)， 則稱F在X上上半連續(xù)；

引理1X為拓?fù)淇臻g， Y為度量空間， F：X→2Y上半連續(xù)且非空緊值（即usco映射）， 則存在X的稠密剩余集Q， 使F在Q上半連續(xù)從而連續(xù)[3]. （本引理為著名的Fort定理）

3主要結(jié)果

此文中度量空間上生成集族空間拓?fù)渚鶠镠ausdorff度量生成的Hausdorff拓?fù)?顯然，在ε收斂于0時，緊度量空間的任意有限個交非空A1，A2，…，Ak∈CL（X），它們的ε擴(kuò)張的交收斂于本身交集.但非緊空間中此結(jié)論未必成立.由此，左勇華2012年證明了引理2.

1即可證明以下定理.

定理3存在YI的一個稠密剩余集Q， 使得FI：YI→2X在Q上連續(xù).

定理說明集族空間（YI，ρI）上公共元是通有穩(wěn)定的，緊空間上集族空間交運(yùn)算雖然不是連續(xù)運(yùn)算， 但在絕大多數(shù)點(diǎn)上是上半連續(xù)的，在Baire意義下絕大多數(shù)的情形是連續(xù)的. 事實(shí)上，交運(yùn)算的上半連續(xù)性是通有穩(wěn)定性的一個本質(zhì)特征，一些重要的通有穩(wěn)定性總可以能否通過轉(zhuǎn)化為集族的交而得到判斷.例如，不動點(diǎn)、 Fanky點(diǎn)、KKM點(diǎn)、Nash平衡點(diǎn)的通有穩(wěn)定性具有許多結(jié)果，而本質(zhì)上，這些通有穩(wěn)定性都可以通過轉(zhuǎn)化為集族的交而得以保證.當(dāng)然，在轉(zhuǎn)化過程中，需要構(gòu)造從一般性問題空間到集族空間的映射，某些情況下這個映射未必連續(xù)，為此考慮半連續(xù)情況.

設(shè)問題集M為完備度量空間，集值映射F：M→2X為問題解映射，考慮單射L：M→YI，稱L在點(diǎn)h∈M是半連續(xù)的，若ε>0，δ>0，當(dāng)h′∈h+δ（記L（h′）=β′αα∈I，L（h）=βαα∈I），對任何α∈I均有β′αβα+ε.稱L在M半連續(xù)，若L在M的每一點(diǎn)都半連續(xù).顯然，若問題空間M到集族空間YI的但值映射連續(xù)，必然半連續(xù)，一般在重合點(diǎn)的情形下的連續(xù)性能得以保障，但也可能因嵌入的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不同而存在差異，而且重合點(diǎn)解映射并不單單是問題空間到集族空間的映射和公共元映射合成，所以集族空間構(gòu)造有特色.

4重合點(diǎn)的通有穩(wěn)定性集族空間刻畫

重合點(diǎn)是非線性分析研究的重要內(nèi)容， 近期樸勇杰在廣義凸空間研究重合點(diǎn)與幾乎不動點(diǎn)定理、不動點(diǎn)定理之間的關(guān)系；徐文清、朱傳喜、吳照奇在半序度量空間研究了混合g-單調(diào)映射的四元重合點(diǎn)定理及其應(yīng)用.下面討論重合點(diǎn)的通有穩(wěn)定性，采用文獻(xiàn)[1]中K.K.Tan，J.Yu，X.Z.Yuan研究重合點(diǎn)通有穩(wěn)定性的框架.問題在于重合點(diǎn)的解映射不能僅僅表示為從問題空間到集族空間上的映射和公共元映射的合成.

4結(jié)語

定理4說明重合點(diǎn)是通有穩(wěn)定的，文獻(xiàn)[1]框架下重合點(diǎn)的通有穩(wěn)定性可以轉(zhuǎn)化為集族空間的公共元通有穩(wěn)定性.當(dāng)然，對集族空間進(jìn)一步研究，一方面，可以賦予指標(biāo)集以拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，這將有更強(qiáng)的結(jié)論；另一方面，可以減弱對指標(biāo)集的要求，直至去掉指標(biāo)集，這樣將使集合族空間有更廣泛的應(yīng)用.而通過運(yùn)用交運(yùn)算的方法研究通有穩(wěn)定性，進(jìn)而判斷現(xiàn)實(shí)問題中模型構(gòu)造和相關(guān)解概念構(gòu)造的合理性也來得更為便利.就應(yīng)用而言，純粹數(shù)學(xué)理論上，截口定理、FanKy不等是在交運(yùn)算上和重合點(diǎn)密切相關(guān).重合點(diǎn)的通有穩(wěn)定性在決策理論和實(shí)際經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中具有很強(qiáng)的應(yīng)用背景，關(guān)洪巖在一定的條件卜的拓?fù)淇臻g中建立了幾個兩對映射及只個映射的公共重合點(diǎn)定理作為應(yīng)用，研究了一類起源于動態(tài)規(guī)劃的泛函方程組公共解的存在性問題[17].當(dāng)然，重合點(diǎn)在實(shí)際問題的應(yīng)用中并非以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式出現(xiàn)，劉少賡以成本重合點(diǎn)分析成本分界點(diǎn)，在兩個以上不同備選方案總成本相等時的產(chǎn)銷量，特別是區(qū)分長期、短期決策差異.在短期經(jīng)營決策分析時，不同備選方案的總成本和成本結(jié)構(gòu)存在著一定的差異，測算產(chǎn)銷量在一定水平時，不同備選方案總成本相等的產(chǎn)銷量稱為成本重合點(diǎn)，它反映了成本和銷售之間的依存關(guān)系.這在現(xiàn)實(shí)的決策中具有重要意義，雖然這些成本重合點(diǎn)未必是嚴(yán)格的集值拓?fù)渲睾宵c(diǎn)的形式.

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