導數(shù)在經(jīng)濟學中“邊際分析”的應用

孫娜++李曉芳

摘要：導數(shù)作為函數(shù)的變化率，在研究函數(shù)變化的性態(tài)中有著十分重要的意義。因而在自然科學，工程技術以及社會科學領域中得到廣泛的應用，運用導數(shù)可以解決經(jīng)濟上常見的一些問題[1]。本文重點討論了導數(shù)在解決經(jīng)濟學中“邊際成本”，“邊際收入”，“邊際利潤”以及“最大利潤”等問題[2]。

關鍵詞：導數(shù)；變化率；邊際成本；邊際收入；邊際利潤；最大利潤

引言：微積分學是高等數(shù)學最基本、最重要的組成部分，是現(xiàn)代數(shù)學許多分支的基礎，是人類認識客觀世界、探索宇宙奧秘乃至人類自身的典型數(shù)學模型之一。導數(shù)[3]是微積分的兩大部分之一，指的是函數(shù)的變化率，闡述了一些事物和現(xiàn)象都不斷變化，當然經(jīng)濟現(xiàn)象也不例外。本文主要討論了經(jīng)濟學中邊際分析的應用。

一、導數(shù)的概念

定義 設函數(shù) 在點 的某個鄰域內(nèi)有定義，當自變量 在 處取得增量 （點 + 仍在該鄰域內(nèi)）時，相應地函數(shù) 取得增量 ，如果 與 之比當 0時的極限存在，則稱函數(shù) 在點 處可導，并稱這個極限為函數(shù) 在點 處的導數(shù)，記為 ，即

. （1）

令（1）中的 時，則當 時 ，因此（1）式又可寫為

.（2） 令 ，則得到（3）式

.（3）

進而可引出左，右導數(shù)的定義：

，

.

二、邊際的概念及應用

邊際概念是經(jīng)濟學中的一個重要概念，通常指經(jīng)濟變量的變化率，即經(jīng)濟函數(shù)的導數(shù)稱為邊際。而利用導數(shù)研究經(jīng)濟變量的邊際變化的方法，就是邊際分析方法。

1.邊際成本

在經(jīng)濟學中，邊際成本定義為產(chǎn)量增加或減少一個單位產(chǎn)品時所增加或減少的總成本。即有如下定義：

定義1：設總成本函數(shù) ，且其它條件不變，產(chǎn)量為 時，增加（減少）1個單位產(chǎn)量所增加（減少）的成本叫做產(chǎn)量為 時的邊際成本。即：

其中 =1或 =-1。

例1：已知某商品的成本函數(shù)為：

（Q表示產(chǎn)量）

求：（1）當 時的平均成本及 為多少時，平均成本最??？

（2） 時的邊際成本并解釋其經(jīng)濟意義。

解：（1）由 得平均成本函數(shù)為：

當 時：

記 ，則 令 得：

而 ，所以當 時，平均成本最小。

（2）由 得邊際成本函數(shù)為：

則當產(chǎn)量 時的邊際成本為5，其濟意義為：當產(chǎn)量為10時，若再增加（減少）一個單位產(chǎn)品，總成本將近似地增加（減少）5個單位。

2.邊際收入

定義2：若總收益函數(shù) 可導，稱

為銷售量為 時該產(chǎn)品的邊際收益。 稱為邊際收益函數(shù)，且 .

其經(jīng)濟意義為在銷售量為 時，再增加（減少）一個單位的銷售量，總收益將近似地增加（減少） 個單位。

注：總收益是生產(chǎn)者出售一定量產(chǎn)品所得以的全部收入，表示為 ，其中 表示銷售量。

3.邊際利潤

定義3：總利潤是指銷售 個單位的產(chǎn)品所獲得的凈收入，即總收益與總成本之差，記 為總利潤，則：

（其中 表示銷售量）

定義4：若總利潤函數(shù) 為可導函數(shù)，稱

為 在 處的邊際利潤。

其經(jīng)濟意義為在銷售量為 時，再多（少）銷售一個單位產(chǎn)品所增加（減少）的利潤。

根據(jù)總利潤函數(shù)，總收益函數(shù)、總成本函數(shù)的定義及函數(shù)取得最大值的必要條件與充分條件可得如下結論。

由定義，

令 則 .

結論1：函數(shù)取得最大利潤的必要條件是邊際收益等于邊際成本.

結論2：函數(shù)取得最大利潤的充分條件是：邊際利益等于邊際成本且邊際利益的變化小于邊際成本的變化率。

例2：假定有酒100噸，現(xiàn)價8元/公斤，多陳一年可增值2元/公斤，貯存費每年10000元，因貯存酒積壓資金引起機會成本每年增加 （其中 為酒的貯量， 為當年白酒價格， 為利息率，且假定 %），那么這些酒須儲存多久效益才最大呢？

1. 年增加的總收入函數(shù)

（元）

2. 年增加的貯存總成本

（元）

3. 年凈增利潤函數(shù)

= （元）

此時邊際收入： 邊際成本：

因為當 利潤最大，所以有 ，即 年。

由于駐點唯一，故只有當儲存期為2.75年時，企業(yè)才能獲得最佳經(jīng)濟效益，其最大凈增利潤為151 250元。

三.總結

隨著市場經(jīng)濟的不斷進步與發(fā)展，靈活利用數(shù)學知識解決經(jīng)濟問題顯得越來越重要，而導數(shù)是高等數(shù)學中的重要概念，更是經(jīng)濟分析的重要工具。把經(jīng)濟活動中一些現(xiàn)象歸納到數(shù)學領域中，來運用所學的數(shù)學知識進行解答，對很多經(jīng)營決策起了非常重要的作用[4]。

對企業(yè)經(jīng)營者管理者來說，精準的對其經(jīng)濟環(huán)節(jié)進行定量分析是非常必要的。最優(yōu)化問題也是經(jīng)濟管理活動的核心，通常是利用函數(shù)的導數(shù)求經(jīng)濟問題中的平均成本最低、總收入最大、總利潤最大等問題。將導數(shù)作為分析工具，可以給企業(yè)經(jīng)營者提供精確的數(shù)值和新的思路和視角[5]。

經(jīng)濟學分析中的主要優(yōu)化問題有產(chǎn)出最大化分析、收入最大化分析、利潤最大化分析、資源合理利用的優(yōu)化分析、成本最小化分析以及最優(yōu)組合分析等，通常伴隨一些約束條件[6]。通過優(yōu)化分析可以幫助企業(yè)管理者尋求最大化企業(yè)的收益，并盡量降低生產(chǎn)成本和管理費用，意義非常深遠[7]。

導數(shù)對于在經(jīng)濟學中邊際問題的剖析尤為主要，經(jīng)由過程邊際問題的剖析，對于企業(yè)的抉擇妄想者做出正確的抉擇妄想起了十分主要的浸染！通過闡述導數(shù)在經(jīng)濟分析中的幾種應用，說明導數(shù)在經(jīng)濟管理中的重要作用，利用數(shù)學工具對經(jīng)濟的各個環(huán)節(jié)進行定量分析[8]，有利于對經(jīng)濟管理工作做定性分析，從而更科學地進行經(jīng)濟管理，這是我國深化體制改革使經(jīng)濟管理工作于國際接軌必不可少的一步。

參考文獻：

[1]丁瑤：導數(shù)的經(jīng)濟意義及教學探討[J].重慶電子工程職業(yè)學院.2010.07.149-150.

[2]李春萍.導數(shù)與積分在經(jīng)濟分析中的應用[J].商業(yè)視角，2010（2）：17-19.

[3]王青青.淺談導數(shù)在經(jīng)濟中的應用[J].高校講壇，2011（9）：8.

[4]王利珍：用導數(shù)解決經(jīng)濟中的最優(yōu)化問題[J].忻州師范學院學報.2008.10.27-28

[5]王利珍：用導數(shù)解決經(jīng)濟中的最優(yōu)化問題[J].忻州師范學院學報.2008.10.27-28

[6]雷良緩：經(jīng)濟數(shù)學中的邊際分析與彈性分析[J].江蘇經(jīng)貿(mào)職業(yè)技術學院學報，1995.02.81-83

[7]蔡宇澤，趙春紅，王貝：需求彈性函數(shù)的經(jīng)濟分析[J].江蘇教育學院學報，2007.07.87

[8]王桐柱：函數(shù)的導數(shù)與邊際成本[J].高中數(shù)學教與學，2005.10.43-44