從Zygmund型空間到Bloch-Orlicz空間上的Volterra型算子的有界性和緊性

王澤燈,徐輝明

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江 金華 321004)

從Zygmund型空間到Bloch-Orlicz空間上的Volterra型算子的有界性和緊性

王澤燈,徐輝明*

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江 金華 321004)

利用分析和構(gòu)造檢驗(yàn)函數(shù)的方法,研究了從Zygmund型空間到Bloch-Orlicz空間上的Volterra型算子的有界性和緊性,并得到了Volterra型算子是從Zygmund型空間到Bloch-Orlicz空間上的有界算子、緊算子的充要條件。

Zygmund型空間; Bloch-Orlicz空間; Volterra型算子; 有界性; 緊性

設(shè)0<α<∞，定義Zygmund型空間(記作Zα)如下：

不難驗(yàn)證，‖f‖Ψ是BΨ的半范數(shù)，‖f‖BΨ:=|f(0)|+‖f‖Ψ是BΨ的范數(shù)，且在該范數(shù)下，BΨ是Banach空間。

設(shè)g∈H(D)，定義H(D)上的Volterra積分型算子Ig和Jg如下：

Igf(z):=∫f'(ζ)g(ζ)dζ，z∈D；

Jgf(z):∫f'(ζ)g'(ζ)dζ，z∈D。

目前，關(guān)于Volterra積分型算子Ig和Jg的研究已經(jīng)取得了豐富的成果，例如在文獻(xiàn)[2]中研究了Zygmund空間中算子Ig和Jg的有界性和緊性，并得到了在Zygmund空間中Ig和Jg是有界算子和緊算子的充要條件。

本文研究算子Ig(Jg):Zα→BΨ的有界性和緊性。

1 預(yù)備引理

我們需要下面的幾個(gè)引理。

引理1[3]設(shè)f∈Zα，α>0，那么以下命題成立：

在本文中字母C和L均代表正的常數(shù)，在不同的地方代表的值可能不同。

2 算子Ig的研究

對(duì)于算子Ig:Zα→BΨ的有界性和緊性，有以下結(jié)論。

定理1 設(shè)0<α<∞，g∈H(D)，則

(i)當(dāng)0<α<1時(shí)，算子Ig:Zα→BΨ有界當(dāng)且僅當(dāng)

(ii) 算子Ig:Z→BΨ有界當(dāng)且僅當(dāng)

(iii) 當(dāng)α>1時(shí)，算子Ig:Zα→BΨ有界當(dāng)且僅當(dāng)

證明必要性

假設(shè)算子Ig:Zα→BΨ有界

(i) 當(dāng)0<α<1時(shí)，取函數(shù)f(z)=z，z∈D.顯然‖f‖zα=1

充分性

所以‖Igf‖Ψ≤C‖f‖zα，進(jìn)而‖Igf‖BΨ≤C‖f‖zα，

即算子Ig:Zα→BΨ有界

(ii)和(iii)的證明與(i)類似

定理2 設(shè)0<α<∞，g∈H(D)，算子Ig:Zα→BΨ是有界算子，則

(i) 當(dāng)0<α<1時(shí)，Ig是緊算子；

證明

(i)設(shè)0<α<1，在Zα中任取在D上內(nèi)閉一致收斂于0的有界函數(shù)列{fn}，

則由Ig的有界性和定理1得

(ii)的必要性

設(shè)Ig:Z→BΨ是緊算子，{zn}為D中任意滿足條件zn→1(n→∞)的序列，

(iii)的必要性

(ii)的充分性

令K={z∈D:|z|≤δ}，根據(jù)引理1得

由引理2知算子Ig:Z→BΨ是緊算子.

(iii)的充分性

在Zα中任取在上D內(nèi)閉一致收斂于0的有界函數(shù)列{fn}，

類似于上面的證明過(guò)程，結(jié)合定理1和引理1可得

3 算子Jg的研究

對(duì)于算子Jg:Zα→BΨ的有界性和緊性，有以下結(jié)論。

定理3設(shè)0<α<∞，g∈H(D)，則

(i) 當(dāng)0<α<2時(shí)，算子Jg:Zα→BΨ有界當(dāng)且僅當(dāng)

(ii) 算子Jg:Z2→BΨ有界當(dāng)且僅當(dāng)

(iii) 當(dāng)α>2時(shí)，算子Jg:Zα→BΨ有界當(dāng)且僅當(dāng)

證明 必要性

(i) 設(shè)當(dāng)0<α<2時(shí)，算子Jg:Zα→BΨ有界

取函數(shù)f(z)=1，顯然‖f‖Zα=1

故存在常數(shù)C>0，使得

(ii) 設(shè)算子Jg:Z2→B有界對(duì)于任意固定的a∈D，作函數(shù)

易知sa∈Z2由Jg的有界性，存在常數(shù)C>0，使得‖Jgsa‖BΨ≤C，

(iii) 設(shè)α>2，算子Jg:Zα→BΨ有界對(duì)于任意固定的a∈D，作函數(shù)

易知Pa∈Zα，類似于(ii)的證明可得

充分性

(i)設(shè)0<α<2，由引理1知，存在常數(shù)C(α)>0，對(duì)任意f∈Za{0}有

|f(z)|≤C(α)‖f‖za

取常數(shù)C≥K4C(α)，則有

所以‖Jgf‖Ψ≤C‖f‖zα

進(jìn)而，‖Jgf‖BΨ≤C‖f‖zα

因此算子Jg:Zα→BΨ有界

利用引理1，類似于上面的方法可以證明(ii)和(iii)的充分性

對(duì)于算子Jg:Zα→BΨ的緊性，我們有

定理4設(shè)0

(i) 當(dāng)0

證明

類似于定理2的證明，

當(dāng)α=2時(shí)，取函數(shù)列

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(責(zé)任編輯：馬世堂)

The Boundedness and Compactness of Volterra-type Operatorsfrom the Zygmund-type Spaces to the Bloch-Orlicz Spaces

WANG Ze-deng,XU Hui-ming*

(Mathematics and Information Engineering College,Zhejiang Normal University, Jinhua 321004, China)

By using analysis methods and constructing test functions, the boundedness and compactness of the Volterra-type operators from the Zygmund-type spaces to the Bloch-Orlicz spaces are investigated. Then the sufficient and necessary conditons of boundedness and compactness of the Volterra-type operators are obtained.

Zygmund-type spaces; Bloch-Orlicz spaces; Volterra-type operators; Boundedness; Compactness

2016-01-06

國(guó)家自然科學(xué)基金(11271124,11271332); 浙江省自然科學(xué)基金(LY14A010013,LY16A010004)。

王澤燈(1992-)，男，浙江省義烏市人，在讀碩士研究生，主要從事函數(shù)空間及其算子理論研究。*通訊作者：徐輝明，教授，E-mail: xhm@zjnu.cn。

O174.56, O177.2

A

1673-8772(2016)06-0064-07