多工況耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化中的碰撞載荷以大吃小問題分析

雷正保+劉助春+廖卓

摘 要：建立多工況應(yīng)力約束下耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化模型，通過對多工況拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果與單工況拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果進(jìn)行對比，證實(shí)了進(jìn)行多工況耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)，若工況間碰撞載荷相差較大，則拓?fù)錁?gòu)型基本由碰撞載荷較大的工況決定，碰撞載荷較小的工況對應(yīng)的傳力路徑被刪除，出現(xiàn)碰撞載荷以大吃小現(xiàn)象，最終拓?fù)浣Y(jié)果不是一個(gè)各工況傳力路徑的最優(yōu)組合。然后基于二分法求解原理，依次改變工況間碰撞載荷比值，尋找到多工況耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化中以大吃小現(xiàn)象的碰撞載荷比值臨界點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：多工況；耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化；碰撞載荷；以大吃小

中圖分類號：U461.91文獻(xiàn)標(biāo)文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文獻(xiàn)標(biāo)DOI：10.3969/j.issn.2095-1469.2016.05.05

結(jié)構(gòu)優(yōu)化通常分為尺寸優(yōu)化、形狀優(yōu)化與拓?fù)鋬?yōu)化，其中拓?fù)鋬?yōu)化可以在滿足給定約束的條件下獲得一個(gè)最佳的材料分布形式，在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)領(lǐng)域非常重要[1-2]。傳統(tǒng)的拓?fù)鋬?yōu)化方法是基于靈敏度進(jìn)行分析，能夠很好地解決線性靜態(tài)問題，但并不適用于碰撞類的動(dòng)態(tài)問題，這是因?yàn)樵谂鲎差惖膭?dòng)態(tài)問題中，幾何形狀、網(wǎng)格以及載荷與邊界條件的瞬時(shí)性之間的復(fù)雜交互作用會(huì)讓靈敏度的計(jì)算變得極為困難[3-5]。對于動(dòng)態(tài)拓?fù)鋬?yōu)化，國內(nèi)外學(xué)者都進(jìn)行了一些研究。國外學(xué)者Inou等率先將元胞自動(dòng)機(jī)（Cellular Automaton，CA）模型引入到拓?fù)鋬?yōu)化中，改進(jìn)了傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化方法[6]。Patel等結(jié)合Inou等的研究，再加入固體各向同性材料懲罰（Solid Isotropic Microstructures with Penalization，SIMP）模型（一種常用的密度-剛度插值模型），提出一種以獲得結(jié)構(gòu)統(tǒng)一內(nèi)能密度為目標(biāo)的耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化方法——混合元胞自動(dòng)機(jī)（Hybrid Cellular Automata，HCA）法[7]。Marklund等運(yùn)用耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化方法針對側(cè)撞工況對車輛B柱進(jìn)行了耐撞性優(yōu)化設(shè)計(jì)[8]。國內(nèi)學(xué)者對于耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化也進(jìn)行了一些研究，但是研究的廣度與深度相對滯后。雷正保等基于耐撞性拓?fù)鋬?yōu)方法對某車輛頭部進(jìn)行了100%全寬碰撞拓?fù)鋬?yōu)化[9]。高云凱等對保險(xiǎn)杠橫梁進(jìn)行了基于HCA的耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化[10]。

以上研究主要是對單個(gè)零部件進(jìn)行單工況耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化，缺乏針對多工況耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化的研究。在多工況拓?fù)鋬?yōu)化中，若各工況荷載數(shù)值相差很大，各工況下單元拓?fù)渲狄矔?huì)相差懸殊，小荷載對應(yīng)的單元拓?fù)渲敌∮诖蠛奢d對應(yīng)的單元拓?fù)渲刀粍h除，出現(xiàn)小荷載沒有傳遞到支座單元的現(xiàn)象，這一現(xiàn)象在傳統(tǒng)靜態(tài)拓?fù)鋬?yōu)化中被稱為“荷載病態(tài)”，國內(nèi)外很多學(xué)者對這個(gè)問題進(jìn)行了研究并提出了一些解決方法[11-12]。這個(gè)問題在耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化中同樣存在，但目前尚無人對多工況耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化中的碰撞載荷以大吃小問題進(jìn)行研究。在多工況耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化中，若工況間碰撞載荷相差較大，則碰撞載荷較大的工況對應(yīng)的關(guān)鍵承力部件的材料會(huì)堆積過多，而碰撞載荷較小的工況對應(yīng)的關(guān)鍵承力部件的材料則會(huì)被刪減過多，甚至完全刪除，最終構(gòu)型幾乎完全由碰撞載荷大的工況決定。然而每個(gè)工況的力都對應(yīng)一個(gè)最佳的傳力路徑，多工況耐撞性拓?fù)浣Y(jié)果應(yīng)該是各工況對應(yīng)傳力路徑的一個(gè)最優(yōu)組合，而不是某一個(gè)工況的傳力路徑。為了得到最佳的多工況耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，意識(shí)到碰撞載荷以大吃小問題的存在并找到出現(xiàn)以大吃小現(xiàn)象的工況間碰撞載荷比值臨界點(diǎn)十分必要。

本文通過對同一耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化模型的多工況與單工況拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果進(jìn)行對比，證實(shí)了當(dāng)工況間碰撞載荷相差較大時(shí)，多工況耐撞性拓?fù)浣Y(jié)果完全由碰撞載荷較大的工況決定，而非各工況傳力路徑的一個(gè)最優(yōu)組合，出現(xiàn)明顯的碰撞載荷以大吃小現(xiàn)象，并基于二分法求解原理，依次改變工況間碰撞載荷比值，最終找到出現(xiàn)以大吃小現(xiàn)象的碰撞載荷比值臨界點(diǎn)。由此可知碰撞載荷比值相差大于何值的工況不能直接進(jìn)行并行拓?fù)鋬?yōu)化，亦為合理消除各工況碰撞載荷數(shù)值差距，得到最佳的多工況耐撞性拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)提供了參考。

1 耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化

本文采用的耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化方法為結(jié)合變密度法和非線性條件下的密度插值模型的HCA法。HCA利用CA單元來建立模型，通過有限元仿真方法來獲得模型信號，不需要計(jì)算靈敏度，能顯著提高運(yùn)算效率，降低收斂時(shí)間。CA元胞單元的信息只被該單元和鄰近單元的狀態(tài)所決定，其利用相鄰的單元信息來實(shí)現(xiàn)自身信息的更新重組，這種單元的離散特性使其在拓?fù)鋬?yōu)化過程中不需要再處理梯度信息，能夠很好地處理動(dòng)態(tài)載荷的拓?fù)鋬?yōu)化問題。

1.1 材料參數(shù)化

通過使密度法參數(shù)化，建立材料模型。該方法將設(shè)計(jì)變量直接鏈接到單個(gè)材料單元，每個(gè)變量都有自己的材料模型。材料性質(zhì)則是通過插值模型來獲得，該模型按照冪次法則驅(qū)動(dòng)中間材料特性向邊界移動(dòng)，從而獲得構(gòu)型。根據(jù)SIMP模型[13-14]，材料屬性可被定義為：

式中：為材料密度；E為彈性模量；為屈服應(yīng)力；Eh為機(jī)械硬化模量；x為設(shè)計(jì)變量，在0～1之間變化，其中0表示空的，1表示滿材料。

1.2 設(shè)計(jì)目標(biāo)和約束

拓?fù)鋬?yōu)化的目的是為了獲得最優(yōu)的材料分布形式。對于碰撞類的動(dòng)態(tài)拓?fù)鋬?yōu)化問題，往往要求結(jié)構(gòu)在吸收最大能量的同時(shí)保持結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性與傳遞最大載荷的穩(wěn)定性，故以統(tǒng)一內(nèi)能密度為動(dòng)態(tài)拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)，則該優(yōu)化問題可被表述為：

式中：U為第i個(gè)單元的內(nèi)能密度；Vi為第i個(gè)單元的體積；U *為目標(biāo)內(nèi)能密度；Ck為k單元的約束；L為工況個(gè)數(shù)；K為約束個(gè)數(shù)；l與u分別為約束的上、下限；N為單元數(shù)量，xi為單元代號；為密度；M為目標(biāo)質(zhì)量。

1.3 內(nèi)能密度的獲取

仿真模型的單元在每次迭代中的刪減、增加是通過改變其對應(yīng)的材料模型來完成的，第i個(gè)單元在第t個(gè)迭代的內(nèi)能密度數(shù)值是本次迭代內(nèi)能密度與前3個(gè)迭代的內(nèi)能密度的加權(quán)和：

。

1.4 收斂規(guī)則

當(dāng)總質(zhì)量滿足約束后，變量在此次迭代中的總變化就會(huì)被計(jì)算出來，并且將不再更新，如果不滿足，則繼續(xù)循環(huán)迭代直至滿足質(zhì)量約束。

。

當(dāng)質(zhì)量的改變量小于設(shè)定的公比值，迭代停止。

。

式中：為質(zhì)量收斂誤差因子，文中為0.001。

2 多工況耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化分析

對同一耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化模型的多工況與單工況拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果進(jìn)行對比分析，證實(shí)了當(dāng)工況間碰撞載荷相差較大時(shí)，多工況耐撞性拓?fù)錁?gòu)型完全由碰撞載荷較大的工況決定，而非所有工況對應(yīng)的最佳傳力路徑的最優(yōu)組合。

2.1 多工況耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化

建立多工況耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化模型，如圖1所示，約束橫梁的兩端，以整根橫梁為初始優(yōu)化區(qū)域，進(jìn)行多工況耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化。工況1為中間立柱以一定的速度垂直撞向橫梁，工況2為兩端兩根立柱以一定的速度垂直撞向橫梁，工況1的碰撞載荷為工況2碰撞載荷的100倍，優(yōu)化區(qū)域目標(biāo)質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.2。

經(jīng)過43個(gè)迭代后，構(gòu)型收斂，拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖2所示。

2.2 單工況耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化

建立單工況耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化模型，工況設(shè)置與多工況耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化中工況1一樣，如圖3所示。

經(jīng)過40個(gè)迭代后，構(gòu)型收斂如圖4所示。

對比圖2與圖4可知，當(dāng)工況間碰撞載荷相差100倍時(shí)，多工況與單工況收斂構(gòu)型的承力布局及孔洞關(guān)系基本一樣。說明當(dāng)工況間碰撞載荷相差100倍時(shí)，多工況拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果完全由碰撞載荷較大的中間工況決定，碰撞載荷較小的工況對應(yīng)的傳力路徑完全被刪除。證實(shí)了進(jìn)行多工況耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)，若工況間碰撞載荷相差太大會(huì)出現(xiàn)碰撞載荷以大吃小的現(xiàn)象。

3 尋求出現(xiàn)以大吃小的碰撞載荷比值臨界點(diǎn)

上個(gè)章節(jié)通過對同一模型多工況與單工況拓?fù)錁?gòu)型的對比，證實(shí)了在多工況耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化中，當(dāng)工況間碰撞載荷相差太大時(shí)碰撞載荷以大吃小現(xiàn)象的存在，但是到底工況間碰撞載荷相差多大時(shí)開始出現(xiàn)以大吃小現(xiàn)象，目前還沒有學(xué)者對此進(jìn)行過研究，而這對于耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化研究極為重要。找到出現(xiàn)以大吃小現(xiàn)象的各工況間碰撞載荷比值臨界點(diǎn)，則能知曉碰撞載荷比值相差多大以上的工況不能直接同時(shí)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，亦能為合理消除各工況碰撞載荷數(shù)值差距，得到最佳的多工況耐撞性拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)提供參考及指導(dǎo)作用。由前文可知，當(dāng)碰撞載荷相差100倍時(shí)會(huì)出現(xiàn)工況間以大吃小現(xiàn)象，由此可初步判斷出現(xiàn)以大吃小現(xiàn)象的工況間碰撞載荷比值臨界點(diǎn)在0～100之間，再運(yùn)用二分法不斷縮小求解區(qū)間，找到碰撞載荷比值臨界點(diǎn)。

3.1 二分法求解原理

利用二分法求解首先要找到一個(gè)包含方程f（x）0的根的區(qū)間[a0， b0]，然后將[a0， b0]平分，令中點(diǎn)m0（a0+b0）/2，則[a0， m0]與[m0， b0]中必有一個(gè)區(qū)間，使f（x）在其兩端異號，將該區(qū)間記為[a1， b1]，再將[a1， b1]平分。重復(fù)上述過程，可得到一個(gè)長度依次減半的區(qū)間序列，{[ak， bk]}，當(dāng)k適當(dāng)大時(shí)，使bk-ak<ε，其中ε大于0，此時(shí)可將mk（ak+bk）/2作為根的近似解。

3.2 二分法查找臨界點(diǎn)

將工況間碰撞載荷的比值作為函數(shù)變量x，以是否出現(xiàn)碰撞載荷以大吃小現(xiàn)象為函數(shù)值f（x），若出現(xiàn)以大吃小現(xiàn)象則f（x）>0，若未出現(xiàn)則f（x）<0。由前文可知，當(dāng)工況間碰撞載荷相差100倍時(shí)會(huì)出現(xiàn)以大吃小現(xiàn)象，所以在本文中，f（x）0的根的初始區(qū)間可定為[0，100]，記為[a0， b0]，將[0， 100]平分，令中點(diǎn)m050，即工況間碰撞載荷比值變?yōu)?0倍，重新進(jìn)行對比試驗(yàn)。當(dāng)工況間碰撞載荷相差50倍時(shí)，多工況與單工況的收斂構(gòu)型對比情況與100倍時(shí)一樣，兩種構(gòu)型承力布局及孔洞關(guān)系還是基本一樣，出現(xiàn)以大吃小現(xiàn)象，即f（50）>0，此時(shí)f（x）在[0， 50]兩端異號，根在區(qū)間[0， 50]內(nèi)，將該區(qū)間記為[a1， b1]，將[0， 50]平分，令中點(diǎn)m125，再次調(diào)整工況間碰撞載荷比值為25，多工況與單工況收斂構(gòu)型對比如圖5所示。

由圖5可知，碰撞載荷相差25倍時(shí)，多工況與單工況收斂構(gòu)型的承力布局及孔洞關(guān)系有明顯的區(qū)別，此時(shí)碰撞載荷較小的工況對應(yīng)傳遞力的承力單元得以保留，所得構(gòu)型為各工況對應(yīng)傳力路徑的組合，未出現(xiàn)以大吃小現(xiàn)象，即f（25）<0。此時(shí)f（x）在[25， 50]兩端異號，臨界點(diǎn)在區(qū)間[25， 50]內(nèi)，將該區(qū)間記為[a2， b2]，將[25， 50]平分。按圖6所示的流程重復(fù)上述過程，文中取1。

經(jīng)過7次循環(huán)，求解區(qū)間縮減為[40.625， 41.407]，此時(shí)b-a<1，取區(qū)間中點(diǎn)41.015為根的近似解，即多工況耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化中出現(xiàn)以大吃小現(xiàn)象的碰撞載荷比值臨界點(diǎn)。通過該對比試驗(yàn)可知，進(jìn)行多工況耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)，當(dāng)工況間碰撞載荷比值大于41倍時(shí)，開始出現(xiàn)明顯的工況間以大吃小的現(xiàn)象。

4 結(jié)論

本文通過對同一模型的多工況拓?fù)浣Y(jié)果與單工況拓?fù)浣Y(jié)果進(jìn)行對比分析，證實(shí)了在多工況耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化中，若工況間碰撞載荷相差較大，則會(huì)出現(xiàn)碰撞載荷以大吃小現(xiàn)象，所得拓?fù)錁?gòu)型不是滿足所有工況的最優(yōu)構(gòu)型。然后基于二分法求解原理，查找到多工況耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化中以大吃小現(xiàn)象的各工況間碰撞載荷比值臨界點(diǎn)，由此可知碰撞載荷比值大于何值的工況不能直接并行拓?fù)鋬?yōu)化。該結(jié)果亦對合理消除各工況碰撞載荷數(shù)值差距，得到最佳的多工況耐撞性拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)具有指導(dǎo)作用。