淺談概率論與數(shù)理統(tǒng)計案例教學(xué)法

楊麗+王洪芹

摘要：概率論與數(shù)理統(tǒng)計不僅是數(shù)學(xué)專業(yè)的必修課，也是經(jīng)管類和工科類專業(yè)的基礎(chǔ)課，其覆蓋面廣.應(yīng)用性強，是一門理論與實踐密切結(jié)合的課程。以案例驅(qū)動教學(xué)法作為概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)方法改革的一種手段，有針對性的選取了條件概率、全概率公式、數(shù)學(xué)期望、中心極限定理等 4個重要的知識點，并使用貼近實際生活的案例作為教學(xué)的切入點，詳細(xì)分析解決實際問題的過程，向?qū)W生介紹該課程的相關(guān)知識在現(xiàn)實中的廣泛應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生從實際情境中發(fā)現(xiàn)問題。課堂教學(xué)實踐證明，基于案例驅(qū)動的教學(xué)方法能夠開闊學(xué)生的視野，對于課程建設(shè)、教學(xué)效果、教師及學(xué)生能力的提高都有重要意義。

關(guān)鍵詞：案例驅(qū)動；全概率；數(shù)學(xué)期望；中心極限定理

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是國內(nèi)外經(jīng)濟管理類各專業(yè)學(xué)生教學(xué)大綱中必不可少的公共基礎(chǔ)課，是向?qū)W生傳授隨機現(xiàn)象及其規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生使用隨機思想分析問題能力的重要途徑之一。很多其他后續(xù)課程，如統(tǒng)計學(xué)、證券投資學(xué)、信息論、密碼學(xué)等都需要以概率統(tǒng)計知識為前提。經(jīng)濟管理專業(yè)學(xué)生畢業(yè)后大多從事經(jīng)濟貿(mào)易、金融投資、銀行、證券、保險等工作，在工作 中會遇到許多隨機現(xiàn)象，如證券價值的變動、購買保險的人數(shù)、商品的庫存和收益等，這些工作的完成也需要依賴概率統(tǒng)計知識。因此，如何讓學(xué)生輕松、愉快的學(xué)好這門課程成為了擺在每個概率論與數(shù)理統(tǒng)計老師面前的問題。

不少學(xué)生在剛開始學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計，尤其是初遇古典概型時，很有興趣，也能夠聯(lián)系實際主動思考，但隨著后續(xù)知識中公式、定理的逐漸增多，他們認(rèn)為越來越枯燥，以致越學(xué)越?jīng)]有興趣，這一點應(yīng)值得重視和思考。概率統(tǒng)計的思想方法來源于生活，教學(xué)中應(yīng)處處有案例，從貼近生活或與學(xué)生專業(yè)相關(guān)的問題入手，用身邊常見的現(xiàn)象和例子說明問題，從問題到理論，再從理論到應(yīng)用，而不是生硬的從概念到理論，這樣不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，減少距離感，強化實踐意識，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，還可以拓展學(xué)生的視野，從而提高學(xué)習(xí)的興趣與效率。

下面選取概率統(tǒng)計中有代表性的 4個知識點，提出貼近現(xiàn)實、清晰易懂的案例，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，自主求解，變被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí)。

1 條件概率與三門問題

這個問題來自于美國的一個電視節(jié)目，參與者會看見 3扇關(guān)閉了的門，其 中 1扇 的后面有 1輛汽 車，選中后面有車的那扇門就可贏得該汽車，另外 2扇門后面則各藏有 1只山羊。當(dāng)參與者選定了 1扇 門，但未去開啟它的時候，節(jié)目主持人開啟剩下 2扇門的其中 1扇，露出其中 1只山羊。隨后主持人問 參與者要不要改選另 1扇仍然關(guān)上的門。需要思考的是：改選另 1扇門會不會增大參賽者贏得汽車的機會。

這個有趣的問題提出后，一定會引發(fā)學(xué)生熱烈的討論。這一問題的答案是應(yīng)該換，但是許多學(xué)生都想不通，他們認(rèn)為換不換一樣，贏得汽車的概率都是 1/3。實際上，問題的關(guān)鍵在于主持人，不應(yīng)該忽略這樣一個線索，即主持人一定會開啟 1扇沒有汽車的門。使用條件概率的思考方法就可以解決這個問題。

假設(shè)事件 A為參與者第一次選中山羊；事件 B為參與者改選另 1扇 門之后得到汽車。根據(jù)條件有

也就是說，如果堅持原來 的選擇，贏得 汽車的機會是 1/3，而選擇另 l扇 門，贏得汽車的機會增加到了 2/3，所以應(yīng)該改變原來的選擇。

可以進一步思考，若主持人事先不知道任何信息，而是隨機開啟某1扇門，即打開的 1扇門之后有可能是汽車，也有可能是山羊，那么問題的答案是否會改變呢。

2 全概率公式與囚徒的智慧

在現(xiàn)實的各種領(lǐng)域，如經(jīng)濟、醫(yī)學(xué)、生產(chǎn)等方面，常常會涉及到各種概率問題，但這些事件會有各種 類型的條件限制和復(fù)雜的樣本空間，導(dǎo)致在計算概率時，思路不清晰，甚至重復(fù)或遺漏 了某些情況發(fā)生 的可能性。全概率公式應(yīng)運而生，能夠化繁為簡。以一個古代小故事為例來說明這個問題。1名囚犯 要被執(zhí)行死刑，按照傳統(tǒng)，執(zhí)行死刑前還有一次機會。在囚犯面前放 2個一樣的盤子，每個盤子盛有 14 個球，黑白顏色各一半。令囚犯蒙住眼睛從 2個盤子 中隨機選 1個，再從選中的盤子中隨機選 1個球，若選中白球則獲得赦免，否則繼續(xù)執(zhí)行死刑。聰明的囚犯略思索后，要求將 其中 1個盤子里放 2個 白 球，其余的球都放在另 1個盤子中。問該囚犯獲得赦免的機會比原來增加多少。令事件A為囚犯選中 白球，事件 B為囚犯選中第一只盤子。按照傳統(tǒng)的分球方法，即每個盤子盛有14個球，黑白顏色各一半時，

若按照囚犯提出的要求，即第一只盤子放 2個白球，第二只盤子盛有其余 26只球，則

這樣，聰明的囚犯通過爭取，將自己獲得生還的機會增加了 3/13。進一步，可以向?qū)W生提 出思考題，能否通過改變球在盤子中的分配方法，使得囚犯的生還機會變得更大。

3 數(shù)學(xué)期望與賭金分配

1654年，賭徒德 ·梅累向法國數(shù)學(xué)家帕斯卡提出一個使他苦惱很久的分賭本問題：甲、乙 2賭徒賭 技相同，各出賭注 50法郎，每次賭局中無平局。他們約定，誰先贏 3局則得到全部 100法郎的賭本。當(dāng) 甲贏了 2局，乙贏 了 1局時，因故要中止賭博?，F(xiàn)問這 100法郎如何分才算公平。

事實上，很容易設(shè)想出以下 2種分法：

1）考慮到甲、乙 2人賭技相同，平均分配賭金：即甲得 50法郎，乙得 5O法郎。這種分法沒有照顧到甲已經(jīng)比乙多贏 1局這個現(xiàn)實，對甲顯然是不公平的。

2）考慮到已經(jīng)進行的 3局比賽結(jié)果，按照賭局輸贏次數(shù)的比例分配賭金：甲得 200/3法郎，乙得100/3法郎。這種分法沒有考慮到如果繼續(xù)比下去的話會出現(xiàn)什么情形，即沒有照顧 2人在現(xiàn)有基礎(chǔ)上對比賽結(jié)果的一種期待。

那么，這更合理的第 3種分法又該怎樣分呢？提醒學(xué)生思考如果賭局進行下去，會出現(xiàn)的情況：最多只需再賭 2局即可結(jié)束這場賭博。而再賭 2局可能出現(xiàn)的所有結(jié)果以有序?qū)Ρ硎?，如（甲，乙）表示第一場賭局甲贏，第二場賭局乙贏。由于 2人賭技相同，這 4種情況出現(xiàn)的概率應(yīng)相等，2場賭局結(jié)果的分布概率如表 1所示。

如前 3種結(jié)果發(fā)生，都是甲先贏 3局，即甲贏得全部賭金 100法郎，相應(yīng) 的概率為 3/4，而 甲得 0法 郎的概率為 1/4，故 甲獲得的期望賭金為

而乙應(yīng)分得 25法郎。因此，既考慮到甲已經(jīng)比乙多贏一局的事實，又考慮到后續(xù)可能出現(xiàn)的結(jié)果，按照數(shù)學(xué)期望的思想分配賭金是比較公平的。

在這個故事中，出現(xiàn)了“期望”這個詞，也是“數(shù)學(xué)期望”這個術(shù)語名稱的由來。分賭本問題的思想可以進行推廣，例如應(yīng)用到投資問題：甲乙 2人合資辦廠，經(jīng)營一段時間后，甲乙 2人都要單獨經(jīng)營或者由 于某種原因不能繼續(xù)合作下去，應(yīng)該怎樣分配經(jīng)營成果；或者因為經(jīng)驗不善而虧損，應(yīng)該如何分?jǐn)倐鶆?wù)等相關(guān)問題。這些思考對于經(jīng)管相關(guān)專業(yè)的學(xué)生是有所裨益的。

4 中心極限定理與電話分機設(shè)置問題

某單位一門電話總機共有200門分機，每門分機有5%的時間使用外線通話，且是否使用外線是相互獨立的。要保證每個用戶能以90%的概率正常使用外線通話，問總機至少要設(shè)置多少條外線？像這樣的問題是企業(yè)，公司等部門中很常見的問題，設(shè)置太多的外線會造成資源浪費，太少又會造成資源不足，而這樣的問題，只要綜合應(yīng)用概率論知識——棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理就可以解決，得出的結(jié)果是需設(shè)置14條外線。

5 結(jié)論

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的課堂教學(xué)中有針對性的提出問題，營造一個積極思考的環(huán)境，有助于幫助學(xué)生了解概率統(tǒng)計的方法來源于實際，又在實際工作 中有廣泛的應(yīng)用。能夠引導(dǎo)學(xué)生一步一步自己尋求 解決問題的方法，激起學(xué)生 的探究欲望，而不是被動地記憶、理解教師傳授的知識。在解決案例的過程中，學(xué)生可以獲得親身思考的機會，便于逐漸形成善于質(zhì)疑、樂于探究、勤于動腦、努力求知的研究態(tài)度。

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