全國高考遞推數(shù)列的整合研究

◇ 甘肅 樊永文

全國高考遞推數(shù)列的整合研究

◇ 甘肅 樊永文

遞推數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容,更是全國高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)考查的知識點(diǎn),經(jīng)常與函數(shù)、方程、不等式等知識緊密聯(lián)系,其解法靈活,綜合性強(qiáng),能力要求高.解決這類問題,要掌握數(shù)學(xué)各分支知識,能綜合運(yùn)用各種數(shù)學(xué)技能,靈活選擇合理的解題方法.考生的運(yùn)算能力,分析問題、解決問題的能力在這里得到充分展現(xiàn).

1 an＋1＝an＋f(n)

把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an＋1－an＝f(n),利用累加法(逐差相加法)求通項(xiàng)公式.

例1(2015年江蘇卷)數(shù)列{an}滿足a1＝1,且aa＋1－an＝n＋1(n∈N?),則數(shù)列的前10項(xiàng)和為_______________.

2 an＋1＝f(n)an

3 an＋1＝pan＋q

其中p、q均為常數(shù)(pq(p－1)≠0),可構(gòu)造等比數(shù)列,即把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an＋1－t＝p(an－t),,再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.

例3(2014年新課標(biāo)全國卷Ⅱ)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1,an＋1＝3an＋1.

4 an＋1＝pan＋qn

其中p、q均為常數(shù)(pq(p－1)(q－1)≠0)或an＋1＝pan＋rqn,其中p、q、r均為常數(shù).

例4在數(shù)列{an}中,a1＝1,an＋1＝2an＋2n.

(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

5 遞推公式為Sn與n的關(guān)系式(或Sn＝f(an))

例5(2015年高考新課標(biāo)Ⅰ)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知an＞0,a2n＋an＝4Sn＋3.

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;

解析

(1)當(dāng)n＝1時,＋2a1＝4S1＋3,由an＞0,則a1＝3.當(dāng)n≥2時,＋an－－an－1＝4Sn＋3－4Sn－1－3＝4an,即(an＋an－1)(an－an－1)＝2(an＋an－1),由an＞0,則an－an－1＝2.所以,數(shù)列{an}是首項(xiàng)為3、公差為2的等差數(shù)列,an＝2n＋1.

(2)由(1)知

所以數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和為

(作者單位:甘肅省民樂縣一中)