三角恒等變換作用解析

◇ 河北 韓立強(qiáng)

三角恒等變換作用解析

◇ 河北 韓立強(qiáng)

三角恒等變換是三角函數(shù)部分的重點(diǎn)內(nèi)容,在解決三角函數(shù)圖象、性質(zhì)等相關(guān)問(wèn)題時(shí)具有重要的作用,下面舉例分析.

1 求三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)

利用三角變換將一個(gè)復(fù)雜的三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為只含一個(gè)角、一個(gè)三角函數(shù)的形式,進(jìn)而判定相關(guān)的性質(zhì)是解決有關(guān)問(wèn)題的重要思路和有效方法.

例1若函數(shù)y＝sin2x＋acos2x的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝—對(duì)稱(chēng),則a＝( ).

2 化簡(jiǎn)求值

利用三角恒等變換可以達(dá)到化簡(jiǎn)和求值的目的,靈活運(yùn)用三角公式是關(guān)鍵,尤其是掌握角變換的基本技能.角的變換是溝通未知與已知的橋梁,正確的變換方向可以達(dá)到化未知為已知的目的.常見(jiàn)的化角技巧有拆角和湊角.

3 解決與平面向量有關(guān)的問(wèn)題

三角函數(shù)問(wèn)題常常與平面向量知識(shí)結(jié)合考查,通常以平面向量知識(shí)為背景,考查利用三角恒等變換解決相關(guān)問(wèn)題.

例4如圖1放置的邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、D分別在x、y軸正半軸上(含原點(diǎn))上滑動(dòng),則的最大值是___________________.

圖1

解析

設(shè)∠OAD＝θ,則OA＝AD·cosθ＝cosθ,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(cosθ＋cos(90°－θ),sin(90°－θ)),即B(cosθ＋sinθ,cosθ).同理可求得C(sinθ,sinθ＋cosθ).所以

遇到平面向量與三角函數(shù)相結(jié)合的題目,設(shè)角引入坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵,所以在研究此類(lèi)題時(shí)應(yīng)該想到設(shè)角來(lái)表示點(diǎn)的坐標(biāo).

(作者單位:河北省灤縣第二中學(xué))